الإحصاء الوصفي... الدكتور شرف الدين خليل
7
8
ﺍﻟﻔﺼـــﻞ ﺍﻷﻭﻝ
1/1ﻣﻘﺪﻣــﺔ
ﺍﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ﺑﻌﻠﻢ ﺍﻹﺣﺼﺎﺀ
ﻣﻦ ﺍﳌﻔﺎﻫﻴﻢ ﺍﻟﺸﺎﺋﻌﺔ ﺑﲔ ﺍﻟﻨﺎﺱ ﻋﻦ ﺍﻹﺣﺼﺎﺀ ،ﻣﺎ ﻫﻲ ﺇﻻ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻭﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺭﻗﻤﻴﺔ ﻓ ﻘﻂ ،ﻛﺄﻋـﺪﺍﺩ
ﺍﻟﺴﻜﺎﻥ ،ﻭﺃﻋﺪﺍﺩ ﺍﳌﻮﺍﻟﻴﺪ ،ﻭﺃﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻮﻓﻴﺎﺕ ،ﻭﺃﻋﺪﺍﺩ ﺍﳌﺰﺍﺭﻋﲔ ،ﻭﺃﻋﺪﺍﺩ ﺍﳌﺰﺍﺭﻉ ،ﻭﺧﻼﻓﻪ ،ﻭﻣﻦ ﰒ ﺍﺭﺗﺒﻂ
ﻣﻔﻬﻮﻡ ﺍﻟﻨﺎﺱ ﻋﻦ ﺍﻹ ﺣﺼﺎﺀ ﺑﺄﻧﻪ ﻋﺪ ﺃﻭ ﺣﺼﺮ ﺍﻷﺷﻴﺎﺀ ﻭﺍﻟﺘﻌﺒﲑ ﻋﻨﻬﺎ ﺑﺄﺭﻗﺎﻡ ،ﻭﻫﺬﺍ ﻫﻮ ﺍﳌﻔﻬﻮﻡ ﺍﶈﺪﻭﺩ ﻟﻌﻠﻢ
ﺍﻹﺣﺼﺎﺀ ،ﻭﻟﻜﻦ ﺍﻹﺣﺼﺎﺀ ﻛﻌﻠﻢ ،ﻫﻮ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﻬﺘﻢ ﺑﻄﺮﻕ ﲨﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ،ﻭﺗﺒﻮﻳﺒﻬﺎ ،ﻭﺗﻠﺨﻴﺼﻬﺎ ﺑﺸﻜﻞ ﳝﻜﻦ
ﺍﻻﺳﺘﻔﺎﺩﺓ ﻣﻨﻬﺎ ﰲ ﻭﺻﻒ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻭﲢﻠﻴﻠﻬﺎ ﻟﻠﻮﺻﻮﻝ ﺇﱃ ﻗﺮﺍﺭﺍﺕ ﺳﻠﻴﻤﺔ ﰲ ﻇﻞ ﻇﺮﻭﻑ ﻋﺪﻡ ﺍﻟﺘﺄﻛﺪ .
2/1ﻭﻇﺎﺋﻒ ﻋﻠﻢ ﺍﻹﺣﺼﺎﺀ
ﻣﻦ ﺍﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﳝﻜﻦ ﲢﺪﻳﺪ ﺃﻫﻢ ﻭﻇﺎﺋﻒ ﻋﻠﻢ ﺍﻹﺣﺼﺎﺀ ﰲ ﺍﻵﰐ :
-1ﻭﺻﻒ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ Data Description
-2ﺍﻻﺳﺘﺪﻻﻝ ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻲ Statistical Inference
-3ﺍﻟﺘﻨﺒﺆ Forecasting
ﺃﻭﻻ :ﻭﺻﻒ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ
ﺗﻌﺘﱪ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﲨﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻭﺗﺒﻮﻳﺒﻬﺎ ﻭﺗﻠﺨﻴﺼﻬﺎ ﻣﻦ ﺃﻫﻢ ﻭﻇﺎﺋﻒ ﻋﻠ ﻢ ﺍﻹﺣـﺼﺎﺀ ،ﺇﺫ ﻻ ﳝﻜـﻦ
ﺍﻻﺳﺘﻔﺎﺩﺓ ﻣﻦ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﳋﺎﻡ ،ﻭﻭﺻﻒ ﺍﻟﻈﻮﺍﻫﺮ ﺍﳌﺨﺘﻠﻔﺔ ﳏﻞ ﺍﻻﻫﺘﻤﺎﻡ ،ﺇﻻ ﺇﺫﺍ ﰎ ﲨﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻭﻋﺮﺿﻬﺎ ﰲ
ﺷﻜﻞ ﺟﺪﱄ ،ﺃﻭ ﺑﻴﺎﱐ ﻣﻦ ﻧﺎﺣﻴﺔ ،ﻭﺣﺴﺎﺏ ﺑﻌﺾ ﺍﳌﺆﺷﺮﺍﺕ ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻴﺔ ﺍﻟﺒﺴﻴﻄﺔ ﺍﻟﱵ ﺗﺪﻟﻨﺎ ﻋﻠـﻰ ﻃﺒﻴﻌـﺔ
ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻣﻦ ﻧﺎﺣﻴﺔ ﺃﺧﺮﻯ .
ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﺍﻻﺳﺘﺪﻻﻝ ﺍﻹﺣﺼ ﺎﺋﻲ
ﻭﻫﻮ ﺃﻳﻀﺎ ﻣﻦ ﺃﻫﻢ ﺍﻟﻮﻇﺎﺋﻒ ﺍﳌﺴﺘﺨﺪﻣﺔ ﰲ ﳎﺎﻝ ﺍﻟﺒﺤﺚ ﺍﻟﻌﻠﻤﻲ ،ﻭﻳﺴﺘﻨﺪ ﺍﻻﺳﺘﺪﻻﻝ ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻲ
ﻋﻠﻰ ﻓﻜﺮﺓ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﺟﺰﺀ ﻣﻦ ﺍﺘﻤﻊ ﻳﺴﻤﻰ ﻋﻴﻨﺔ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ ﻣﻨﺎﺳﺒﺔ ،ﺑﻐﺮﺽ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ
ﰲ ﺍﻟﺘﻮﺻﻞ ﺇﱃ ﻧﺘﺎﺋﺞ ،ﳝﻜﻦ ﺗﻌﻤﻴﻤﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﳎﺘﻤﻊ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﺔ ،ﻭﻣﻦ ﰒ ﻳﻬﺘﻢ ﺍﻻﺳﺘﺪﻻﻝ ﺍ ﻹﺣﺼﺎﺋﻲ ﲟﻮﺿﻮﻋﲔ
ﳘﺎ :
-1ﺍﻟﺘﻘﺪﻳﺮ : Estimateﻭﻓﻴﻪ ﻳﺘﻢ ﺣﺴﺎﺏ ﻣﺆﺷﺮﺍﺕ ﻣﻦ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺗـﺴﻤﻰ ﺇﺣـﺼﺎﺀ Statistics
ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﻛﺘﻘﺪﻳﺮ ﳌﺆﺷﺮﺍﺕ ﺍﺘﻤﻊ ﻭﺗﺴﻤﻰ ﻣﻌﺎﱂ ، Parametersﻭﻳﻄﻠﻖ ﻋﻠﻰ ﺍﳌﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﻹﺣـﺼﺎﺋﻴﺔ
ﺍﶈﺴﻮﺑﺔ ﻣﻦ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﰲ ﻫﺬﻩ ﺍﳊﺎﻟﺔ ﺑﺎﻟﺘﻘﺪﻳﺮ ﺑﻨﻘﻄﺔ ، Point Estimateﻛﻤ ﺎ ﳝﻜـﻦ ﺃﻳـﻀﺎ
ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﳌﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻴﺔ ﺍﶈﺴﻮﺑﺔ ﻣﻦ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﰲ ﺗﻘﺪﻳﺮ ﺍﳌﺪﻯ ﺍﻟﺬﻱ ﳝﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﻘﻊ ﺩﺍﺧﻠـﻪ
ﻣﻌﻠﻤﺔ ﺍﺘﻤﻊ ﺑﺎﺣﺘﻤﺎﻝ ﻣﻌﲔ ،ﻭﻳﺴﻤﻰ ﺫﻟﻚ ﺍﻟﺘﻘﺪﻳﺮ ﺑﻔﺘﺮﺓ . Interval Estimate
9
-2ﺍﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﻔﺮﻭﺽ : Tests of Hypothesesﻭﻓﻴﻪ ﻳﺘﻢ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﻟﻠﻮﺻﻮﻝ ﺇﱃ ﻗﺮﺍﺭ
ﻋﻠﻤﻲ ﺳﻠﻴﻢ ﲞﺼﻮﺹ ﺍﻟﻔﺮﻭﺽ ﺍﶈﺪﺩﺓ ﺣﻮﻝ ﻣﻌﺎﱂ ﺍﺘﻤﻊ .
