ל חי " 5 הכנה לבגרות תרגילים - סדרות - מתמטיקה
פתרונות
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
תרגיל 8פתרון:
נסמן ב a1 -את האיבר הראשון ונסמן ב q -את מנת הסדרה .על פי הנתון מתקיים:
)∗ (
⇒
)
(
q10 − 1 = 33 q 5 − 1
⇒
)
−1
5
) = 189
) = 33 ⋅ a ⋅ ( q
q −1
1
(
a1 ⋅ q 6 − 1
⇒
q −1
(
a1 ⋅ q10 − 1
q −1
⇒
S6 = 189
S10 = 33 ⋅ S5
⇒
q10 − 33q 5 + 32 = 0
נסמן q 5 = tונקבל:
⎡q5 = 1
⎡q =1
⎡ t1 = 1
⎢ או ⇒
⎢ או ⇒
⇒ t − 33t + 32 = 0
⎢ או
⎢⎣q 5 = 32
⎢⎣q = 2
⎣ t 2 = 32
נפסול את התוצאה q = 1כי לפי ההגדרה של סדרה הנדסית , q ≠ 1לפיכך . q = 2
2
נציב q = 2במשוואה )∗ ( ונקבל:
a1 = 3
⇒
) = 189
(
a1 ⋅ 2 6 − 1
2 −1
תרגיל 2פתרון:
הגוף הראשון עבר 6מטרים בשנייה הראשונה ,בשנייה השנייה הוא עבר 10מטרים
ובשנייה השלישית הוא עבר 14מטרים .המרחק שעבר הגוף כעבור nשניות ) - nטבעי(
הוא הסכום הבאSn = 6 + 10 + 14 + ... :
נביע באמצעות nאת המרחק שעבר הגוף:
)2a1 + d ( n − 1
)12 + 4 ( n − 1
⋅n
= ⇒ Sn
⋅n
⇒ Sn = ( 2n + 4 ) ⋅ n
2
2
המרחק שעבר הגוף השני כעבור nשניות הוא . 38nשני הגופים יפגשו כעבור nשניות,
לפיכך מתקיים:
( 2n + 4 ) ⋅ n = 38n : n (n ≠ 0) ⇒ 2n + 4 = 38 ⇒ n = 17
= Sn
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
1
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
פתרונות
תרגיל 3פתרון:
לפי הנתון ,סכום שלושה איברים ראשונים בסדרה הנדסית הוא .104לפיכך מתקיים:
)
)∗(
(
⇒
a1 1 + q + q 2 = 104
a1 + a1q + a1q 2 = 104
נתון כי האיבר השני בסדרה הנדסית הוא האיבר החמישי בסדרה חשבונית ,כמו כן האיבר
השלישי בסדרה הנדסית הוא האיבר ה 17 -בסדרה חשבונית .מכאן נקבל:
⎧
)a1 ( q − 1
= ⎪d
4
⎪
⎨
a1 q 2 − 1
⎪
= ⎪⎩d
16
⇒
(
)
)4 ( q − 1) = ( q − 1)( q + 1
⇒
⎧⎪4d = a1q − a1
⎨
2
⎪⎩16d = a1q − a1
⇒
)
(
⎧⎪a1q = a1 + 4d
⎨ 2
⎪⎩a1q = a1 + 16d
2
a1 ( q − 1) a1 q − 1
⇒
=
⇒ 4 ( q − 1) = q 2 − 1
4
16
( q ≠ 1) ⇒ 4 = q + 1 ⇒ q = 3
⇒
נציב q = 3במשוואה )∗ ( ונקבל:
a 2 = 8 ⋅ 3 = 24 ; a 3 = 8 ⋅ 32 = 72.
;
⇒
a1 = 8
(
)
a1 1 + 3 + 32 = 104
שים לב ,ניתן למצוא את qבשיטה אחרת:
q=3
⇒
1= 1
4 q +1
)a1 ( q − 1
= 4d
)16d a1 ( q − 1)( q + 1
⇒
תרגיל 4פתרון:
נסמן ב a1 -את האיבר הראשון ,ונסמן ב q -את מנת הסדרה .על פי הנתון מתקיים:
)
()
(
)
(
⎧ a1 q 2 + 1 q 2 − 1
= 200
)(1
⎪⎪
q −1
⎨ ⇒
⎪
2
)(2
⎪⎩a1 q − 1 = 40
נחלק משוואה ) (1במשוואה ) (2ונקבל:
⇒ q=2,q=3
⇒ q 2 − 5q + 6 = 0
)
(
⎧ a1 ⋅ q 4 − 1
= 200
⎪⎪
⎨ q −1
⎪ 2
⎩⎪a1q − a1 = 40
q2 + 1
=5
q −1
⇒
⇒
⎧⎪S4 = 200
⎨
⎩⎪a 3 − a1 = 40
( )( ) = 200
40
)a ( q − 1) ( q − 1
a1 q 2 + 1 q 2 − 1
2
1
אם נציב q = 2במשוואה ) (2ונקבל . a1 = 40נתון כי המספרים הם שלמים ,לכן נפסול את
3
התוצאה . q = 2נציב q = 3במשוואה ) (2ונקבל . a1 = 5לפיכך המספרים הם:
2
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
פתרונות
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
5 , 15 , 45 , 135
תרגיל 5פתרון:
נמצא את המשוואה הראשונה המקשרת בין a1ל: d -
)(1
2a1 + 11d = 34
⇒
S12 = ( 2a1 + 11d ) ⋅ 6 = 204
⇒
Sn = 2 ⎡⎣ a1 + d ( n − 1) ⎤⎦ ⋅ n
2
לפי הנתון a 25 , a 7 , a1 ,הם איברים עוקבים בסדרה הנדסית ,מכאן נקבל:
⇒
12a1d − 36d 2 = 0
) ( a1 + 6d )2 = a1 ( a1 + 24d
⇒
a1 = 3d
)(2
⇒
a 7 2 = a1 ⋅ a 25
)12d ( a1 − 3d ) = 0 (d ≠ 0
⇒
⇒
נפתור את מערכת המשוואות ) (1ו: (2) -
⎪⎧d = 2
⎨
⎪⎩a1 = 6
⎧⎪2a1 + 11d = 34
⎨
⎪⎩a1 = 3d
⇒
נחשב את : a101
a101 = 206
a101 = 6 + 2 ⋅ 100
⇒
a101 = a1 + 100d
⇒
תרגיל 6פתרון:
נסמן ב a1 -את האיבר הראשון ,ונסמן ב q -את מנת הסדרה .לפי הנתון נתקיים:
)
(
)
(
⎧ a1 ⋅ q 4 − 1
⎪⎪ q − 1 = 280
⎨
⎪
2
⎪⎩a1 ⋅ q − 1 = 56
)(1
)(2
⎪⎧S4 = 280
⎨
⎩⎪a 3 − a1 = 56
⇒
נחלק משוואה ) (1במשוואה ) (2ונקבל:
⇒
q2 + 1
=5
q −1
⇒
) =5
)− 1
()
( q − 1) ( q
− 1 q2 + 1
2
2
(q
⇒
q4 − 1
= 280
2
( q − 1) q − 1 56
)
⇒
q 2 − 5q + 6 = 0
⇒
q=2,q=3
נציב q = 2במשוואה ) (2ונקבל:
(
. a1 = 56לכן הסדרה היא:
3
56 , 112 , 224 , 448
3
3
3
3
נציב q = 3במשוואה ) (2ונקבל . a1 = 7 :מכאן שהסדרה היא:
7 , 21 , 63 , 189
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
3
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
פתרונות
תרגיל 7פתרון:
b k +1
סדרה חשבונית מקיימת . a n = a1 + d ( n − 1) :נמצא את המנה
bk
א.
:
a1 + dk
b k +1
)a + dk −a1 −d( k −1
= a2+d k −1 = 2 1
= 2d
(
)
bk
21
dמספר קבוע ,לכן 2dהוא קבוע .לפיכך b1 , b 2 , ... , b nהיא סדרה הנדסית
שמנתה q = 2dואיברה הראשון הוא . b1 = 2a1
נמצא את המכפלה:
ב.
⎡ 2a1 + d ( n −1) ⎤⎦ ⋅ n
2
⎣ b1 , b 2 , ... , b n = 2a1 ⋅ 2a 2 ⋅ ...⋅ 2a n = 2a1 + a 2 +...+ a n = 2
נתון כי . d = 4 , a1 = 3מכאן נקבל:
2
2n +1)⋅n
(= 2
= 22n + n
⎡6 + 4( n −1)⎤⎦ ⋅ n
2
⎣ b1 , b 2 , ... , b n = 2
תרגיל 8פתרון:
לפי הנתון a 5 , a1ו a 29 -הם איברים עוקבים בסדרה הנדסית .לכן מתקיים:
a12 + 8a1d + 16d 2 = a12 + 28a1d
)(1
4d − 5a1 = 0
⇒
⇒
)(d > 0
) ( a1 + 4d )2 = a1 ( a1 + 28d
⇒ 4d ( 4d − 5a1 ) = 0
a 5 2 = a1 ⋅ a 29
⇒
16d 2 = 20a1d
⇒
האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים יוצרים סדרה חשבונית שבה 14איברים .האיבר הראשון
הוא a 2והפרשה . 2dנסמן ב S∗ -את סכום האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים:
⇒
a 2 + 13d = 74
⇒
)(2
= 1036
( 2a 2 + 2d ⋅13) ⋅ 14
2
a1 + 14d = 74
⇒
⇒
S∗ = 1036
( a1 + d ) + 13d = 74
⇒
נפתור את מערכת המשוואות ) (1ו: (2) -
a1 = 4 , d = 5
⇒
⎧⎪4d − 5a1 = 0
⎨
⎪⎩a1 + 14d = 74
סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים הוא ∗ . S29 − Sנחשב את הסכום:
S29 − S∗ = ( 2a1 + 28d ) ⋅ 29 − 1036 = ( 2 ⋅ 4 + 5 ⋅ 28 ) ⋅ 29 − 1036 = 1110
2
2
סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים הוא .1110
4
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
פתרונות
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
תרגיל 9פתרון:
א.
נסמן ב S∗n -את סכום nהאיברים הראשונים הנמצאים במקומות האי-זוגיים,
כלומר . S∗n = a1 + a 3 + ... + a 2n −1נמצא את הסכום:
S∗n = 4n 2 − n
S∗n = ⎡⎣ 2a1 + 2d ( n − 1) ⎤⎦ ⋅ n = ⎡⎣ 2 ⋅ 3 + 8 ( n − 1) ⎤⎦ ⋅ n
2
2
⇒
∗∗ Sאת סכום nהאיברים הראשונים הנמצאים במקומות הזוגיים,
נסמן בn -
∗∗ . Sנמצא את הסכום:
דהיינו n = a 2 + a 4 + ... + a 2n
2
∗∗S
n = −4n − 3n
n
n
∗∗S
⎡= n
⎣ 2a 2 − 2d ( n − 1) ⎤⎦ ⋅ 2 = ⎡−
⎣ 14 − 8 ( n − 1)⎤⎦ ⋅ 2
⇒
סכום 2nהאיברים הראשונים הוא:
S2n = −4n
ב.
סכום הסדרה מקיים. S47 = S46 + a 47 :
⇒
2
2
∗∗S2n = S∗n + S
n = 4n − n − 4n − 3n
בהסתמך על סעיף א' נקבל:
S46 = −4 ⋅ 23 = −92
a 47 = a1 + 46d = 3 + 46 ⋅ 4 = 187
a 47הוא חיובי כי הוא נמצא במקום האי-זוגי .מכאן נקבל:
S47 = −92 + 187 = 95
תרגיל 10פתרון:
על פי הנתון ,האגף השמאלי הוא סדרה הנדסית אינסופית שבה q = cos x , a1 = cos 2 x
בתחום 0 < x < πמתקיים cos x < 1
⇒
⇒
)
(
cos 2 x = 3 1 − cos 2 x
3
2
− 3
2
⎡
= ⎢cos x
⎢ או
= ⎢cos x
⎣⎢
⇒
x = π , x = 5π
6
6
ולכן זאת סדרה הנדסית אינסופית יורדת.
⇒
cos 2 x = 3 1 + cos x
(
)
1 − cos x
4cos 2 x = 3
⇒
⇒
)( 0 < x < π
⇒
a1
1− q
=S
cos 2 x = 3 − 3cos 2 x
⇒
⎡ x = ± π + 2πK
⎢
6
⎢ או
⎢ x = ± 5π + 2πK
6
⎣
⇒
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
5
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
פתרונות
תרגיל 11פתרון:
נסמן ב q -את מנת הסדרה . a1 , a 2 , a 3 , a 4 , ...לפי הנתון . q < 1
הסדרה a12 , a 2 2 , a 32 , ...מקיימת:
k
) a k2 +1 ( a1 ⋅ q
a12 ⋅ q 2k
=
= 2 2k −2 = q 2
2
2
ak
( a1 ⋅ q k −1 ) a1 ⋅ q
2
קיבלנו שהמנה היא מספר קבוע ,לפיכך הסדרה היא הנדסית .לפי הנתון q < 1לכן q 2 < 1
a12
ולכן זאת סדרה יורדת .סכום של הסדרה a12 , a 2 2 , a 32 , ...הוא
2
1− q
נביע את סכום הסדרה באמצעות Rו. T -
היות שמנת הסדרה הנתונה היא qומנת הסדרה a1 , − a 2 , a 3 , − a 4 , ...היא −qמתקיים:
= .S
a12
a12
a
a
=
= 1 ⋅ 1 = R ⋅T
=S
2
(1 − q )(1 + q ) 1 − q 1 + q
1− q
תרגיל 12פתרון:
א.
נתבונן בהפרש : a k −1 − a k
2p − ( k + 1) 2p − k 2p − k − 1 − 2p + k −1
−
=
=
p
p
p
p
קיבלנו כי ההפרש הוא מספר קבוע ,לכן הסדרה היא חשבונית.
ב.
= a k −1 − a k
2p − 1
= . a n = 1 , d = −1 , a 1
על פי הנתון וסעיף א' מתקיים:
p
p
p
נביע את מספר איברי הסדרה באמצעות : p
⇒
1 = 2p − 1 − n + 1
⇒
1 = 2p − 1 − 1 n − 1 ⋅p
) (
p
p
p
⇒
)a n = a1 + d ( n − 1
n = 2p − 1
⇒
על סמך הנתון סכום הסדרה שווה ל , 29 -לפיכך מתקיים:
⇒
6
2p − 1
= 29
2
⋅2
⇒
⎛ 2p − 1 1 ⎞ 2p − 1
⎜ p + p ⎟ ⋅ 2 = 29
⎝
⎠
p = 15
⇒
Sn = ( a1 + a n ) ⋅ n
2
⇒
⇒
2p − 1 = 29
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
פתרונות
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
תרגיל 13פתרון:
לאחר שמכניסים בין כל שני איברים של הסדרה } {a nשלושה איברים נוספים ,מתקבלת סדרה
הנדסית חדשה } {b nשבה . b5 = 3 , b1 = 1לפיכך מתקיים:
3
q=± 3
q4 = 9
⇒
⇒
3 = 1 ⋅ q4
3
b5 = b1 ⋅ q 4
⇒
עבור q = 3נקבל:
⇒
8
4
⎦⎤3 ) − 1
= 3 −1
3 −1
)3 ( 3 − 1
⋅ 3 +1
3 +1
) 40 (1 + 3
3
= S8
⇒
(⎣⎡ ⋅ ) = 13
(
b1 ⋅ q8 − 1
q −1
)80 ⋅ ( 3 + 1
)3 ( 3 − 1)( 3 + 1
= S8
= S8
⇒
עבור q = − 3נקבל:
⋅ 3 −1
3 −1
⇒
) 40 (1 − 3
3
= S8
⎡⋅1
8
⎤
4
⎦⎣( − 3 ) − 1
3
= S8
= 3 −1
− 3 −1
)−3 ( 3 + 1
)80 ⋅ ( 3 − 1
)−3 ( 3 + 1)( 3 − 1
⇒
= S8
⇒
תרגיל 14פתרון:
בסדרה הנדסית מתקיים . (m < k) a k 2 = a k −m ⋅ a k + m :מכאן נקבל:
a 4 ⋅ a10 = 64
⇒
a 7 2 = 64
a 3 ⋅ a11 = 64
⇒
נפתור מערכת משוואות הבאה:
2
⎪⎧a 4 − 65a 4 + 64 = 0
⎨
⎩⎪a10 = 65 − a 4
⇒
⇒
⎧⎪a 4 ⋅ ( 65 − a 4 ) = 64
⎨
⎩⎪a10 = 65 − a 4
⎡a10 = 64 , a 4 = 1
⎢ או
⎢⎣a10 = 1 , a 4 = 64
⇒
⇒
⎧⎪a 4 ⋅ a10 = 64
⎨
⎪⎩a 4 + a10 = 65
⎡a 4 = 1
⎢ או
⎣a 4 = 64
⇒
עבור a10 = 64 , a 4 = 1מתקיים:
q=2
⇒
)q = ±2 (q > 0
⇒
q 6 = 64
⇒
a1q 9
= 64
a1q 3
⇒
a10
= 64
a4
נמצא את : a1
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
7
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
פתרונות
a1 = 1
8
עבור a10 = 1 , a 4 = 64מתקיים:
q=1
2
⇒
)q = ± 1 (q > 0
2
a1 = 512
⇒
q6 = 1
64
⇒
נמצא את : a1
⇒
a 1 ⋅ 23 = 1
( ) = 64
3
⇒
a1q 9
= 1
3
64
a1q
⇒
a1 ⋅ 1
2
a1q 3 = 1
⇒
⇒
a10
= 1
a 4 64
⇒
a1q 3 = 64
a4 = 1
a 4 = 64
⇒
תרגיל 15פתרון:
נסמן ב q -את מנת הסדרה המקורית . a1 , a 2 , ... , a 2n
לפיכך מנת הסדרה a1 , − a 2 , a 3 , − a 4 , ... , − a 2nהיא . −q
נסמן ב S2n -את סכום הסדרה המקורית ונסמן ב S∗2n -את סכום הסדרה החדשה .מכאן נקבל:
(
)
2n
2n
a1 ⋅ ⎣⎡( −q ) − 1⎦⎤ a1 ⋅ q − 1
=
=
−q − 1
−q − 1
על סמך הנתון , S2n = m ⋅ S∗2n ,לכן מתקיים:
⇒
−q − 1
=m
q −1
q ( m + 1) = m − 1
⇒
)=m
−1
⇒
⇒
2n
∗
2n
) : a ⋅ (q
1
;
(
a1 ⋅ q 2n − 1
−q − 1
mq + q = m − 1
S
)
q −1
= S2n
S2n
=m
S∗2n
⇒
q −1
⇒
(
a1 ⋅ q 2n − 1
− q − 1 = mq − m
⇒
q = m −1
m +1
⇒
תרגיל 16פתרון:
נסמן , b k = b :לפיכך . b k + 2 = bq 2 , b k +1 = bqנראה כי . b n + ( bq 2 ) − 2 ( bq ) > 0
n
n
2
)
(
)
(
b n + ( bq 2 ) − 2 ( bq ) = b n + b n q 2n − 2b n q n = b n q 2n − 2q n + 1 = b n q n − 1
n
2
)
(
bn q n − 1 > 0
⇒
n
)(b n > 0 , q n ≠ 1
קיבלנו כי b nk + b nk + 2 − 2b nk +1 > 0ולכן . b nk + b nk + 2 > 2b nk +1
8
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
פתרונות
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
תרגיל 17פתרון:
לפי הנתון Q = Sn ,ו . P = S2n − Sn -לכן מתקיים:
P = S2n − 1
Q Sn
)dn ( n + 1
2
= Sn
)S2n = dn ( 2n + 1
⇒
P = S2n − Sn
Q
Sn
Sn = ⎡⎣ 2a1 + d ( n − 1) ⎤⎦ ⋅ n = ( 2d + dn − d ) ⋅ n = ( d + dn ) ⋅ n
2
2
2
⇒
S2n = ⎡⎣ 2a1 + d ( 2n − 1) ⎤⎦ ⋅ n = ( 2d + 2dn − d ) ⋅ n = ( d + 2dn ) ⋅ n
⇒
נמצא את היחס המבוקש:
P = 3n + 1
Q n +1
)P = S2n − 1 = dn ( 2n + 1) = 2 ( 2n + 1) − 1 = 4n + 2 − ( n + 1
Q Sn
1 dn n + 1
n +1
n +1
) (
2
⇒
תרגיל 18פתרון:
א.