ﺛﺎﻟﺜﺎ :ﺍﻟﺘﻨﺒﺆ
ﻭﻓﻴﻪ ﻳﺘﻢ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻧﺘﺎﺋﺞ ﺍﻻﺳﺘﺪﻻﻝ ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻲ ،ﻭﺍﻟﱵ ﺗﺪﻟﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺳﻠﻮﻙ ﺍﻟﻈﺎﻫﺮﺓ ﰲ ﺍﳌﺎﺿﻲ ﰲ
ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﺎ ﳝﻜﻦ ﺃﻥ ﳛﺪﺙ ﳍﺎ ﰲ ﺍﳊﺎﺿﺮ ﻭﺍﳌﺴﺘﻘﺒﻞ .ﻭﻫﻨﺎﻙ ﺍﻟﻌﺪﻳﺪ ﻣﻦ ﺍﻷﺳﺎﻟﻴﺐ ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻴﺔ ﺍﳌﻌﺮﻭﻓﺔ ﺍﻟﱵ
ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﰲ ﺍﻟﺘﻨﺒﺆ ،ﻭﻣﻦ ﺃﺑﺴﻄﻬﺎ ﺃﺳﻠﻮﺏ ﺍﻻﲡﺎﻩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ،ﻭﻫﻲ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺭﻳﺎﺿﻴﺔ ﻳﺘﻢ ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻣﻌﺎﻣﻼﺎ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ
ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ،ﰒ ﺑﻌﺪ ﺫﻟﻚ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﻘﺪﺭﺓ ﰲ ﺍﻟﺘﻨﺒﺆ ﲟﺎ ﳝﻜﻦ ﺃﻥ ﳛﺪﺙ ﻟﻠﻈﺎﻫﺮﺓ ﰲ ﺍﳌﺴﺘﻘﺒﻞ .
3/1ﺃﻧﻮﺍﻉ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻭﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ
ﻣﻦ ﺍﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﻌﻠﻢ ﺍﻹﺣﺼﺎﺀ ،ﻳ ﻼﺣﻆ ﺃﻧﻪ ﺍﻟﻌﻠﻢ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﻬﺘﻢ ﲜﻤﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ، Dataﻭ ﻧﻮﻉ
ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ،ﻭﻃﺮﻳﻘﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ﻣﻦ ﺃﻫﻢ ﺍﻷﺷﻴﺎﺀ ﺍﻟﱵ ﲢﺪﺩ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻞ ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻲ ﺍﳌﺴﺘﺨﺪﻡ ،ﻭﻟﻠﺒﻴﺎﻧـﺎﺕ ﺃﻧـﻮﺍﻉ
ﲣﺘﻠﻒ ﰲ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ،ﻭﻣﻦ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ :ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻨﻮﻉ ) ﺫﻛﻮﺭ – Maleﺇﻧﺎﺙ ، ( Female
ﻭﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺗﻘﺪﻳﺮ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ) ، (D-D + -C-C + -B-B + -A-A+ﻭﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻋﻦ ﺩﺭﺟﺔ ﺍﳊﺮﺍﺭﺓ ﺍﻟﻼﺯﻣﺔ ﳊﻔـﻆ
ﺍﻟﺪﺟﺎﺝ ﻓﺘﺮﺓ ﺯﻣﻨﻴﺔ ﻣﻌﻴﻨﺔ ،ﻭﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻋﻦ ﺣﺠﻢ ﺍﻹﻧﻔﺎﻕ ﺍﻟﻌﺎﺋﻠﻲ ﺑﺎﻷﻟﻒ ﺭﻳﺎﻝ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﺸﻬﺮ .ﻭ ﻣﻦ ﻫـﺬﻩ
ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﳒﺪ ﺃﻥ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﻏﲑ ﺭﻗﻤﻴﺔ ،ﺑﻴﻨﻤﺎ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺗﻘﺪﻳﺮ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺭﻗﻤﻴﺔ ﻣﻮﺿﻮﻋﺔ ﰲ ﺷـﻜﻞ
ﻣﺴﺘﻮﻳﺎﺕ ﺃﻭ ﻓﺌﺎﺕ ،ﺃﻣﺎ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺩﺭﺟﺔ ﺍﳊﺮﺍﺭﺓ ،ﻭﺣﺠﻢ ﺍﻹﻧﻔﺎﻕ ﺍﻟﻌﺎﺋﻠﻲ ﻓﻬﻲ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺭﻗﻤﻴﺔ ،ﻭﻣﻦ
ﰒ ﳝﻜﻦ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺇﱃ ﳎﻤﻮﻋﺘﲔ ﳘﺎ :
-1ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻮﺻﻔﻴﺔ Qualitative Data
-2ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ Quantitative Data
ﺃﻭﻻ :ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻮﺻﻔﻴﺔ
ﻫﻲ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻏﲑ ﺭﻗﻤﻴﺔ ،ﺃﻭ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺭﻗﻤﻴﺔ ﻣﺮﺗﺒﺔ ﰲ ﺷﻜﻞ ﻣﺴﺘﻮﻳﺎﺕ ﺃﻭ ﰲ ﺷﻜﻞ ﻓﺌﺎﺕ ﺭﻗﻤﻴـﺔ ،
ﻭﻣﻦ ﰒ ﺗﻘﺎ ﺱ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻮﺻﻔﻴﺔ ﲟﻌﻴﺎﺭﻳﻦ ﳘﺎ :
ﺃ -ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻭﺻﻔﻴﺔ ﻣﻘﺎﺳﺔ ﲟﻌﻴﺎﺭ ﺍﲰﻲ : Nominal Scaleﻭﻫﻲ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻏﲑ ﺭﻗﻤﻴﺔ ﺗﺘﻜﻮﻥ ﻣﻦ ﳎﻤﻮﻋﺎﺕ
ﻣﺘﻨﺎﻓﻴﺔ ،ﻛﻞ ﳎﻤﻮﻋﺔ ﳍﺎ ﺧﺼﺎﺋﺺ ﲤﻴﺰﻫﺎ ﻋﻦ ﺍﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﺧﺮﻯ ،ﻛﻤﺎ ﺃﻥ ﻫﺬﻩ ﺍﻤﻮﻋـﺎﺕ ﻻ ﳝﻜـﻦ
ﺍﳌﻔﺎﺿﻠﺔ ﺑﻴﻨﻬ ﺎ ،ﻭﻣﻦ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ :
ﺍﻟﻨﻮﻉ :ﻣﺘﻐﲑ ﻭﺻﻔﻲ ﺗﻘﺎﺱ ﺑﻴﺎﻧﺎﺗﻪ ﲟﻌﻴﺎﺭ ﺍﲰﻲ " ﺫﻛﺮ – ﺃﻧﺜﻰ " . ﺍﳊﺎﻟﺔ ﺍﻻﺟﺘﻤﺎﻋﻴﺔ :ﻣﺘﻐﲑ ﻭﺻﻔﻲ ﺗﻘﺎﺱ ﺑﻴﺎﻧﺎﺗﻪ ﲟﻌﻴﺎﺭ ﺍﲰﻲ " ﻣﺘﺰﻭﺝ ـ ﺃﻋﺰﺏ ـ ﺃﺭﻣﻞ ـ ﻣﻄﻠﻖ " . ﺃﺻﻨﺎﻑ ﺍﻟﺘﻤﻮﺭ :ﻣﺘﻐﲑ ﻭﺻﻔﻲ ﻳﻘﺎﺱ ﺑﻴﺎﻧﺎﺗﻪ ﲟﻌﻴﺎﺭ ﺍﲰﻲ " ﺑﺮﺣﻲ ـ ﺧﻼﺹ ـ ﺳﻜﺮﻱ ـ . " .... ﺍﳉﻨﺴﻴﺔ :ﻣﺘﻐﲑ ﻭﺻﻔﻲ ﻳﻘﺎﺱ ﺑﻴﺎﻧﺎﺗﻪ ﲟﻌﻴﺎﺭ ﺍﲰﻲ " ﺳﻌﻮﺩﻱ ـ ﻏﲑ ﺳﻌﻮﺩﻱ "ﻭﻫﺬﺍ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﻣﻦ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﳝﻜﻦ ﺗﻜﻮﻳﺪ ﳎﻤﻮﻋﺎﺗﻪ ﺑﺄﺭﻗﺎﻡ ،ﻓﻤﺜﻼ ﺍﳉﻨـﺴﻴﺔ ﳝﻜـﻦ ﺇﻋﻄـﺎﺀ ﺍﳉﻨـﺴﻴﺔ
" ﺳﻌﻮﺩﻱ " ﺍﻟﻜﻮﺩ ) ، ( 1ﻭﺍﳉﻨﺴﻴﺔ " ﻏﲑ ﺳﻌﻮﺩﻱ " ﺍﻟﻜﻮﺩ ) ( 2
10
ﺏ -ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻭﺻﻔﻴﺔ ﻣﻘﺎﺳﺔ ﲟﻌﻴﺎﺭ ﺗﺮﺗﻴﱯ : Ordinal Scalesﻭﺗﺘﻜﻮﻥ ﻣﻦ ﻣﺴﺘﻮﻳﺎﺕ ،ﺃﻭ ﻓﺌـﺎﺕ ﳝﻜـﻦ
ﺗﺮﺗﻴﺒﻬﺎ ﺗﺼﺎﻋﺪﻳﺎ ﺃﻭ ﺗﻨﺎﺯﻟﻴﺎ ،ﻭﻣﻦ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ :
-ﺗﻘﺪﻳﺮ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ :ﻣﺘﻐﲑ ﻭﺻﻔﻲ ﺗﻘﺎﺱ ﺑﻴﺎﻧﺎﺗﻪ ﲟﻌﻴﺎﺭ ﺗﺮﺗﻴﱯ " "D-D + -C-C + -B-B + -A-A+
ﺍﳌﺴﺘﻮﻯ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻲ :ﻣﺘﻐﲑ ﻭﺻﻔﻲ ﺗﻘﺎﺱ ﺑﻴﺎﻧﺎﺗﻪ ﲟﻌﻴﺎﺭ ﺗﺮﺗﻴﱯ " ﺃﻣﻲ – ﻳﻘﺮﺃ ﻭﻳﻜﺘﺐ ـ ﺍﺑﺘﺪﺍﺋﻴﺔـ ﻣﺘﻮﺳﻄﺔ ـ ﺛﺎﻧﻮ ﻳﺔ ـ ﺟﺎﻣﻌﻴﺔ ـ ﺃﻋﻠﻰ ﻣﻦ ﺟﺎﻣﻌﻴﺔ "
ﺗﺮﻛﻴﺰ ﺧﻼﺕ ﺍﻟﺼﻮﺩﻳﻮﻡ ﺍﳌﺴﺘﺨﺪﻡ ﰲ ﺣﻔﻆ ﳊﻮﻡ ﺍﻟﺪﺟﺎﺝ ﻣﻦ ﺍﻟﺒﻜﺘﺮﻳﺎ :ﻣﺘﻐﲑ ﻭﺻﻔﻲ ﺗﺮﺗﻴﱯﻳﻘﺎﺱ ﺑﻴﺎﻧﺎﺗﻪ ﲟﻌﻴﺎﺭ ﺗﺮﺗﻴﱯ " 0%ـ 5%ـ 10%ـ " 15%
-ﻓﺌﺎﺕ ﺍﻟﺪﺧﻞ ﺍﻟﻌﺎﺋﻠﻲ ﰲ ﺍﻟﺸﻬﺮ ﺑﺎﻟﺮﻳﺎﻝ " 10000-15000 ، 5000-10000 ، <5000
." >20000 ، 15000-20000 ،
ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ
ﻫﻲ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻳﻌﱪ ﻋﻨﻬﺎ ﺑﺄﺭﻗﺎﻡ ﻋﺪﺩﻳﺔ ﲤﺜﻞ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻔﻌﻠﻴﺔ ﻟﻠﻈﺎﻫﺮﺓ ،ﻭﺗﻨﻘﺴﻢ ﺇﱃ ﻗﺴﻤﲔ
ﳘﺎ :
ﺃ -ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻓﺘﺮﺓ : Interval Dataﻭﻫﻲ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺭﻗﻤﻴﺔ ،ﺗﻘﺎﺱ ﲟﻘﺪﺍﺭ ﺑﻌﺪﻫﺎ ﻋﻦ ﺍﻟﺼﻔﺮ ،ﺃﻱ ﺃﻥ
ﻟﻠﺼﻔﺮ ﺩﻻﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻭﺟﻮﺩ ﺍﻟﻈﺎﻫﺮﺓ ،ﻭﻣﻦ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﺫﻟﻚ :
ﺩﺭﺟﺔ ﺍﳊﺮﺍﺭﺓ :ﻣﺘﻐﲑ ﻛﻤﻲ ﺗ ﻘﺎﺱ ﺑﻴﺎﻧﺎﺗﻪ ﲟﻌﻴﺎﺭ ﺑﻌﺪﻱ ،ﺣﻴﺚ ﺃﻥ ﺩﺭﺟﺔ ﺍﳊﺮﺍﺭﺓ " " 0ﻟﻴﺲo
ﻣﻌﻨﺎﻩ ﺍﻧﻌﺪﺍﻡ ﺍﻟﻈﺎﻫﺮﺓ ،ﻭﻟﻜﻨﻪ ﻳ ﺪﻝ ﻋﻠﻰ ﻭﺟﻮﺩ ﺍﻟﻈﺎﻫﺮﺓ .
ﺩﺭﺟﺔ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﰲ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ :ﻣﺘﻐﲑ ﻛﻤﻲ ﻳﻘﺎﺱ ﺑﻴﺎﻧﺎﺗﻪ ﲟﻌﻴﺎﺭ ﺑﻌﺪﻱ ،ﺣﻴﺚ ﺣﺼﻮﻝ ﺍﻟﻄﺎﻟـﺐﻋﻠﻰ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ " " 0ﻻ ﻳﻌﲏ ﺍﻧﻌﺪﻡ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ .
ﺏ -ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻧﺴﺒﻴﺔ : Ratio Dataﻫﻲ ﻣﺘﻐ ﲑﺍﺕ ﻛﻤﻴﺔ ،ﺗﺪﻝ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ " " 0ﻋﻠﻰ ﻋـﺪﻡ ﻭﺟـﻮﺩ
ﺍﻟﻈﺎﻫﺮﺓ ﻭﻣ ﻦ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ :
ﺇﻧﺘﺎﺟﻴﺔ ﺍﻟﻔﺪﺍﻥ ﺑﺎﻟﻄﻦ /ﻫﻜﺘﺎﺭ . ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﱰﺭﻋﺔ ﺑﺎﻷﻋﻼﻑ ﺑﺎﻟﺪﻭﱎ . ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻷﻟﺒﺎﻥ ﺍﻟﱵ ﺗﻨﺘﺠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻘﺮﺓ ﰲ ﺍﻟﻴﻮﻡ . ﻋﺪﺩ ﻣﺮﺍﺕ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﳌﺰﺭﻋﺔ ﻟﻨﻮﻉ ﻣﻌﲔ ﻣﻦ ﺍﻷﲰﺪﺓ . ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻮﺣﺪﺍﺕ ﺍﳌﻌﻴﺒﺔ ﻣﻦ ﺇﻧﺘﺎﺝ ﺍﳌﺰﺭﻋ ﺔ .ﻭﻳﻼﺣﻆ ﺃﻥ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﻻ ﳝﻜﻦ ﺇﺧﻀﺎﻋﻬﺎ ﻟﻠﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﳊﺴﺎﺑﻴﺔ ﻣﺜﻞ ﻋﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻟـﻀﺮﺏ
ﻭﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ،ﺑﻴﻨﻤﺎ ﳝﻜﻦ ﻓﻌﻞ ﺫﻟﻚ ﻣﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ .
4/1ﻃﺮﻕ ﲨﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ
ﺗﻌﺘﱪ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﲨﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻣﻦ ﺃﻫﻢ ﺍﳌﺮﺍﺣﻞ ﺍﻟﱵ ﻳﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺍﻟﺒﺤﺚ ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻲ ،ﻛﻤﺎ
ﺃﻥ ﲨﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺑﺄﺳﻠﻮﺏ ﻋﻠﻤﻲ ﺻﺤﻴﺢ ،ﻳﺘﺮﺗﺐ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﱃ ﻧﺘﺎﺋﺞ ﺩﻗﻴﻘﺔ ﰲ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴـﻞ،
11
ﻭﻟﺪﺭﺍﺳﺔ ﻃﺮﻕ ﲨﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ،ﳚﺐ ﺍﻹﳌﺎﻡ ﺑﺎﻟﻨﻘﺎﻁ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
-1ﻣﺼﺎﺩﺭ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ .
-3ﺃﻧﻮﺍﻉ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ
-2ﺃﺳﻠﻮﺏ ﲨﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ .
-4ﻭﺳﺎﺋﻞ ﲨﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ .
1 /4 /1ﻣﺼﺎﺩﺭ ﲨﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ
ﻫﻨﺎﻙ ﻣﺼﺪﺭﻳﻦ ﻟﻠﺤﺼﻮﻝ ﻣﻨﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﳘﺎ :
-1ﺍﳌﺼﺎﺩﺭ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ .
ﺃﻭﻻ :ﺍﳌﺼﺎﺩﺭ
-2ﺍﳌﺼﺎﺩﺭ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻳﺔ .
ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ :ﻭﻫﻲ ﺍﳌﺼﺎﺩﺭ ﺍﻟﱵ ﳓﺼﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺑﺸﻜﻞ ﻣﺒﺎﺷﺮ ،ﺣﻴﺚ
ﻳﻘﻮﻡ ﺍﻟﺒﺎﺣﺚ ﻧﻔﺴﻪ ﲜﻤﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻣﻦ ﺍﳌﻔﺮﺩﺓ ﳏﻞ ﺍﻟﺒﺤﺚ ﻣﺒﺎﺷﺮﺓ ،ﻓﻌﻨﺪ ﻣﺎ ﻳﻬﺘﻢ ﺍﻟﺒﺎﺣﺚ ﲜﻤﻊ
ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻋﻦ ﺍﻷﺳ ﺮﺓ ،ﻳﻘﻮﻡ ﺑﺈﺟﺮﺍﺀ ﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻣﻊ ﺭﺏ ﺍﻷﺳﺮﺓ ،ﻭﻳﺘﻢ ﺍﳊﺼﻮﻝ ﻣﻨﻪ ﻣﺒﺎﺷﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ
ﺧﺎﺻﺔ ﺑﺄﺳﺮﺗﻪ ،ﻣﺜﻞ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﻟﺘﺎﺑﻊ ﳍﺎ ،ﻭﺍﳊﻲ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﺴﻜﻦ ﻓﻴﻪ ،ﻭﺍﳊﻨـﺴﻴﺔ ،ﻭﺍﳌﻬﻨـﺔ،
ﻭﺍﻟﺪﺧﻞ ﺍﻟﺸﻬﺮﻱ ،ﻭﻋﺪﺩ ﺃﻓﺮﺍﺩ ﺍﻷﺳﺮ ﺓ ،ﻭﺍﳌﺴﺘﻮﻯ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻲ ... ،ﻭﻫﻜﺬﺍ .
ﻭﻳﺘﻤﻴﺰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﻣﻦ ﺍﳌﺼﺎﺩﺭ ﺑﺎﻟﺪﻗﺔ ﻭ ﺍﻟﺜﻘﺔ ﰲ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ،ﻷﻥ ﺍﻟﺒﺎﺣﺚ ﻫﻮ ﺍﻟﺬﻱ
ﻳﻘﻮﻡ ﺑﻨﻔﺴﻪ ﲜﻤﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻣﻦ ﺍﳌﻔﺮﺩﺓ ﳏﻞ ﺍﻟﺒﺤﺚ ﻣﺒﺎﺷﺮﺓ ،ﻭﻟﻜﻦ ﺃﻫﻢ ﻣﺎ ﻳﻌﺎﺏ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺃﺎ ﲢﺘﺎﺝ
ﺇﱃ ﻭﻗﺖ ﻭﳎﻬﻮﺩ ﻛﺒﲑ ،ﻭﻣﻦ ﻧﺎﺣﻴﺔ ﺃﺧﺮﻯ ﺃﺎ ﻣﻜﻠﻔﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﺎﺣﻴﺔ ﺍﳌﺎﺩﻳﺔ .
ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﺍﳌﺼﺎﺩﺭ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻳﺔ:
ﻭﻫﻲ ﺍﳌﺼﺎﺩﺭ ﺍﻟﱵ ﳓﺼﻞ ﻣ ﻨﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﻴ ﺎﻧﺎﺕ ﺑﺸﻜﻞ ﻏﲑ
ﻣﺒﺎﺷﺮ ،ﲟﻌﲎ ﺁﺧﺮ ﻳﺘﻢ ﺍﳊﺼﻮﻝ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ ﺃﺷﺨﺎﺹ ﺁﺧﺮﻳﻦ ،ﺃﻭ ﺃﺟﻬﺰﺓ ،ﻭﻫﻴﺌـﺎﺕ ﺭﲰﻴـﺔ
ﻣﺘﺨﺼﺼﺔ ،ﻣﺜﻞ ﻧﺸﺮﺍﺕ ﻭﺯﺍﺭﺓ ﺍﻟﺰﺭﺍﻋﺔ ،ﻭﻧﺸﺮﺍﺕ ﻣﺼﻠﺤﺔ ﺍﻹﺣﺼﺎﺀ ،ﻭﻧﺸﺮﺍﺕ ﻣﻨﻈﻤﺔ ﺍﻷﻏﺬﻳﺔ "
ﺍﻟﻔﺎﻭ " ....ﻭﻫﻜﺬﺍ .
ﻭﻣﻦ ﻣﺰﺍﻳﺎ ﻫﺬ ﺍ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﻣﻦ ﺍﳌﺼﺎﺩﺭ ،ﺗﻮﻓﲑ ﺍﻟﻮﻗﺖ ﻭﺍﳉﻬﺪ ﻭﺍﳌﺎﻝ ،ﺇﻻ ﺃﻥ ﺩﺭﺟ ﺔ ﺛﻘﺔ
ﺍﻟﺒﺎﺣﺚ ﻓﻴ ﻬﺎ ﻟﻴﺴﺖ ﺑﻨﻔﺲ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﳌﺼﺎﺩﺭ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ .
2 /4 /1ﺃﺳﻠﻮﺏ ﲨﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ
ﻳﺘﺤﺪﺩ ﺍﻷﺳﻠﻮﺏ ﺍﳌﺴﺘﺨﺪﻡ ﰲ ﲨﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ،ﺣﺴﺐ ﺍﳍﺪﻑ ﻣﻦ ﺍﻟﺒﺤﺚ ،ﻭﺣﺠﻢ
ﺍﺘﻤﻊ ﳏﻞ ﺍﻟﺒﺤﺚ ،ﻭﻫﻨﺎﻙ ﺃﺳﻠﻮﺑﲔ ﳉﻤﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﳘﺎ :
-1ﺃﺳﻠﻮﺏ ﺍﳊﺼﺮ ﺍﻟﺸﺎﻣﻞ .
-2ﺃﺳﻠﻮﺏ ﺍﳌ ﻌﺎﻳﻨﺔ.
ﺃﻭﻻ :ﺃﺳﻠﻮﺏ ﺍﳊﺼﺮ ﺍﻟﺸﺎﻣﻞ :ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﻫﺬﺍ ﺍﻷﺳﻠﻮﺏ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻐﺮﺽ ﻣﻦ ﺍﻟﺒﺤﺚ ﻫﻮ
ﺣﺼﺮ ﲨﻴﻊ ﻣﻔﺮﺩﺍﺕ ﺍﺘﻤﻊ ،ﻭﰲ ﻫﺬﻩ ﺍﳊﺎﻟﺔ ﻳﺘﻢ ﲨﻊ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻋﻦ ﻛﻞ ﻣﻔﺮﺩﺓ ﻣﻦ ﻣﻔﺮﺩﺍﺕ ﺍﺘﻤﻊ
ﺑﻼ ﺍﺳﺘﺜﻨﺎﺀ ،ﻛﺤﺼﺮ ﲨﻴﻊ ﺍﳌﺰﺍﺭﻉ ﺍﻟﱵ ﺗﻨﺘﺞ ﺍﻟﺘﻤﻮﺭ ،ﺃﻭ ﺣﺼﺮ ﺍﻟﺒﻨﻮﻙ ﺍﻟﺰﺭﺍﻋﻴـﺔ ﰲ ﺍﳌﻤﻠﻜـﺔ،
ﻭﻳﺘﻤﻴﺰ ﺃﺳﻠﻮﺏ ﺍﳊﺼﺮ ﺍﻟﺸﺎﻣﻞ ﺑﺎﻟﺸﻤﻮﻝ ﻭﻋﺪﻡ ﺍﻟﺘﺤﻴﺰ ،ﻭﺩﻗﺔ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ،ﻭﻟﻜﻦ ﻳﻌﺎﺏ ﻋﻠﻴﻪ ﺃﻧـﻪ
ﳛﺘﺎﺝ ﺇﱃ ﺍﻟﻮﻗﺖ ﻭﺍﻬﻮﺩ ،ﻭﺍﻟﺘﻜﻠﻔﺔ ﺍﻟﻌﺎﻟﻴﺔ .
12
ﺛﺎﻧﻴﺎ :
ﺃﺳﻠﻮﺏ ﺍﳌﻌﺎﻳﻨﺔ :ﻳﻌﺘﻢ ﻫﺬﺍ ﺍ ﻷﺳﻠﻮﺏ ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎﻳﻨﺔ ﺟﺰﺀ ﻣﻦ ﺍﺘﻤﻊ ﳏﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﺔ ،ﻳﺘﻢ
ﺍﺧﺘﻴﺎﺭﻩ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ ﺳﻠﻴﻤﺔ ،ﻭﺩﺭﺍﺳﺘﻪ ﰒ ﺗﻌﻤﻴﻢ ﻧﺘﺎﺋﺞ ﺍﻟﻌﻴ ﻨﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﺘﻤﻊ ،ﻭﻣﻦ ﰒ ﻳﺘﻤﻴﺰ ﻫﺬﺍ
ﺍﻷﺳﻠﻮﺏ ﺑﺎﻵﰐ :
-1ﺗﻘﻠﻴﻞ ﺍﻟﻮﻗﺖ ﻭﺍﳉﻬﺪ .
-2ﺗﻘﻠﻴﻞ ﺍﻟﺘﻜﻠﻔﺔ .
-3ﺍﳊﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺃﻛﺜﺮ ﺗﻔﺼﻴﻼ ،ﻭﺧﺎﺻﺔ ﺇﺫﺍ ﲨﻌﺖ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻣـﻦ ﺧـﻼﻝ ﺍﺳـﺘﻤﺎﺭﺓ
ﺍﺳﺘﺒﻴﺎﻥ .
-4ﻛﻤﺎ ﺃﻥ ﺃﺳﻠﻮﺏ ﺍﳌﻌﺎﻳﻨﺔ ﻳﻔﻀﻞ ﰲ ﺑﻌﺾ ﺍﳊﺎﻻﺕ ﺍﻟﱵ ﻳﺼﻌﺐ ﻓﻴﻬﺎ ﺇﺟﺮﺍﺀ ﺣﺼﺮ ﺷﺎﻣﻞ ،ﻣﺜﻞ
ﻣﻌﺎﻳﻨﺔ ﺩﻡ ﺍﳌﺮ ﻳﺾ ،ﺃﻭ ﺇﺟﺮﺍﺀ ﺗﻌﺪﺍﺩ ﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﲰﺎﻙ ﰲ ﺍﻟﺒﺤﺮ ،ﺃﻭ ﻣﻌﺎﻳﻨﺔ ﺍﻟﻠﻤﺒﺎﺕ ﺍﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻴﺔ .
ﻭﻟﻜﻦ ﻳﻌﺎﺏ ﻋﻠ ﻰ ﺃﺳﺎﻭﺏ ﺍﳌﻌﺎﻳﻨﺔ :ﺃﻥ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﻟﱵ ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻷﺳﻠﻮﺏ ﺃﻗﻞ
ﺩﻗﺔ ﻣﻦ ﻧﺘﺎﺋﺞ ﺃﺳﻠﻮﺏ ﺍﳊﺼﺮ ﺍﻟﺸﺎﻣﻞ ،ﻭﺧﺎﺻﺔ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺍﳌﺨﺘﺎﺭﺓ ﻻ ﲤﺜﻞ ﺍﺘﻤﻊ ﲤﺜـﻴﻼ
ﺟﻴﺪﺍ .