a1
סכום של סדרה הנדסית אינסופית יורדת הוא
1− q
= . Sלפי הנתון מתקיים:
a2
1− q
a
T2 = 3
1− q
= T1
a n +1
1− q
a
Tn +1 = n + 2
1− q
⇒
T1 = a 2 + a 3 + a 4 + ...
⇒
T2 = a 3 + a 4 + a 5 + ...
= Tn
Tn +1
נמצא את היחס
Tn
⇒
⇒
Tn = a n +1 + a n + 2 + ...
Tn +1 = a n + 2 + a n +3 + ...
:
Tn +1 a n + 2 a n +1 a n + 2 a n +1 ⋅ q
=
:
=
=
=q
Tn
1 − q 1 − q a n +1
a n +1
קיבלנו כי היחס הוא קבוע .לפי הנתון q < 1
ב.
לכן
} {Tn
היא סדרה הנדסית יורדת.
נמצא את סכום הסדרה:
a1q
(1 − q )2
=
a2
2
) (1 − q
=
a2
1− q
1− q
T1
=
1− q
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
= T1 + T2 + ... + Tn + ...
9
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
פתרונות
תרגיל 19פתרון:
נסמן ב a1 -את האיבר הראשון ונסמן ב d -את הפרש הסדרה.
⇒
)2a1 + d ( m − 1
)2a + d ( k − 1
⋅m − 1
⋅k = 0
2
2
)
⇒
⇒
(
2a1m − 2a1k + d m 2 − m − d k 2 − k = 0
2a1 ( m − k ) + d m 2 − m − k 2 − k = 0
⇒
2a1 ( m − k ) + d ⎡⎣( m − k )( m + k ) − ( m − k ) ⎤⎦ = 0
⇒
2a1 ( m − k ) + ( m − k ) ⋅ d ( m + k − 1) = 0
⇒
( m − k ) ⋅ ⎡⎣ 2a1 + d ( m + k − 1)⎤⎦ = 0
⇒
) 2a1 + d ( m + k − 1) = 0 ⋅ 1 ( m + k
2
Sm + k = 0
⇒
)
⇒
⇒
( )
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
Sm − Sk = 0
Sm = Sk
): (m − k
)2a1 + d ( m + k − 1
⋅ (m + k) = 0
2
⇒
(
⇒
תרגיל 20פתרון:
היות שהסדרה היא סדרה חשבונית ,מתקיים:
⇒
⇒
) 2 ( p + q )( q + r ) = ( p + r )( q + r ) + ( p + r )( p + q
⇒
) 2 ( p + q )( q + r ) = ( p + r )( 2q + p + r
⇒
2 pq + pr + q 2 + qr = 2pq + p 2 + pr + 2qr + pr + r 2
⇒
2q 2 + 2pq + 2pr + 2qr = p 2 + r 2 + 2pq + 2pr + 2qr
⇒
⇒
)
⇒
2q 2 = p 2 + r 2
2 = 1 + 1 ⋅ p+r p+q q+r
() (
) ()
p+r p+q q+r
⇒
(
כתוצאה מכך ,המספרים r 2 , q 2 , p 2מהווים סדרה חשבונית.
10
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
פתרונות
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
תרגיל 21פתרון:
א.
b k +1
לפי הנתון= q ,
bk
) ,כאשר qהיא מנת הסדרה } .( {b n
נתבונן ביחס 1 : 1
b k +1 b k
1 : 1 = bk = 1
b k +1 b k b k +1 q
קיבלנו שהיחס הוא מספר קבוע ,לכן 1 , 1 , ... , 1היא סדרה הנדסית שמנתה . 1
q
b1 b 2
bn
ב.
סכום הסדרה
} {b n
הוא:
)
(
b1 ⋅ q n − 1
q −1
= . Snעל סמך סעיף א' מתקיים:
q ⎜⎛ 1n − 1⎟⎞ n
q 1 − qn
q
q
1 − qn
⎝
⎠
= ⋅ n
=
= Tn
b1 − b1q q
) b1 (1 − q ) ⋅ q n b1q n −1 ⋅ (1 − q
(
)
⇒
b1q
b1q
⋅
n
⎤1 ⋅ ⎡⎛ 1 ⎞ − 1
⎥
⎟⎠ b ⎢⎝⎜ q
⎦
⎣ Tn = 1
1 −1
q
1 − qn
) b n ⋅ (1 − q
Sn
נמצא את היחס
Tn
⇒
= Tn
:
Sn
= b1 ⋅ b n
Tn
⇒
)
(
)
(
n
) b1 ⋅ q n − 1 b n ⋅ (1 − q
Sn b1 ⋅ q − 1
1 − qn
=
=
⋅
:
Tn
q −1
q −1
) b n ⋅ (1 − q
1 − qn
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
11
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
פתרונות
תרגיל 22פתרון:
א.
נסמן ב d -את הפרש הסדרה
ונסמן ב d′ -את הפרש הסדרה } . {b mמכאן נקבל:
} {a n
)d′ − d = 1 (1
2
נסמן ב Sn -את סכום nהאיברים הראשונים של הסדרה
⇒
2 + 6d = −1 + 6d′
a1 + 6d = b1 + 6d′
⇒
a 7 = b7
⇒
} , {a n
נסמן ב Tm -את סכום mהאיברים הראשונים של הסדרה } . {b mלפיכך מתקיים:
)(2
( 2 + 7d ) ⋅15
= 25
( −2 + 11d′ ) ⋅ 6 16
( 2a1 + 14d ) ⋅ 15
2
= 25
2b1 + 11d′ ⋅ 6 16
⇒
)
(
⇒
S15 25
=
T12 16
נפתור את מערכת המשוואות ) (1ו: (2) -
d = 1.5 , d′ = 2
ב.