3 /4 /1ﺃﻧﻮﺍﻉ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ
ﻟﻜﻲ ﻧﺴﺘﻌﺮﺽ ﺃﻧﻮﺍﻉ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ ،ﻳﺘﻢ ﺃﻭﻻ ﲢﺪﻳﺪ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﲔ ﳎﺘﻤﻊ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﺔ ،ﻭﺍﻟﻌﻴﻨﺔ
ﺍﳌﺴﺤﻮﺑﺔ ﻣﻦ ﻫﺬﺍ ﺍﺘﻤﻊ .
ﺃ -ﺍﺘﻤﻊ :ﻫﻮ ﳎﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ ﺍﳌﻔﺮﺩﺍﺕ ﺍﻟﱵ ﺗﺸﺘﺮﻙ ﰲ ﺻﻔﺎﺕ ،ﻭﺧﺼﺎﺋﺺ ﳏـﺪﺩﺓ ،ﻭﳎﺘﻤـﻊ
ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﺸﻤﻞ ﲨﻴﻊ ﻣﻔﺮﺩﺍﺕ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﺔ ،ﺃﻱ ﻫﻮ ﺍﻟﻜﻞ ﺍﻟﺬﻱ ﻧﺮﻏﺐ ﺩﺭﺍﺳﺘﻪ ،ﻣﺜﻞ
ﳎﺘﻤﻊ ﻣ ﺰﺍﺭﻉ ﺇﻧﺘﺎﺝ ﺍﻟﺪﻭﺍﺟﻦ ،ﺃﻭ ﳎﺘﻤﻊ ﻃﻼﺏ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻱ .
ﺏ -ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ :ﻫﻮ ﺟﺰﺀ ﻣﻦ ﺍﺘﻤﻊ ﻳﺘﻢ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭﻩ ﺑﻄﺮﻕ ﳐﺘﻠﻔﺔ ﺑﻐﺮﺽ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﻫﺬﺍ ﺍﺘﻤﻊ .
ﺷﻜﻞ ﺭﻗﻢ ) (1
ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﲔ ﺍﺘﻤﻊ ﻭﺍﻟﻌﻴﻨﺔ
ﳎﺘﻤﻊ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﺔ
ﻋﻴﻨﺔ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﺔ
ﻭﻳﺘﻮﻗﻒ ﳒﺎﺡ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺃﺳﻠﻮﺏ ﺍﳌﻌﺎﻳﻨﺔ ﻋﻠﻰ ﻋﺪﺓ ﻋﻮﺍﻣﻞ ﻫﻲ :
-1ﻛﻴﻔﻴﺔ ﲢﺪﻳﺪ ﺣﺠﻢ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ .
-2ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻔﺮﺩﺍﺕ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ
-3ﻧﻮﻉ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺍﳌﺨﺘﺎﺭﺓ .
ﻭﳝﻜﻦ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ ﻭﻓﻘﺎ ﻷﺳﻠﻮﺏ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭﻫﺎ ﺇﱃ ﻧﻮﻋﲔ ﳘﺎ :
ﺃ -ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ
ﺏ -ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ ﻏﲑ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ
13
ﺃﻭﻻ :ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ
ﺷﻜﻞ ﺭﻗﻢ )(2
ﻫﻲ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﱵ ﻳﺘﻢ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻔﺮﺩﺍﺎ ﻭﻓﻘﺎ ﻟﻘﻮﺍﻋﺪ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ ،ﲟﻌﲎ ﺁﺧﺮ ﻫﻲ ﺍﻟﱵ ﻳﺘﻢ
ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻔﺮﺩﺍﺎ ﻣﻦ ﳎﺘﻤﻊ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﺔ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻋﺸﻮﺍﺋﻴﺔ ،ﺪﻑ ﲡﻨﺐ ﺍﻟﺘﺤﻴﺰ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﻋﻦ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﺍﳌﻔﺮﺩﺍﺕ ،
ﻭﻣﻦ ﺃﻫﻢ ﺃﻧﻮﺍﻉ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ،ﻣﺎ ﻳﻠﻲ:
ﺃ -ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻴﺔ ﺍﻟﺒﺴﻴﻄﺔ . Simple Random Sample
ﺏ -ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻴﺔ ﺍﻟﻄﺒﻘﻴﺔ . Stratified Random Sample
ﺕ -ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻴﺔ ﺍﳌﻨﺘﻈﻤﺔ . Systematic Random Sample
ﺙ -ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺍﻟﻌﻨﻘﻮﺩﻳﺔ ﺃﻭ ﺍﳌﺘﻌﺪﺩﺓ ﺍﳌﺮﺍﺣﻞ . Cluster Sample
ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ ﻏﲑ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ
ﻫﻲ ﺍﻟﱵ ﻳﺘﻢ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣ ﻔﺮﺩﺍﺎ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻏﲑ ﻋﺸﻮﺍﺋﻴﺔ ،ﺣﻴﺚ ﻳﻘﻮﻡ ﺍﻟﺒﺎﺣﺚ ﺑﺎﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻔﺮﺩﺍﺕ
ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺑﺎﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﱵ ﲢﻘﻖ ﺍﳍﺪﻑ ﻣﻦ ﺍﳌﻌﺎﻳﻨﺔ ،ﻣﺜﻞ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﻦ ﺍﳌﺰﺍﺭﻉ ﺍﻟﱵ ﺗﻨﺘﺞ ﺍﻟﺘﻤﻮﺭ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﻉ
ﺍﻟﺴﻜﺮﻱ ،ﻭﺃﻫﻢ ﺃﻧﻮﺍﻉ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ ﻏﲑ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ:
ﺃ -ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺍﻟﻌﻤﺪﻳﺔ Judgmental Sample
ﺏ -ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺍﳊﺼﺼﻴﺔ Quota Sample
14
ﺍﻟﻔﺼـــﻞ ﺍﻟﺜﺎﱐ
1/2ﻣﻘﺪﻣـــﺔ
ﻃﺮﻕ ﻋﺮﺽ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ
ﺍﳋﻄﻮﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺑﻌﺪ ﲨﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﰲ ﳎﺎﻝ ﺍﻹﺣﺼﺎﺀ ﺍﻟﻮﺻﻔﻲ ،ﻫﻮ ﺗﺒﻮﻳﺐ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧـﺎﺕ ﻭﻋﺮﺿـﻬﺎ
ﺑﺼﻮﺭﺓ ﳝﻜﻦ ﺍﻻﺳﺘﻔﺎﺩﺓ ﻣﻨﻬﺎ ﰲ ﻭﺻﻒ ﺍﻟﻈﺎﻫﺮﺓ ﳏﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﺔ ،ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﲤﺮﻛﺰ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ،ﻭﺩﺭﺟﺔ ﲡﺎﻧﺴﻬﺎ.
ﻭﻫﻨﺎﻙ ﻃﺮﻳﻘﺘﲔ ﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﳘﺎ :
-1ﻋﺮﺽ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺟﺪﻭﻟﻴﺎ .
-2ﻋﺮﺽ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ .
2/2ﻋﺮﺽ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺟﺪﻭﻟﻴﺎ
ﳝﻜﻦ ﻋﺮﺽ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﰲ ﺻﻮﺭﺓ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻜﺮﺍﺭﻱ ،ﻭﳜﺘﻠﻒ ﺷﻜﻞ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﻃﺒﻘﺎ ﻟﻨﻮﻉ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧـﺎﺕ،
ﻭﺣﺴﺐ ﻋﺪﺩ ﺍﳌﺘﻐﲑﺍﺕ ،ﻭﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﻋﺮﺽ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻣﺘﻐﲑ ) ﻭﺻﻔﻲ ﺃﻭ ﻛﻤﻲ ( ﰲ ﺷﻜﻞ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻜـﺮﺍﺭﻱ
ﺑﺴﻴﻂ .
1 /2 /2ﻋﺮﺽ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﻮﺻﻔﻲ ﰲ ﺷﻜﻞ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻜﺮﺍﺭﻱ ﺑﺴﻴﻂ
ﺇﺫﺍ ﻛﻨﺎ ﺑﺼﺪﺩ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﻇﺎﻫﺮﺓ ﻣﺎ ﲢﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ ﻣﺘﻐﲑ ﻭﺻﻔﻲ ﻭﺍﺣﺪ ،ﻓﺈﻧﻪ ﳝﻜﻦ ﻋﺮﺽ ﺑﻴﺎﻧﺎﺗـﻪ ﰲ
ﺷﻜﻞ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻜﺮﺍﺭﻱ ﺑﺴﻴﻂ ،ﻭﻫﻮ ﺟﺪﻭﻝ ﻳﺘﻜﻮﻥ ﻣﻦ ﻋﻤﻮﺩﻳﻦ ،ﺃﺣﺪﳘﺎ ﺑﻪ ﻣﺴﺘﻮﻳﺎﺕ ) ﳎﻤﻮﻋﺎﺕ ( ﺍﳌﺘﻐﲑ،
ﻭﺍﻟﺜﺎﱐ ﺑﻪ ﻋﺪﺩ ﺍﳌﻔﺮﺩﺍﺕ ) ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ ( ﻟﻜ ﻞ ﻣﺴﺘﻮﻯ ) ﳎﻤﻮﻋﺔ (.
ﻭﺍﳌﺜﺎﻝ ﺍﻟﺘﺎﱄ ﻳﺒﲔ ﻟﻨﺎ ﻛﻴﻒ ﳝﻜﻦ ﺗﺒﻮﻳﺐ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻮﺻﻔﻴﺔ ﺍﳋﺎﻡ ﰲ ﺷﻜﻞ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻜﺮﺍﺭﻱ .
ﻣﺜﺎﻝ ) ( 1 -2
ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﻦ 40ﻣﺰﺭﻋﺔ ﻋﻦ ﻧﻮﻉ ﺍﻟﺘﻤﺮ ﺍﻟﺬﻱ ﺗﻨﺘﺠﻪ ﺍﳌﺰﺭﻋﺔ .
ﺳﻜﺮﻱ
ﺧﻼﺹ
ﺻﻘﻌﻲ
ﺑﺮﺣﻲ
ﺧﻼﺹ
ﺑﺮﺣﻲ
ﺑﺮﺣﻲ
ﺧﻼﺹ
ﺑﺮﺣﻲ
ﺑﺮﺣﻲ
ﺳﻜﺮﻱ
ﺧﻼﺹ
ﺑﺮﺣﻲ
ﺳﻜﺮﻱ
ﺑﺮﺣﻲ
ﺧﻼﺹ
ﺑﺮﺣﻲ
ﺑﺮﺣﻲ
ﺻﻘﻌﻲ
ﺻﻘﻌﻲ
ﺧﻼﺹ
ﺻﻘﻌﻲ
ﺑﺮﺣﻲ
ﺻﻘﻌﻲ
ﺧﻼﺹ
ﺑﺮﺣﻲ
ﺳﻜﺮﻱ
ﻧﺒﻮﺕ ﺳﻴﻒ
ﺻﻘﻌﻲ
ﻧﺒﻮﺕ ﺳﻴﻒ
ﻧﺒﻮﺕ ﺳﻴﻒ
ﺳﻜﺮﻱ
ﺑﺮﺣﻲ
ﺻﻘﻌﻲ
ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ :
-1ﻣﺎ ﻫﻮ ﻧﻮﻉ ﺍﳌﺘﻐﲑ؟ ،ﻭﻣﺎ ﻫﻮ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭ ﺍﳌﺴﺘﺨﺪﻡ ﰲ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ؟ .
-2ﺍﻋﺮﺽ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﰲ ﺷﻜﻞ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻜﺮﺍﺭﻱ .
-3ﻛ ﻮﻥ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﻟﻨﺴﱯ .
-4ﻋﻠﻖ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ .
ﺧﻼﺹ
ﻧﺒﻮ ﺕ ﺳﻴﻒ
ﺑﺮﺣﻲ
ﺻﻘﻌﻲ
ﺧﻼﺹ
ﺧﻼﺹ
15
ﺍﳊـﻞ
-1ﻧﻮﻉ ﺍﻟﺘﻤﺮ ) ﺳﻜﺮﻱ – ﺧﻼﺹ – ﺑﺮﺣﻲ – ﺻﻘﻌﻲ – ﻧﺒﻮﺕ ﺳﻴﻒ ( ﻣﺘﻐﲑ ﻭﺻﻔﻲ ،ﺗﻘﺎﺱ ﺑﻴﺎﻧﺎﺗﻪ ﲟﻌﻴﺎﺭ
ﺍﲰﻲ .
-2ﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﰲ ﺷﻜﻞ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻜﺮﺍﺭﻱ ،ﻳﺘﻢ ﺇﺗﺒﺎﻉ ﺍﻵﰐ :
• ﺗﻜﻮﻳﻦ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻔﺮﻳﻎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ :
ﻭﻫﻮ ﺟﺪﻭﻝ ﳛﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ ﻋﻼﻣﺎﺕ ﺇﺣﺼﺎﺋﻴﺔ ،ﻛﻞ ﻋﻼﻣﺔ ﺗﻌﱪ ﻋﻦ ﺗﻜﺮﺍﺭ ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﱵ ﻳﻨﺘﻤـﻲ
ﺇﻟﻴﻬﺎ ﻧﻮﻉ ﺍﻟﺘﻤﺮ ﺍﻟﺬﻱ ﺗﻨﺘﺠﻪ ﺍﳌﺰﺭﻋﺔ ،ﻭﻛﻞ ﲬﺲ ﻋﻼﻣﺎﺕ ﺗﻜﻮﻥ ﺣﺰﻣﺔ ﺇﺣﺼﺎﺋﻴﺔ ،ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﺒﲔ
ﺑﺎﳉﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﺎﱄ :
ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻔﺮﻳﻎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ
ﻋﺪﺩ ﺍﳌﺰﺍﺭﻉ ) ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ(
ﺍﻟﻌﻼﻣﺎﺕ ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻴﺔ
ﻧﻮﻉ ﺍﻟﺘﻤﺮ
5
ﺳﻜﺮﻱ
10
ﺧﻼﺹ
13
ﺑﺮﺣﻲ
8
4
ﺻﻘﻌﻲ
ﻧﺒﻮﺕ ﺳﻴﻒ
40
Sum
• ﺗﻜﻮﻳﻦ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ .
ﻭﻫﻮ ﻧﻔﺲ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ،ﺑﺎﺳﺘﺜﻨﺎﺀ ﺍﻟﻌﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ،ﻭﻳﺄﺧﺬ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﺟﺪﻭﻝ ﺭﻗﻢ )(1 -2
ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﻟﻌﻴﻨﺔ ﺣﺠﻤﻬﺎ 40ﻣﺰﺭﻋ ﺔ ﺣﺴﺐ ﻧﻮﻉ ﺍﻟﺘﻤﺮ ﺍﻟﺬﻱ ﺗﻨﺘﺠﻪ
ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﻟﻨﺴﱯ
5
= 0.125
40
10
= 0.25
40
13
= 0.325
40
8
= 0.20
40
4
= 0.10
40
1.00
ﻋﺪﺩ ﺍﳌﺰﺍﺭﻉ
) ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ ( )(f
ﻧﻮﻉ ﺍﻟﺘﻤﺮ
5
ﺳﻜﺮﻱ
10
ﺧﻼﺹ
13
ﺑﺮﺣﻲ
8
ﺻﻘﻌﻲ
4
ﻧﺒﻮﺕ ﺳﻴﻒ
40
Sum
16
ﺍﳌﺼﺪﺭ :ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻓﺘﺮﺍﺿﻴﺔ .
-3ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﻟﻨﺴﱯ :
ﳛﺴﺐ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭ ﺍﻟﻨﺴﱯ ﺑﻘﺴﻤﺔ ﺗﻜﺮﺍﺭ ﺍﻤﻮﻋﺔ ﻋﻠﻰ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ ،ﺃﻱ ﺃﻥ :
ﻭﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﰲ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺭﻗﻢ ) ( 1 -2ﻳﻌﺮﺽ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭ ﺍﻟﻨﺴﱯ ﻟﻠﻤﺰﺍﺭﻋﲔ ﺣﺴﺐ ﻧﻮﻉ ﺍﻟﺘﻤﺮ .
-4ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻖ :ﻣﻦ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺭﻗﻢ ) ( 1 -2ﻳﻼﺣﻆ ﺃﻥ ﻧﺴﺒﺔ ﺍﳌﺰﺍﺭﻉ ﺍﻟﱵ ﺗﻨﺘﺞ ﺍﻟﻨﻮﻉ " ﺑﺮﺣﻲ " ﰲ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﻫـﻲ
32.5%ﻭﻫﻲ ﺃﻛﱪ ﻧﺴﺒﺔ ﳑﺎ ﻳﺪﻝ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻤﻂ ﺍﻟﺸﺎﺋﻊ ﰲ ﺇﻧﺘﺎﺝ ﺍﻟﺘﻤﻮﺭ ﻫﻮ ﺫﻟﻚ ﺍﻟﻨﻮﻉ ،ﺑﻴﻨﻤﺎ ﳒﺪ
ﺃﻥ ﻧﺴﺒﺔ ﺍﳌﺰﺍﺭﻉ ﺍﻟﱵ ﺗﻨﺘﺞ ﺍﻟﻨﻮﻉ " ﻧﺒﻮﺕ ﺳﻴﻒ " ﺣﻮﺍﱄ 10.0%ﻭﻫﻲ ﺃﻗﻞ ﻧﺴﺒﺔ .
ﻣﺜﺎﻝ ) ( 2 -2
ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻋﻦ ﺍﳌﺴﺘﻮﻯ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻲ ﻟﻌﻴﻨﺔ ﻣﻦ 50ﻓﺮﺩ .