נמצא את מספר האיברים בכל סדרה:
n = 35
⇒
2 + 1.5 ( n − 1) = 53
⇒ − 1 + 2 ( m − 1) = 31
m = 17
נחשב את סכום האיברים בכל סדרה:
a1 + d ( n − 1) = 53
⇒
a n = 53
b1 + d′ ( m − 1) = 31
⇒
b m = 31
⇒
⇒
S35 = 962.5
T17 = 255
12
⇒
⎧d′ − d = 1
⎪
2
⎪
⎨ ( 2 + 7d ) ⋅15
⎪
= 25
⎪⎩ ( −2 + 11d′ ) ⋅ 6 16
⇒
⇒
a1 + a 35
⋅ 35 = 2 + 53 ⋅ 35
2
2
b +b
T17 = 1 17 ⋅17 = −1 + 31 ⋅17
2
2
= S35
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
פתרונות
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
תרגיל 23פתרון:
נביע את a1באמצעות : d
⇒
( a 3 − a 2 )( a 3 + a 2 ) = 16a12
d ⋅ ( 2a1 + 3d ) = 16a12
⇒
⇒
⇒
a 32 − a 2 2 = 16a12
⇒
⇒
a 32 = 16a12 + a 2 2
d ⋅ ⎡⎣( a1 + 2d ) + ( a1 + d ) ⎤⎦ = 16a12
⇒
16a12 − 2a1d − 3d 2 = 0
⇒
a 1 = d , a1 = −3 d
2
8
⇒
2d ± 4d 2 + 4 ⋅16 ⋅ 3d 2
a
=
( 1 )1, 2
32
⇒
סכומם של ארבעת האיברים האחרונים הוא. S16 − S12 :
עבור a1 = dנקבל:
2
S16 − S12 = 56d
⇒
⎫
⎪
⎪⎪
⎬
⎪
⎪
⎭⎪
)2 ⋅ d + d (16 − 1
S16 = 2
⋅16 = 128d
2
)2 ⋅ d + d (12 − 1
⋅12 = 72d
S12 = 2
2
עבור a1 = −3 dמתקיים:
8
S16 − S12 = 52.5d
⇒
⎫
⎪
⎪⎪
⎬
⎪
⎪
⎭⎪
) (
)2 ⋅ −3 d + d (16 − 1
8
= S16
⋅16 = 114d
2
) (
)2 ⋅ −3 d + d (12 − 1
8
⋅12 = 61.5d
= S12
2
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
13
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
פתרונות
תרגיל 24פתרון:
לפי הנתון , Sn = 300לפיכך מתקיים:
)2a1 + d ( n − 1
)(1
⋅ n = 300 ⇒ ⎡⎣ 2a1 + d ( n − 1) ⎤⎦ ⋅ n = 600
2
סכום חמשת האיברים האחרונים הוא .195נשים לב לכך שבסכום זה האיבר הראשון
הוא , a n −4האיבר האחרון הוא a nומספר האיברים הוא . 5מכאן נקבל:
⎡⎣a1 + d ( n − 5 )⎤⎦ + ⎡⎣a1 + d ( n − 1) ⎤⎦ = 78
a n −4 + a n
⋅ 5 = 195 ⇒ a n −4 + a n = 78
2
⇒
2a1 + d ( 2n − 6 ) = 78
)(2
⇒
סכום שני האיברים האחרונים שווה ל: 90 -
⇒ a1 + d ( n − 2 ) + a1 + d ( n − 1) = 90
)(3
⇒
a n −1 + a n = 90
2a1 + d ( 2n − 3) = 90
⇒
נפתור את מערכת המשוואות ) (2ו . (3) -נחסר ממשוואה ) (2משוואה ): (3
d=4
⇒
− 3d = −12
⎧2a1 + d ( 2n − 6 ) = 78
⎪
⎨
⎪⎩2a1 + d ( 2n − 3) = 90
⇒
נציב את d = 4במשוואה ) (3ונביע את a1באמצעות : n
a1 = 51 − 4n
⇒
a1 + 2 ( 2n − 3) = 45
⇒
2a1 + 4 ( 2n − 3) = 90
כעת ,נציב d = 4ו a1 = 51 − 4n -במשוואה ) (1ונקבל:
⇒
2n 2 − 49n + 300 = 0
⇒
⎡⎣ 2 ( 51 − 4n ) + 4 ( n − 1) ⎤⎦ ⋅ n = 600
n1 = 12 , n 2 = 12.5
⇒
נפסול , n = 12.5כי nמספר טבעי לפיכך . n = 12מכאן ש. a1 = 51 − 4 ⋅12 = 3 -
לסיכום :האיבר הראשון בסדרה הוא , 3הפרשה שווה ל 4 -ומספר האיברים הוא .12
14
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
פתרונות
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
תרגיל 25פתרון:
נעתיק את הסדרה בצורה הבאה:
12 , 8 , 24 , 16 , 48 , 32 , ...
במקומות האי-זוגיים נמצאים המספרים הבאים:
) (Ι
12 , 24 , 48 , ...
במקומות הזוגיים נמצאים המספרים הבאים:
)(ΙΙ
a 2m +1
לפי הנתון ,הסדרה ) (Ιהיא סדרה הנדסית כי = c
a 2m −1
8 , 16 , 32 , ...
,כאשר c = 2היא מנת הסדרה
ואיברה הראשון הוא .12
a 2m
לפי הנתון ,הסדרה ) (ΙΙהיא סדרה הנדסית כי = b
a 2m −2
,כאשר b = 2היא מנת הסדרה
ואיברה הראשון הוא . 8
סכום nהאיברים הראשונים בסדרה ) (Ιהוא:
) ( n
S∗n = 12 2 − 1 = 12 2n − 1
2 −1
(
)
סכום nהאיברים הראשונים בסדרה ) (ΙΙהוא:
8 ( 2n − 1) = 8 2n − 1
∗∗S
=
n
2 −1
)
נמצא את הסכום המבוקש:
)
(
)
(
( )
(
n
n
n
∗∗S∗n + S
n = 12 2 − 1 + 8 2 − 1 = 20 2 − 1
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
15
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
פתרונות
תרגיל 26פתרון:
א(i ) .
⇒
) ) = (a ⋅ a q
3
2 3
1
1
⋅ q2
2
1
) = (a
2
(
( )
a12 ⋅ a 2 2 ⋅ a 32 = ( a1 ⋅ a 2 ⋅ a 3 ) = a1 ⋅ a1q ⋅ a1q 2 = a13 ⋅ q 3
2
3
) a12 ⋅ a 2 2 ⋅ a 32 = ( a1 ⋅ a 3
⇒
א(ii ) .
⇒
2
⎦⎤ ) a12 ⋅ a 2 2 ⋅ a 32 ⋅ a 4 2 = ( a1 ⋅ a 2 ⋅ a 3 ⋅ a 4 ) = ⎡⎣( a1 ⋅ a 4 ) ⋅ ( a 2 ⋅ a 3 ) ⎤⎦ = ⎡⎣( a1 ⋅ a 4 ) ⋅ ( a1 ⋅ a 4
2
2
4
ב.
) a12 ⋅ a 2 2 ⋅ a 32 ⋅ a 4 2 = ( a1 ⋅ a 4
⇒
קל לראות כי הטענה נכונה עבור . n = 2 , n = 1הראינו את נכונותה עבור n = 4 , n = 3
נניח כי הטענה נכונה עבור k ) n = kטבעי( ,כלומר:
k
) a12 ⋅ a 2 2 ⋅ ... ⋅ a k 2 = ( a1 ⋅ a k
על סמך הנחת האינדוקציה נוכיח כי הטענה מתקיימת עבור , n = k + 1דהיינו:
k +1
) a12 ⋅ a 2 2 ⋅ ... ⋅ a k 2 ⋅ a k +12 = ( a1 ⋅ a k +1
הוכחה:
= ⋅ a12q 2k
( k −1)k
) ) ⋅ (a ⋅ a q
) ) = (a ⋅ a q
= a1 ⋅ a1 ⋅ q
k 2
) = ( a1 ⋅ a k +1
k k +1
k +1
k
k
k −1 k
1
1
k +1
1
1
(
a12 ⋅ a 2 2 ⋅ ... ⋅ a k 2 ⋅ a k2 +1 = ( a1 ⋅ a k ) ⋅ a k2 +1 = a1 ⋅ a1q
k
(
2 k +1
k k +1
= a1 ( ) ⋅ q ( ) = a12 ⋅ q k
2 − k + 2k
= a12k + 2 ⋅ q k
לסיכום :בדקנו את נכונות הטענה עבור . n = 1, 2,3, 4על סמך ההנחה שהטענה נכונה עבור n = k
) k , k ≤ nטבעי( ,הוכחנו את נכונותה עבור n = k + 1ולכן הטענה נכונה לכל nטבעי.
16
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
פתרונות
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
תרגיל 27פתרון:
א .לפי הנתון מתקיים:
⇒
⎪⎧a1 + 6d = 4 ( a1 + 2d ) + 1
⎨
⎪⎩a1 + 21d = 3 ( a1 + 5d ) + 24
⋅a 3
⎪⎧a 7 = 4a 3 + 1
⎨
⎪⎩a 22 = 3a 6 + 24
⇒
a1 = 3 , d = 5
⇒
⋅a 6
⎧ a7
1
⎪⎪ a 3 = 4 + a 3
⎨
⎪ a 22 = 3 + 24
⎪⎩ a 6
a6
⎧⎪3a1 − 2d = −1
⎨
⎪⎩2a1 − 6d = −24
⇒
⇒
נחשב את : S25
S25 = 1575
ב.
⇒
)2 ⋅ 3 + 5 ( 25 − 1
⋅ 25
2
= S25
)2a1 + d ( n − 1
⋅n
2
⇒
= Sn
בסדרה חשבונית מתקיים:
m − n = −20d
n − k = 32d
k − m = −12d
k = a1 + 4d
⇒
⇒
⎫
⎪
⎬ m = a1 + 16d
⎪
⎭ n = a1 + 36d
a 5 = a1 + 4d
⇒
a17 = a1 + 16d
⇒
a 37 = a1 + 36d
בסדרה הנדסית מתקיים:
k = b1q 4
⇒
b5 = b1q 4
m = b1q16
⇒
b17 = b1q16
n = b1q 36
⇒
b37 = b1q 36
מכאן נקבל:
=
) ) ⋅(b q
36 −12d
32d
1
(
⋅ b1q16
−20d
)
(
k m−n ⋅ m n −k ⋅ n k −m = b1q 4
= b1−20d q −80d ⋅ b132d q 512d ⋅ b1−12d q −432d = b1−20d +32d−12d ⋅ q −80d+512d− 432d = b0 ⋅ q 0 = 1
k m−n ⋅ m n −k ⋅ n k −m = 1
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
⇒
17
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
פתרונות
תרגיל 28פתרון:
נבדוק את נכונות הטענה עבור : n = 3 , n = 2
1 = 1
a1a 2 a1a 2
⇒
1 = 2 −1
a1a 2 a1a 2
n = 2:
⎫ 1 + 1 = a 3 + a1 = 2a 2 = 2
⎪⎪ a1a 2 a 2a 3 a1a 2 a 3 a1a 2 a 3 a1a 3
2
2
⎬ ⇒ aa =aa
1 3
1 3
3 −1 = 2
⎪
a1a 3 a1a 3
⎭⎪
הנחת האינדוקציה :נניח כי הטענה נכונה עבור k ≥ 2 ) n = kטבעי( ,דהיינו נניח כי:
1 + 1 + ... + 1 = k − 1
a1a 2 a 2a 3
a k −1a k a1a k
n = 3:
על סמך הנחת האינדוקציה נוכיח כי הטענה נכונה עבור , n = k + 1כלומר יש להראות כי:
1 + 1 + ... + 1 + 1 = k
a1a 2 a 2a 3
a k −1a k a k a k +1 a1a k +1
הוכחה:
= 1 + 1 + ... + 1 + 1 = k − 1 + 1 = a k +1 ( k − 1) + a1
a1a 2 a 2a 3
a k −1a k a k a k +1 a1a k a k a k +1
a1a k a k +1
= ( a1 + dk )( k − 1) + a1 = ( a1 + dk ) ⋅ k − ( a1 + dk ) ⋅1 + a1 = a1k + dk 2 − dk
=
⎦⎤ )k ⋅ ( a1 + dk − d ) k ⋅ ⎡⎣a1 + d ( k − 1
ka k
=
=
= k
a1a k a k +1
a1a k a k +1
a1a k a k +1 a1a k +1
=
a1a k a k +1
a1a k a k +1
a1a k a k +1
לסיכום :בדקנו את נכונות הטענה עבור , n = 3 , n = 2הראינו כי נכונות הטענה עבור n = k
) k ≥ 2טבעי( גוררת את נכונותה עבור . n = k + 1לכן הטענה נכונה לכל n ≥ 2טבעי.
18
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
פתרונות
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
תרגיל 29פתרון:
א .לפי הנתון מתקיים:
)
(
b1 = a1 + a 2 + a 3 = a1 + a1q + a1q 2 = a1 1 + q + q 2
(
)
) (1 + q + q
b 2 = a 3 + a 4 + a 5 = a 3 + a 3q + a 3q 2 = a 3 1 + q + q 2
2
)
)
b 3 = a 5 + a 6 + a 7 = a 5 + a 5 q + a 5q 2 = a 5
(
b k = a 2k −1 + a 2k + a 2k +1 = a 2k −1 + a 2k −1q + a 2k −1q 2 = a 2k −1 1 + q + q 2
(
b k +1 = a 2k +1 + a 2k + 2 + a 2k +3 = a 2k +1 + a 2k +1q + a 2k +1q 2 = a 2k +1 1 + q + q 2
b k +1
נמצא את המנה
bk
:
(
(
)
)
2
b k +1 a 2k +1 1 + q + q
a 2k +1 a 2k −1 ⋅ q 2
=
=
=
= q2
2
bk
a
a
2k −1
2k −1
a 2k −1 1 + q + q
לפי הנתון q < 1לכן . q 2 < 1מכאן ש-
ב.
} {b n
היא סדרה הנדסית אינסופית יורדת.
b1
מנת הסדרה החדשה היא , q 2לכן סכום הסדרה החדשה הוא
2
1− q
a1
סכום הסדרה המקורית הוא
1− q
⇒
q 2 − 3.2q − 3.2 = 0
= . Sמכאן נקבל:
a1 + a 2 + a 3
4.2a1
=
(1 − q )(1 + q ) 1 − q
⇒
= .T
⇒
) 1 + q + q 2 = 4.2 (1 + q
b1
4.2a1
=
2
1− q
1− q
⇒
1
) = 4.2a
⇒
T = 4.2S
(
a1 1 + q + q 2
1+ q
q = −0.8 , q = 4
⇒
⇒
על סמך הנתון , q < 1לפיכך . q = −0.8
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
19
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
פתרונות
תרגיל 30פתרון:
סדרה הנדסית מקיימת . a 2 2 = a1 ⋅ a 3מכאן נקבל:
א.
) =1
2
⇒
cos x = −1
2
cos x − 1
2
(
⇒
1 − cos 2x = 2sin 2 x
⎡cos x = −1
2
⎢ או
⎢
⎣ cos x = 1.5
)( −1 ≤ cos x ≤ 1
⇒
2
= 2sin x
1 − cos 2x
x = 2π
3
⇒
)( 0 < x < π
⇒
2
)
cos x − 1
2
⎡cos x − 1 = −1
⎢
2
⎢ או
⎢cos x − 1 = 1
2
⎣
x = ± 2π + 2πK
3
(
⇒
⇒
על סמך סעיף א' ,מתקיים . a 3 = 2 , a 2 = −1 , a1 = 3 :מכאן ש . q = −2 -נמצא את : S6
3
3
2
ב.
S6 = 133
162
⇒
) (
6
⎤3 ⋅ ⎡ −2 − 1
⎥
a1 ⋅ q − 1
2 ⎢⎣ 3
⎦
= S6
=
q −1
−2 − 1
3
)
6
(
תרגיל 31פתרון:
לפי הנתון . S = 1.5 ⋅ Sn ,מכאן נקבל:
qn = 1
3
−2 = q n − 1
3
⇒
(
)
− 1 = 3 ⋅ qn − 1
2
⇒
⇒
)
(
a1 ⋅ q n − 1
a1
3
⋅ =
1− q 2
)( q − 1
נמצא את מכפלתם של nהאיברים הראשונים:
=
1+ n −1 n −1
) (
⋅q 2
n
=
)
a1n
=
1+ 2+...+ n −1
a1 ⋅ q n
qn
⋅q
(= )
n
a1n
=
(
n −1
n
a1 ⋅ a 2 ⋅ a 3 ⋅ ... ⋅ a n = a1 ⋅ a1q ⋅ a1q ⋅ ... ⋅ a1q
⎞
a ⋅ qn
⎟ = 1
n
⎟
⎟
2
q
⎠
2
n
⎛
⎜ a1 ⋅ q 2
⎟ =⎜ 1
⎜ q2
⎠
⎝
n −1 ⎞ n
⋅q 2
⎛
= ⎜ a1
⎝
)n ( n −1
n
a1 ⋅ q 2
=
n
⎛
⎞1
⎟ ⎜ 3⋅ 3
⎠ = 1 = 3
⎝=
1
1
3
3
20
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
פתרונות
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
תרגיל 32פתרון:
נסמן ב d -את הפרש הסדרה .לפי הנתון מתקיים:
⇒
⇒
a 2 2 − a12 + a1 ⋅ a 3 − a 2 ⋅ a 3 = 0
a12 + a 2 ⋅ a 3 = a 2 2 + a1 ⋅ a 3
⇒
( a 2 − a1 )( a 2 + a1 ) + a 3 ⋅ ( a1 − a 2 ) = 0 ⇒ ( a 2 − a1 )( a 2 + a1 ) − a 3 ⋅ ( a 2 − a1 ) = 0
⇒ ( a 2 − a1 ) ( a 2 + a1 − a 3 ) = 0 ⇒ d ⋅ ( a1 + d + a1 − a1 − 2d ) = 0
) d ⋅ ( a1 − d ) = 0 ( d ≠ 0
⇒ a1 = d
⇒
⇒
⇒
נמצא את : S10
S10 = 55a1
⇒
)2a1 + a1 (10 − 1
⋅10
2
= S10
)2a1 + d ( n − 1
⋅n
2
⇒
= Sn
תרגיל 33פתרון:
א .האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים הם:
1 , ab , a 2 b 2 , a 3 b3 , ...