ﻣﺘﻮﺳﻂ
ﻳﻘﺮﺍ ﻭﻳﻜﺘﺐ
ﺍﺑﺘﺪﺍﺋﻲ
ﻣﺘﻮﺳﻂ
ﺛﺎﻧﻮﻱ
ﺟﺎﻣﻌﻲ
ﻣﺘﻮﺳﻂ
ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ :
ﻳﻘﺮﺃ ﻭﻳﻜﺘﺐ
ﻣﺘﻮﺳﻂ
ﺛﺎﻧﻮﻱ
ﺍﺑﺘﺪﺍﺋﻲ
ﻣﺘﻮﺳﻂ
ﺛﺎﻧﻮﻱ
ﻳﻘﺮﺍ ﻭﻳﻜﺘﺐ
ﺛﺎﻧﻮﻱ
ﺛﺎﻧﻮﻱ
ﻳﻘﺮﺍ ﻭﻳﻜﺘﺐ
ﻣﺘﻮﺳﻂ
ﺍﺑﺘﺪﺍﺋﻲ
ﺟﺎﻣﻌﻲ
ﻣﺘﻮﺳﻂ
ﺛﺎﻧﻮﻱ
ﺟﺎﻣﻌﻲ
ﺛﺎﻧﻮﻱ
ﺛﺎﻧﻮﻱ
ﺍﺑﺘﺪﺍﺋﻲ
ﺛﺎﻧﻮﻱ
ﻣﺘﻮﺳﻂ
ﺛﺎﻧﻮﻱ
ﺍﺑﺘﺪﺍﺋﻲ
ﻳﻘﺮﺍ ﻭﻳﻜﺘﺐ
ﺟﺎﻣﻌﻲ
ﺃﻋﻠﻰ ﻣﻦ ﺟﺎﻣﻌﻲ
ﺛﺎﻧﻮﻱ
ﺍﺑﺘﺪﺍﺋﻲ
ﻣﺘﻮﺳﻂ
ﺍﺑﺘﺪﺍﺋﻲ
ﺃﻋﻠﻰ ﻣﻦ ﺟﺎﻣﻌﻲ
ﻣﺘﻮﺳﻂ
ﺍﺑﺘﺪﺍﺋﻲ
ﻳﻘﺮﺍ ﻭﻳﻜﺘﺐ
ﺟﺎﻣﻌﻲ
ﺛﺎﻧﻮﻱ
ﺛﺎﻧﻮﻱ
ﺍﺑﺘﺪﺍﺋﻲ
ﻣﺘﻮﺳﻂ
ﺛﺎﻧﻮﻱ
ﻣﺘﻮﺳﻂ
ﺍﺑﺘﺪﺍﺋﻲ
ﺛﺎﻧﻮﻱ
-1ﺍﻋﺮﺽ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﰲ ﺷﻜﻞ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻜﺮﺍﺭﻱ .
-2ﻛﻮﻥ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﻟﻨﺴﱯ ،ﰒ ﻋﻠﻖ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ .
ﺍﳊ ـﻞ
-1ﻋﺮﺽ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﰲ ﺷﻜﻞ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻜﺮﺍﺭﻱ :
ﺍﳌﺴﺘﻮﻯ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻲ ) ﻳﻘﺮﺃ ﻭﻳﻜﺘﺐ -ﺍﺑﺘﺪﺍﺋﻲ _ ﻣﺘﻮﺳﻂ -ﺛﺎﻧﻮﻱ -ﺟﺎﻣﻌﻲ -ﺃﻋﻠﻰ ﻣﻦ ﺟﺎﻣﻌﻲ( ﻣﺘﻐﲑ
ﻭﺻﻔﻲ ﺗﺮﺗﻴﱯ ،ﻭﳝﻜﻦ ﻋﺮﺽ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺃﻋﻼﻩ ﰲ ﺷﻜﻞ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻜﺮﺍﺭﻱ ﺑﺈﺗﺒﺎﻉ ﺍﻵﰐ :
• ﺗﻜﻮﻳﻦ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻔﺮﻳﻎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ :
ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻔﺮﻳﻎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ
ﻋﺪﺩ ﺍﻷﻓﺮﺍﺩ ) ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ(
ﺍﻟﻌﻼﻣﺎﺕ ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻴﺔ
ﺍﳌﺴﺘﻮﻯ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻲ
6
ﻳﻘﺮﺃ ﻭﻳﻜﺘﺐ
10
ﺍﺑﺘﺪﺍﺋﻲ
12
ﻣﺘﻮﺳﻂ
15
5
2
50
ﺛﺎﻧﻮﻱ
ﺟﺎﻣﻌﻲ
ﺃﻋﻠﻰ ﻣﻦ ﺟﺎﻣﻌﻲ
Sum
17
• ﺗﻜﻮﻳﻦ ﺍﳉﺪﻭ ﻝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ :
ﺟﺪﻭﻝ ﺭﻗﻢ )(2 -2
ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﻟﻌﻴﻨﺔ ﺣﺠﻤﻬﺎ 50ﻓﺮﺩ ﺣﺴﺐ ﺍﳌﺴﺘﻮﻯ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻲ
ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﻟﻨﺴﱯ
0.12
0.20
0.24
0.30
0.10
0.04
1.00
ﻋﺪﺩ ﺍﻷﻓﺮﺍﺩ ) ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ (
)(f
6
10
12
15
5
2
50
ﺍﳌﺴﺘﻮﻯ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻲ
ﻳﻘﺮﺃ ﻭﻳﻜﺘﺐ
ﺍﺑﺘﺪﺍﺋﻲ
ﻣﺘﻮﺳﻂ
ﺛﺎﻧﻮﻱ
ﺟﺎﻣﻌﻲ
ﺃﻋﻠﻰ ﻣﻦ ﺟﺎﻣﻌﻲ
Sum
ﺍﳌﺼﺪﺭ :ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻋﻴﻨﺔ
-2ﺗﻜﻮﻳﻦ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﻟﻨﺴﱯ .
ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺭﻗﻢ ) ( 1 -2ﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ،ﻭﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﰲ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺭﻗﻢ
) ( 2 -2ﻳﱭ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ،
ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﻨﺴﱯ ﻳﻼﺣﻆ ﺃﻥ ﺣﻮﺍﱄ 30%ﻣﻦ ﺃﻓﺮﺍﺩ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﳑﻦ ﻟﺪﻳﻬﻢ ﻣﺆﻫﻞ ﺛﺎﻧﻮ ﻱ ،ﺑﻴﻨﻤـﺎ
ﻳﻜﻮﻥ ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻷﻓﺮﺍﺩ ﳑﻦ ﻟﺪﻳﻬﻢ ﻣﺆﻫﻞ ﺍﻗﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻱ ) ﻣﺘﻮﺳﻂ ،ﺍﺑﺘﺪﺍﺋﻲ ،ﻳﻘﺮﺃ ﻭﻳﻜﺘﺐ ( ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ، 5%
ﺃﻣﺎ ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻷﻓﺮﺍﺩ ﺍﳊﺎﺻﻠﲔ ﻋﻠﻰ ﻣﺆﻫﻞ ﺃﻋﻠﻰ ﻣﻦ ﺟﺎﻣﻌﻲ ﺣﻮﺍﱄ 4%ﻭﻫﻲ ﺃﻗﻞ ﻧﺴﺒﺔ .
ﻣﻼﺣﻈﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﳉﺪﻭﻝ
ﻋﻨﺪ ﺗﻜﻮﻳﻦ ﺟﺪﻭﻝ ﻣﺎ ﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ،ﳚﺐ ﻣﺮﺍﻋﺎﺓ ﺍﻵﰐ :
-1ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺭﻗﻢ ﻟﻠﺠﺪ ﻭﻝ .
-2ﻛﺘﺎﺑﺔ ﻋﻨﻮﺍﻥ ﻟﻠﺠﺪﻭﻝ .
-3ﻟﻜﻞ ﻋﻤﻮﺩ ﻣﻦ ﺃﻋﻤﺪﺓ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﻋﻨﻮﺍﻥ ﻳﺪﻝ ﻋﻠﻰ ﳏﺘﻮﺍﻩ .
-4ﳚﺐ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﻣﺼﺪﺭ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﰲ ﺍﳉﺪﻭﻝ .
2 /2 /2ﻋﺮﺽ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﻜﻤﻲ ﰲ ﺷﻜﻞ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻜﺮﺍﺭﻱ ﺑﺴﻴﻂ
ﺑﻨﻔﺲ ﺍﻷﺳﻠﻮﺏ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﺍﳌﺘﺒﻊ ﰲ ﺗﻜﻮﻳﻦ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻜﺮﺍﺭﻱ ،ﳝﻜﻦ ﺃﻳﻀﺎ ﻋﺮﺽ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﻜﻤﻲ
ﰲ ﺷﻜﻞ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻜﺮﺍﺭﻱ ﺑﺴﻴﻂ ،ﻭﻳﺘﻜﻮﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﻣﻦ ﻋﻤﻮﺩﻳﻦ ،ﺍﻷﻭﻝ ﳛﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ ﻓﺌﺎﺕ ﺗـﺼﺎﻋﺪﻳﺔ
ﻟﻠﻘﺮﺍﺀﺍﺕ ﺍﻟﱵ ﻳﺄﺧﺬﻫﺎ ﺍﳌﺘﻐﲑ ،ﻭﺍﻟﺜﺎﱐ ﻳﺸﻤﻞ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ ﺃﻭ ﻋﺪﺩ ﺍﳌﻔﺮﺩﺍﺕ ﺍﻟﱵ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﻗﺮﺍﺀﺍـﺎ ﻟﻠﻔﺌـﺔ
ﺍﳌﻨﺎﺳﺒﺔ ﳍﺎ ،ﻭﺍﳌﺜﺎﻝ ﺍﻟﺘﺎﱄ ﻳﺒﲔ ﻛﻴﻒ ﳝﻜﻦ ﻋﺮﺽ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ .
ﻣﺜﺎﻝ ) ( 3 -2
ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺩﺭﺟﺎﺕ 70ﻃﺎﻟﺐ ﰲ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻲ ﳌﻘﺮﺭ ﻣﺎﺩﺓ ﺍﻹﺣﺼﺎﺀ ﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻘﻲ .
18
75
71
69
63
74
94
78
56
66
75
65
58
72
62
70
62
71
73
60
78
88
66
67
57
66
81
91
64
60
71
69
63
80
85
87
55
61
72
58
74
77
55
70
61
57
67
74
77
57
65
67
68
73
76
83
79
65
70
72
62
73
82
64
56
60
68
72
58
76
79
ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ :
-1ﻛﻮﻥ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﻟﺪﺭﺟﺎﺕ ﺍﻟﻄﻼﺏ .