קל לראות שזאת סדרה הנדסית שבה איבר ראשון הוא 1ומנת הסדרה היא . ab
נסמן ב S∗n -את סכום של nהאיברים הראשוניים במקומות האי-זוגיים:
n
⎤1 ⋅ ⎡( ab ) − 1
⎣
⎦
=
ab − 1
S∗n
האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים הם:
a , a 2 b , a 3b 2 , a 4 b3 , ...
קל לראות שזאת סדרה הנדסית שבה איבר ראשון הוא aומנתה . ab
∗∗ Sאת סכום של nהאיברים הראשוניים במקומות הזוגיים:
נסמן בn -
n
⎤a ⋅ ⎡( ab ) − 1
⎣
⎦
=
ab − 1
סכום 2nהאיברים הראשונים של הסדרה הנתונה הוא:
)(1 + a ) ( a n bn − 1
ab − 1
ב.
= S2n
⇒
)
−1
) + a ⋅ (a b
(
1⋅ a n bn − 1
n n
ab − 1
ab − 1
=
∗∗+ S
n
∗∗S
n
S2n = S∗n
נתון . b = 2 , a = 3 :יש לחשב את . S12
3
)( ) −1⎤⎥⎦ = 4 ( 2 −1
6
6
S12 = 252
⇒
2 −1
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
2
3
⎡
⎣
⋅ (1 + 3) ⋅ ⎢36
3 ⋅ 2 −1
3
= S12
21
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
פתרונות
תרגיל 34פתרון:
א.
האיבר הכללי בסדרה הוא:
נמצא את היחס
ב.
⇒
n +1
, a n = b k −n +1 ⋅ c n −1האיבר העוקב לו הואa n +1 = b k − n ⋅ c n :
:a
an
a n +1 = b k − n ⋅ c n = c
an
b k − n +1 ⋅ c n −1 b
קיבלנו שהיחס הוא מספר קבוע ,לכן זו סדרה הנדסית שהמנה שלה . q = c
b
נמצא את Snכאשר . b ≠ c
)
)(
)(
n
⎤ ⎡ n
⎡
⎤ b k +1 n
⋅ c − bn
⎥b k ⋅ ⎢ c − 1⎥ b k +1 ⋅ ⎢ c − 1
n
b
b
⎣
=⎦
⎣
⎦= b
= Sn
c −1
c−b
c−b
b
(
)
ג.
כאשר b = cהסדרה הנתונה היא:
)
(
a1 ⋅ q − 1
⇒
n
q −1
(
b k −n +1 ⋅ c n − b n
c−b
= Sn
= Sn
⇒
. b k , b k , b k , ...
סכום nהאיברים הראשונים בסדרה זו הוא:
. Sn = n ⋅ b k
תרגיל 35פתרון:
נסמן ב a n -את איברה הכללי של הסדרה ) . (Ιהאיבר הראשון בסדרה זו הוא 5והפרשה , 3לכן
a n = 3n + 2
⇒
)a n = 5 + 3 ( n − 1
)a n = a1 + d ( n − 1
⇒
נסמן ב b m -את איברה הכללי של הסדרה ) . (ΙΙהאיבר הראשון בסדרה הוא 6והפרשה , 4לכן:
b m = 4m + 2
)b m = 6 + 4 ( m − 1
⇒
האיברים המשותפים מקיימים , a n = b mמכאן נקבל:
m= 3n
)∗(
4
mו n -הם מספרים טבעיים ,לכן השוויון )∗ ( מתקיים עבור - k ) n = 4kטבעי(.
זאת אומרת ,לכל איבר a 4kבסדרה ) (Ιיש איבר זהה b3kבסדרה ) - k ) (ΙΙטבעי(.
⇒
⇒
⎫
⎪
⎬
⎭⎪
a 4k = 12k + 2
a 4( k +1) = 12k + 14
⇒
⇒
3n + 2 = 4m + 2
a 4k = 3 ⋅ 4k + 2
a 4( k +1) = 3 ⋅ 4 ( k + 1) + 2
a 4( k +1) − a 4k = (12k + 14 ) − (12k + 2 ) = 12
⇒
קיבלנו כי בסדרה המורכבת מהאיברים המשותפים ,ההפרש הוא מספר קבוע ולפיכך הסדרה היא
סדרה חשבונית שהפרשה שווה ל.12 -
22
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
פתרונות
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
תרגיל 36פתרון:
א.
נסמן ב d -את הפרש הסדרה
} {a n
ונסמן ב d′ -את הפרש הסדרה } . {b n
לפי הנתון ,מתקיים:
⇒
d = 3d′
⇒
4d = 12d′
⇒
⎧
⎪a1 + 2d = b1 + 7d′
⎨
⎩⎪a1 + 6d = b1 + 19d′
⎧⎪a 3 = b8
⎨
⎪⎩a 7 = b 20
⇒
a1 = b1 + d′
⇒
נראה כי . a n = b3n −1
⇒
) a n = a1 + d ( n − 1) = b1 + d′ + 3d′ ( n − 1) = b1 + d′ + d′ ( 3n − 3) = b1 + d′ ( 3n − 2
a n − b3n −1 = 0
ב.
⇒
a n = b3n −1
⇒
צ"ל:
) . a1 + a 2 + a 3 + ... + a n = 1 ( b1 + b 2 + b3 + ... + b3n
3
נוכיח כי האגף השמאלי של השוויון ,שווה לאגף הימני:
)
(
b + b3n −1 + d′
b + d′ + b3n −1
b +b
a1 + a n
⋅n = 1
⋅n = 1
= ⋅ n = 1 3n ⋅ n
2
2
2
2
) a1 + a 2 + ... + a n = 1 ( b1 + b 2 + ... + b3n
3
⇒
)
= a1 + a 2 + ... + a n
( b +2b ) ⋅ 3n = 13 ( b + b + ...b
3n
3n
2
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
1
1
=1
3
23
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
פתרונות
תרגיל 37פתרון:
א .נחשב את הפרש הסדרה:
d=1
3
לפיכך מתקיים:
)35 = 2 + d (100 − 1
⇒
)a n = a1 + d ( n − 1
⇒
= ) ( a + a + a + ... + a ) − ( a + a + a + ... + a
= ( a − a ) + ( a − a ) + ... + ( a − a
=)
2
2
100
2
6
2
4
2
2
2
2
100
2
99
2
99
2
4
2
5
3
2
3
2
1
2
2
1
= ) = ( a1 − a 2 )( a1 + a 2 ) + ( a 3 − a 4 )( a 3 + a 4 ) + ... + ( a 99 − a100 )( a 99 + a100
= ) = −d ( a1 + a 2 ) − d ( a 3 + a 4 ) − ... − d ( a 99 + a100 ) = −d ( a1 + a 2 + a 3 + ... + a100
a1 + a100
⋅100 = −1 ⋅ 2 + 35 ⋅ 100 = −616 23
2
3
2
ב.
נפתור מערכת משוואות הבאה:
⇒
3
⎪⎧b 2 = 216
⎨ 2
2
2
⎪⎩5b1 + 7b 2 − b3 = −52
⎧b = 36
⎪ 3 b1
⎪
⇒
⎨
2
36
2
⎛
⎞
⎪5b −
= −304
⎠⎟ ⎪⎩ 1 ⎜⎝ b1
⇒ b1 = 2
) ( b1 > 0
לפיכך נקבל:
24
⋅ = −d
⇒
⇒
)
2
= b2
3
(b ⋅ b
1
⎪⎧b1 ⋅ b3 = 36
⎨ ⇒
2
2
⎩⎪5b1 − b3 = −304
⇒ b1 = ±2
⎡ b12 = 4
⎢ או
⎢ b12 = −64.8
⎣
⇒
⎪⎧b1 ⋅ b 2 ⋅ b3 = 216
⎨ 2
2
2
⎩⎪5b1 + 7b 2 − b3 = −52
⎧⎪b 2 = 6
⎨ 2
2
2
⎩⎪5b1 + 7 ⋅ 6 − b3 = −52
− 1296 = 0
+ 304 ⋅ b12
5b14
. b1 = 2 , b 2 = 6 , b3 = 18
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
פתרונות
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
תרגיל 38פתרון:
נסמן ב a1 , a 2 , a 3 , a 4 -את ארבעת המספרים .על פי הנתון a1 , a 2 , a 3מהווים סדרה
הנדסית ו a 2 , a 3 , a 4 -מהווים סדרה חשבונית .נניח כי qהיא מנת הסדרה ההנדסית
ו d -הוא הפרש הסדרה החשבונית .נתון כי . a 2 + a 3 = 48מכאן נקבל:
48 = 48 − d
q +1
2
⇒
⎧a = 48
⎪ 2 q +1
⎨
⎪a = 48 − d
2
⎩ 2
)(1
⇒
⎧⎪a 2 ( q + 1) = 48
⎨
⎪⎩2a 2 + d = 48
dq = 48q − d − 48
⇒
⎧⎪a 2 + a 2q = 48
⎨
⎪⎩a 2 + ( a 2 + d ) = 48
)96 = ( 48 − d )( q + 1
⇒
⇒
כמו כן ,נתון כי . a1 + a 4 = 64לפיכך מתקיים:
⇒
)(2
a 2 + a 2q + 2dq = 64q
dq = 32q − 24
⇒
⇒
a2
+ a 2 + 2d = 4
q
48 + 2dq = 64q
⇒
⇒
a1 + ( a 2 + 2d ) = 64
⎧a 2 (1 + q ) + 2dq = 64q
⎪
⎨
48
⎪a 2 = q + 1
⎩
⇒
נפתור את מערכת המשוואות ) (1ו: (2) -
d = 16q − 24
⇒
48q − d − 48 = 32q − 24
⇒
⎧⎪dq = 48q − d − 48
⎨
⎪⎩dq = 32q − 24
נציב את dבמשוואה ): (2
⇒
2q 2 − 7q + 3 = 0
⇒
16q 2 − 56q + 24 = 0
⇒
(16q − 24 ) ⋅ q = 32q − 24
q= 1 , q=3
2
⇒
עבור q = 1נקבל . d = 16 ⋅ 1 − 24 = −16 :מכאן שהמספרים הם:
2
2
a1 = 64 , a 2 = 32 , a 3 = 16 , a 4 = 0
עבור q = 3נקבל:
. d = 24מכאן שהמספרים הם:
a1 = 4 , a 2 = 12 , a 3 = 36 , a 4 = 60
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
25
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
פתרונות
תרגיל 39פתרון:
נסמן ב a 3 , a 2 , a1 -את שלושת המספרים ונסמן ב d -את הפרש הסדרה .על-פי הנתון ,מתקיים:
⇒
⎧a12 + ( a1 + d ) ⋅ ( a1 + 2d ) = 64
⎪
⎨
⎪⎩( a1 + 2d )2 + a1 ⋅ ( a1 + d ) = 112
)∗ (
⎧a12 + a 2 ⋅ a 3 = 64
⎪
⎨
2
⎩⎪a 3 + a1 ⋅ a 2 = 112
⇒
2
⎧ 2
⎪2a1 + 3a1d + 2d = 64
⎨
⎪⎩2a12 + 5a1d + 4d 2 = 112
)∗∗ (
⇒
ניתן לפתור את המערכת הנ"ל בשיטה הבאה :נסמן a1 = t ⋅ dונציב בכל אחת מהמשוואות:
)(1
)
(
)( 2
)
(
⎧d 2 ⋅ 2t 2 + 3t + 2 = 64
⎪
⎨
⎪d 2 ⋅ 2t 2 + 5t + 4 = 112
⎩
2
2
⎧ 2 2
⎪2t d + 3td + 2d = 64
⎨
⎪⎩2t 2 d 2 + 5td 2 + 4d 2 = 112
⇒
נחלק משוואה ) (1במשוואה ):(2
⇒
6t 2 + t − 2 = 0
⇒
)
(
( )
7 2t 2 + 3t + 2 = 4 2t 2 + 5t + 4
⎡a = 1 d
⎢ 1 2
⎢ או
⎢ a 2 = −2 d
3
⎣
⇒
⇒
2t 2 + 3t + 2 = 4
2t 2 + 5t + 4 7
t1 = 1 , t 2 = − 2
2
3
⇒
נציב a1 = 1 dבמשוואה )∗ ( ונקבל:
2
⇒
d 2 = 16
⇒
4d 2 = 64
2 ⋅ 1 d 2 + 3 ⋅ 1 d 2 + 2d 2 = 64
4
2
על פי הנתון הסדרה היא סדרה עולה לכן d > 0ולכן . d = 4מכאן נקבל:
a1 = 2 , a 2 = 6 , a 3 = 10
כעט ,נציב a1 = −2 dבמשוואה )∗ ( ונקבל:
3
d=6 2
⇒
)(d > 0
d 2 = 72
⇒
8 d 2 = 64
9
⇒
) (
2 ⋅ 4 d 2 + 3 ⋅ −2 d 2 + 2d 2 = 64
9
3
קיבלנו כי. a 3 = 8 2 , a 2 = 2 2 , a1 = −4 2 :
26
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
פתרונות
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
תרגיל 40פתרון:
נסמן . a k = b :לפיכך על פי הנתון . a n = bq 2 , a m = bq :כמו כן נתון כי האיברים שייכים
לסדרה חשבונית ,לכן מתקיים:
b − a1 + d
= a k = a1 + d ( k − 1) ⇒ b = a1 + dk − d ⇒ k
d
bq − a1 + d
= a m = a1 + d ( m − 1) ⇒ bq = a1 + dm − d ⇒ m
d
bq 2 − a1 + d
=⇒ n
d
נתבונן בהפרשים n − mו: m − k -
bq = a1 + dn − d
2
⇒
)a n = a1 + d ( n − 1
)bq 2 − a1 + d bq − a1 + d bq 2 − bq bq ( q − 1
= n−m
−
=
=
d
d
d
d
)bq − a1 + d b − a1 + d bq − b b ( q − 1
−
=
=
d
d
d
d
= m−k
נמצא את היחס : n − m
m−k
n−m =q
m−k
⇒
⋅ )n − m = bq ( q − 1) : b ( q − 1) = bq ( q − 1
d
m−k
d
d
d
)b ( q − 1
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
27
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
פתרונות
תרגיל 41פתרון:
א .נבדוק את נכונות הטענה עבור : n = 2
1
2 −1
=
a1 + a 2
a1 + a 2
הנחת האינדוקציה :נניח כי הטענה נכונה עבור k ≥ 2 ) n = kטבעי( ,כלומר:
1
1
1
k −1
+
+ ... +
=
a1 + a 2
a 2 + a3
a k −1 + a k
a1 + a k
על סמך הנחת האינדוקציה נוכיח כי הטענה נכונה עבור , n = k + 1דהיינו יש להראות כי:
1
1
1
1
k
+
+ ... +
+
=
a1 + a 2
a 2 + a3
a k −1 + a k
a k + a k +1
a1 + a k +1
הוכחה :על פי הנחת האינדוקציה נקבל:
1
k −1 +
1
=
=
a k + a k +1
a1 + a k
a k + a k +1
=
a k − a k +1
=
−d
=)
a1 + a k +1
)
)
)+
)
a k − a k +1
()
a k − a k +1
()
⋅1
+
( )
a k + a k +1
a1 − a k
a1 − a k
)
(
()
( )( k − 1
a1 + a k
(
( )( k − 1
a1 − a k
a − a k +1 ( k − 1) a1 − a k
+ k
=
a1 − a k
a k − a k +1
)−d ( k − 1
a1 − a k +1
a1 + a k +1
(
1
+
a k −1 + a k
)
1
+ ... +
a1 + a 2
(
−d
(
a1 − a k
a − a k +1
a − a k +1
+ k
= 1
=
−d
−d
−d
) a1 − ( a1 + dk
a1 − a k +1
k
=
=
a1 + a k +1
−d a1 + a k +1
−d a1 + a k +1
)
)
(
(
=
=
=
=
לסיכום :בדקנו את נכונות הטענה עבור , n = 2הראינו כי נכונות הטענה עבור n = k
) kטבעי( גוררת את נכונותה עבור . n = k + 1לכן הטענה נכונה לכל n ≥ 2טבעי.
ב.
על סמך הנתון a n = 83 , d = 4 , a1 = 7נחשב את : n
n = 20
⇒
)83 = 7 + 4 ( n − 1
לפי סעיף א' נקבל:
)2 ( 20 − 1
2
2
2
38
+
+ ... +
=
=
= 3.23
7 + 11
11 + 15
79 + 83
7 + 83
7 + 83
28
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
פתרונות
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
תרגיל 42פתרון:
נסמן ב d -את הפרש הסדרה הנתונה .מתקיים. z − x = 2d , y − x = z − y = d :
ניעזר בנוסחה
)
(
a 3 − b3 = ( a − b ) a 2 + ab + b 2ונקבל:
x 3 − y3 y3 − x 3
=
=
−d
d
) ( x − y ) ( x 2 + xy + y 2
3
3
3
3
= x −z = z −x
−2d
2d
y3 − z3 z3 − y3
=
−d
d
=
x−y
) ( x − z ) ( x 2 + xz + z 2
x−z
) ( y − z ) ( y 2 + yz + z 2
y−z
= x + y + xy
2
2
= x + z + xz
2
2
= y + z + yz
2
2
כל סדרה חשבונית מקיימת a k −1 + a k +1 = 2a k :מכאן נקבל:
⇒
3
y3 − x 3 z 3 − y3 z 3 − x 3
⎛ 3
⎞
+
=
⎟ = 2⋅⎜ z − x
d
d
d
⎠ ⎝ 2d
)
( )
)
= x 2 + y 2 + xy + y 2 + z 2 + yz
( )
( )
+ y 2 + xy + y 2 + z 2 + yz = 2 x 2 + z 2 + xz
2
(x
(
⇒
מ .ש .ל .
תרגיל 43פתרון:
א .נניח שבסדרה ישנם 2n − 1איברים .המספר הסידורי של האיבר האמצעי הוא:
, 1 + 2n − 1 = nכלומר a nהוא האיבר האמצעי .נמצא את סכום הסדרה:
2
) 2a1 + d ( 2n − 2
)⋅ ( 2n − 1) = ⎡⎣a1 + d ( n − 1) ⎤⎦ ⋅ ( 2n − 1
2
)S2n −1 = a n ⋅ ( 2n − 1
= S2n −1
⇒
⇒
מ .ש .ל .
ב.
2
Sk
לפי הנתון= k 2 ,
Sm m
⇒
⇒
.מכאן נקבל:
2a1 + d ( k − 1) k
=
2a1 + d ( m − 1) m
) 2a1 ( m − k ) = d ( m − k
⇒
⎡⎣ 2a1 + d ( k − 1) ⎤⎦ ⋅ k
2
Sk
2 = k
=
Sm ⎡ 2a + d m − 1 ⎤ ⋅ m m 2
(
)⎦ 2
⎣ 1
⇒
)2a1m + dm ( k − 1) = 2a1k + dk ( m − 1
⇒
⇒
⎦⎤ )2a1 ( m − k ) = d ⎡⎣ k ( m − 1) − m ( k − 1
⇒
d = 2a1
⇒
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
29
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
פתרונות
ak
נתבונן היחס
am
:
ak
= 2k − 1
a m 2m − 1
⇒
) a k a1 + d ( k − 1) a1 + 2a1 ( k − 1) a1 (1 + 2k − 2
=
=
=
) a m a1 + d ( m − 1) a1 + 2a1 ( m − 1) a1 (1 + 2m − 2
מ .ש .ל .
תרגיל 44פתרון:
א .הסדרה הנתונה מקיימת:
)
( )
( )
, 23 , 24 , 25 , 26 , 27 , 28 , 29 ,..., 215 , ...
2
(2 ) , (2 , 2
0
1
האיברים הראשונים בכל קבוצה הם . 20 , 21 , 24 , 29 , 216 , ... :נתבונן בסדרת
החזקות . 0 , 1 , 4 , 9 , 16 , ... :נשים לב לכך שסדרת ההפרשים בין החזקות היא:
1 , 3 , 5 , 7 , ...זאת סדרה חשבונית שהפרשה . 2ניעזר בנוסחה:
a n = a1 + S∗n −1כאשר a1 = 0ו S∗n −1 -סכום של n − 1איברים בסדרה החשבונית:
⇒
a n = 0 + n 2 − 2n + 1
) 2 ⋅1 + 2 ( n − 2
2
⋅ ( n − 1) = ( n − 1) = n 2 − 2n + 1
2
− 2n +1
קיבלנו כי . a n = n 2 − 2n + 1מכאן שהאיבר הראשון בקבוצה ה- n -ית הוא:
ב.
2
= S∗n −1
. 2n
מספר האיברים בקבוצות יוצר סדרה חשבונית .1 , 3 , 5 , 7 , ...לכן בקבוצה ה- n -ית
יש 2n − 1איברים .לפי הנתון וסעיף א' הקבוצה ה- n -ית היא סדרה הנדסית שבה האיבר
הראשון הוא
⇒
− 2n +1
2
− 2n +1
− 2n
n2
2
2nומנת הסדרה היא . 2נמצא את סכומם של 2n − 1איברים:
)=2
(
⋅ 22n −1 − 1
− 2n +1
2 −1
2
2n
= S2n −1
)
⇒
2
30
(
b1 ⋅ q 2n −1 − 1
)n −1
q −1
= S2n −1
(S2n −1 = 2n − 2
2
⇒
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
פתרונות
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
y
תרגיל 45פתרון:
א.
נסמן ב A1 -וב B1 -את נקודות ההשקה
R3
M3
של המעגל M1עם הצירים ה y -והx -
A3
בהתאמה OA1M1B1 .הוא ריבוע .לכן
. OM1 = 2R1נסמן ב A k -וב Bk -את
R2
M2
נקודות ההשקה של המעגל M kעם
הצירים ה y -וה x -בהתאמה.
M1
. OA1M1 ∼ OA 2 M 2לפיכך מתקיים:
R 2 OM1 + M1M 2
=
R1
OM1
⇒
⇒
R 2 OM 2
=
R1 OM1
⇒
2R1
R2
+
2R1
2R1
⎛ R2
1 − 1 ⎞⎟ = 1
⎜
⎝ R1
⎠2
⇒
R2
=
R1
⇒
B3 x
R2
2R1 + R 2
=
R1
2R1
R2
R
− 1 ⋅ 2 =1
R1
2 R1
⇒
⋅ 2 +1
2 +1
B2
⎛ R2
⎞ 2
⎜=
⎠⎟ R1 ⎝ 2 − 1
R2
= 2+ 2
R1
⇒
)
A1
O
) ( M1M 2 = R 2
R2
R
= 1+ 1 ⋅ 2
R1
2 R1
⇒
⎞ R 2 ⎛ 2 −1
=1
⎠⎟ R1 ⎜⎝ 2
⇒
R2
=
R1
⇒
)
2 +1
⇒
R1
B1
⇒
⇒
A2
2 +1
()
(
2
(
2 −1
באופן דומה . OA 3M 3 ∼ OA1M1מכאן נקבל:
) ( M 2 M3 = R 3
⇒
R3
= 2+ 2
R2
⇒
R 3 OM 2 + M 2 M 3
=
R2
OM 2
R3
R
= 1+ 1 ⋅ 3
R2
2 R2
R 3 OM 3
=
R 2 OM 2
⇒
2R 2 + R 3
2R 2
⇒
R3
=
R2
⇒
באופן דומה . OA k +1M k +1 ∼ OA k M kלפיכך מתקיים:
⇒
⎞ ⎛ OM k = 2R k
⎜
⎟
⎠ ⎝ M k M k +1 = R k +1
R k +1
= 2+ 2
Rk
⇒
R k +1 OM k + M k M k +1
=
Rk
OM k
R k +1
R
= 1 + 1 ⋅ k +1
Rk
2 Rk
⇒
⇒
R k +1 OM k +1
=
Rk
OM k
R k +1
2R k + R k +1
=
Rk
2R k
⇒
כתוצאה מכך קיבלנו שהסדרה R1 , R 2 , ... , R nהיא סדרה הנדסית שמנתה. q = 2 + 2 :
ב.
נביע את הרדיוס R 3באמצעות : R1
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
31
סדרות -תרגילים הכנה לבגרות 5יח"ל
פתרונות
(
)
R 3 = 6 + 4 2 ⋅ R1
2
⇒
)
(
R 3 = R1 ⋅ 2 + 2
R 3 = R1 ⋅ q 2
⇒
תרגיל 46פתרון:
א.
בשורה הראשונה רשומה סדרה חשבונית שבה . d = 1 , a1 = 1בשורה השנייה רשומה
סדרה חשבונית שבה d = 2 , a1 = 1וכך הלאה .בשורה ה k -רשומה סדרה חשבונית
שבה d = k , a1 = 1ומספר האיברים הוא . n
נביע את סכום האיברים בשורה kבעזרת kו: n -
k
⎦⎤ ) S( ) = 1 ⎡⎣ kn 2 + n ( 2 − k
2
ב.
⇒
)
)2 ⋅1 + k ( n − 1
k
= ) (S
⋅ n = 1 kn 2 − kn + 2n
2
2
(
נתבונן בסכום האיברים בכל שורה ,ניעזר בתוצאה של סעיף א':
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭⎪
כדי למצוא את סכום של כל האיברים
בטבלה ,נחבר בנפרד את כל המקדמים
של n 2ושל . n
(
)
1
S( ) = 1 n 2 + 1 ⋅ n
2
2
S( ) = 1 2n 2 + 0 ⋅ n
2
3
S( ) = 1 3n 2 − 1 ⋅ n
2
4
S( ) = 1 4n 2 − 2 ⋅ n
2
)
(
)
(
)
(
k
⎦⎤ S( ) = 1 ⎡⎣ kn 2 + ( 2 − k ) ⋅ n
2
n
⎦⎤ S( ) = 1 ⎡⎣ n ⋅ n 2 + ( 2 − n ) ⋅ n
2
לפיכך מתקיים:
1
n
= ⎦⎤ S( ) + ... + S( ) = 1 ⎡⎣(1 + 2 + 3 + ... + n ) ⋅ n 2 + (1 + 0 − 1 − 2 + ... + (2 − n) ) ⋅ n
2
)
(
)
(
)
(
(
)
= 1 ⎡⎢ 1 + n ⋅ n ⋅ n 2 + 1 + 2 − n ⋅ n ⋅ n ⎤⎥ = 1 n 3 + n 4 + 3n 2 − n 3 = 1 n 4 + 3n 2
2⎣ 2
2
4
⎦ 4
לפי הנתון ,הסכום של כל המספרים בטבלה שווה ל . 351 -נחשב את : n
1 n 4 + 3n 2 = 351 ⇒ n 4 + 3n 2 − 1404 = 0 ⇒ n 2 = 36 , n 2 = −39
4
nהוא מספר טבעי לכן . n = 6
)
32
(
© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים סדרות
© Copyright 2025