-2ﻛﻮﻥ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﻟﻨﺴﱯ .
-3ﻣﺎ ﻫﻮ ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﳊﺎﺻﻠﲔ ﻋﻠﻰ ﺩﺭﺟﺔ ﻣﺎ ﺑﲔ 70ﺇﱃ ﺃﻗﻞ ﻣﻦ 80؟
-4ﻣﺎ ﻫﻮ ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﳊﺎﺻﻠﲔ ﻋﻠﻰ ﺩﺭﺟﺔ ﺃﻗﻞ ﻣﻦ 70ﺩﺭﺟﺔ؟
-5ﻣﺎ ﻫﻮ ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﳊﺎﺻﻠ ﲔ ﻋﻠﻰ ﺩﺭﺟﺔ 80ﺃﻭ ﺃﻛﺜﺮ ؟
ﺍﳊـﻞ
-1ﺗﻜﻮﻳﻦ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ :
ﺩﺭﺟﺔ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﰲ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﻣﺘﻐﲑ ﻛﻤﻲ ﻣﺴﺘﻤﺮ ،ﻭﻟﻜﻲ ﻳﺘﻢ ﺗﺒﻮﻳﺐ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﰲ ﺷـﻜﻞ ﺟـﺪﻭﻝ
ﺗﻜﺮﺍﺭﻱ ،ﻳﺘﻢ ﺍﺗﺒﺎﻉ ﺍﻵﰐ :
•
•
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺪﻯ )Range(R
Range = Maximum – Minimum
R = 94 - 55 = 39
ﲢﺪﻳﺪ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ): Classes(C
ﺗﺘﺤﺪﺩ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻭﻓﻘﺎ ﻻﻋﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﻣﻨﻬﺎ :ﺭﺃﻱ ﺍﻟﺒﺎﺣﺚ ،ﻭﺍﳍﺪﻑ ﻣﻦ ﺍﻟﺒﺤﺚ ،ﻭﺣﺠﻢ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ،
ﻭﻳﺮﻯ ﻛﺜﲑﺍ ﻣﻦ ﺍﻟﺒﺎﺣﺜﲔ ﺃﻥ ﺃﻓﻀﻞ ﻋﺪﺩ ﻟﻠﻔﺌﺎﺕ ﳚﺐ ﺃﻥ ﻳﺘﺮﺍﻭﺡ ﺑﲔ 5ﺇﱃ ، 15ﺑﻔـﺮﺽ ﺃﻥ
ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻫﻮ 8ﻓﺌﺎﺕ ،ﺃﻱ ﺃﻥ . (C=8) :
• ﺣﺴﺎﺏ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻔﺌﺔ ): Length(L
• ﲢﺪﻳﺪ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ :
Range
R 39
= =
= 4.875 ≈ 5
Classes C
8
=L
ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺗﺒﺪﺃ ﺑﻘﻴﻤﺔ ﺗﺴﻤﻲ ﺍﳊﺪ ﺍﻷﺩﱏ ،ﻭﺗﻨﺘﻬﻲ ﺑﻘﻴﻤﺔ ﺗﺴﻤﻲ ﺍﳊﺪ ﺍﻷﻋﻠﻰ ،ﻭﻣﻦ ﰒ ﳒﺪ ﺃﻥ :
ﺍﳊﺪ ﺍﻷﺩﱏ ﻟﻠﻔﺌﺔ ﺍﻷﻭﱃ ﻫﻮ ﺃﻗﻞ ﻗﺮﺍﺀﺓ ) ﺩﺭﺟﺔ ( ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﳊﺪ ﺍﻷﺩﱏ ﻟﻠﻔﺌﺔ ﺍﻷﻭﱃ = 55ﺍﳊﺪ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻟﻠﻔﺌﺔ ﺍﻷﻭﱃ = ﺍﳊﺪ ﺍﻷﺩﱏ +ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻔﺌﺔ = 60=55+5 = 55 + L
ﺇﺫﺍ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻷﻭﱃ ﻫﻲ " 55 to les than 60" :ﻭﺗﻘﺮﺃ " ﻣﻦ 55ﺇﱃ ﺃﻗﻞ ﻣﻦ " 60
_ ﺍﳊﺪ ﺍﻷﺩﱏ ﻟﻠﻔﺌﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ = ﺍﳊﺪ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻟﻠﻔﺌﺔ ﺍﻷﻭﱃ = 60
ﺍﳊﺪ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻟﻠﻔﺌﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ = ﺍﳊﺪ ﺍﻷﺩﱏ ﻟﻠﻔﺌﺔ +ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻔﺌﺔ = 65 = 60 + 5
ﺇﺫﺍ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻫﻲ "60 to les than 65" :ﻭﺗﻘﺮﺃ " ﻣﻦ 60ﺇﱃ ﺃﻗﻞ ﻣﻦ " 65
-ﻭﺑﻨﻔﺲ ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﻳﺘﻢ ﺗﻜﻮﻳﻦ ﺣﺪﻭﺩ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﺍﻷﺧﺮﻯ ،ﻭﻫﻲ :
19
ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ :
ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟﺮﺍﺑﻌﺔ 70 to les than 75 :
65 to les than 70
ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﳋﺎﻣﺴﺔ 75 to les than 80 :
ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟﺴﺎﺩﺳﺔ 80 to les than 85 :
ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟﺴﺎﺑﻌﺔ 85 to les than 90 :
ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟﺜﺎﻣﻨﺔ 90 to les than 95 :
ﻭﳝﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﺑﺄﺷﻜﺎﻝ ﳐﺘﻠﻔﺔ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﺒﲔ ﲜﺪﻭﻝ ﺗﻔﺮﻳﻎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ :
• ﺗﻜﻮﻳﻦ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻔﺮﻳﻎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ :
ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻔﺮﻳﻎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ
ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ
ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻄﻼﺏ
ﺍﻟﻌﻼﻣﺎﺕ
) ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ(
ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻴﺔ
ﻓﺌ ﺎﺕ
ﻓﺌﺎﺕ
10
55-
55 – 60
55 to les than 60
12
60-
60 – 65
60 to les than 65
65-
65 – 70
65 to les than 70
70-
70 – 75
70 to les than 75
75-
75 – 80
75 to les than 80
80-
80 – 85
80 to les than 85
85-
85 – 90
90-95
90 - 95
85 to les than 90
90 to les than 95
13
16
ﻓﺌﺎﺕ
/
/
10
////
///
4
3
2
Sum
70
• ﺗﻜﻮﻳﻦ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ :
ﺟﺪﻭﻝ ﺭﻗﻢ )(3 -2
ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﻟﻌﺪﺩ 70ﻃﺎ ﻟﺐ ﺣﺴﺐ ﺩﺭﺟﺎﻢ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﻣﻘﺮﺭ ﺍﻹﺣﺼﺎﺀ
ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭ ﺍﻟﻨﺴﱯ
ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻄﻼﺏ ) ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ(
)(f
10
12
13
16
10
4
3
2
70
0.143
0.171
0.186
0.229
0.143
0.057
0.043
0.028
1.00
ﺍﳌﺼﺪﺭ :ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﻌﺎﻡ 1426ﻫـ
-2ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﻟﻨﺴﱯ :
f
n
= ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭ ﺍﻟﻨﺴﱯ
ﻭﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﰲ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺭﻗﻢ ) ( 3 -2ﻳﺒﲔ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭ ﺍﻟﻨﺴﱯ.
ﻓﺌﺎﺕ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ
55 – 60
60 – 65
65 – 70
70 – 75
75 – 80
80 – 85
85 – 90
90 – 95
Sum
20
-3ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﳊﺎﺻﻠﲔ ﻋﻠﻰ ﺩﺭﺟﺎﺕ ﻣﺎ ﺑﲔ 70ﺇﱃ ﺃﻗﻞ ﻣﻦ 80ﻫﻮ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻳﻦ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﲔ
ﻟﻠﻔﺌﺘﲔ ﺍﻟﺮﺍﺑ ﻌﺔ ﻭﺍﳋﺎﻣﺴﺔ :
= 0.229 + 0.143 = 0.372ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﳊﺎﺻﻠﲔ ﻋﻠﻰ ﺩﺭﺟﺎﺕ ﻣﺎ ﺑﲔ ) (80 , 70
ﺃﻱ ﺣﻮﺍﱄ 37.2%ﻣﻦ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺣﺼﻠﻮﺍ ﻋﻠﻰ ﺩﺭﺟﺎﺕ ﻣﺎ ﺑﲔ ) . (80 , 70
-4ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﳊﺎﺻﻠﲔ ﻋﻠﻰ ﺩﺭﺟﺎﺕ ﺃﻗﻞ ﻣﻦ ، 70ﻫﻮ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻨـﺴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻔﺌـﺎﺕ
ﺍﻷﻭﱃ ﻭﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ،ﻭﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ :
= 0.143 + 0.171 + 0.186 = 0.5ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﳊﺎﺻﻠﲔ ﻋﻠﻰ ﺩﺭﺟﺔ ﺃﻗﻞ ﻣﻦ 70
ﺃﻱ ﺃﻥ ﺣﻮﺍﱄ 50%ﻣﻦ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺣﺼﻠﻮ ﻋﻠﻰ ﺩﺭﺟﺔ ﺃﻗﻞ ﻣﻦ 70ﺩﺭﺟﺔ
-5ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﳊﺎﺻﻠﲔ ﻋﻠﻰ ﺩﺭﺟﺔ 80ﺃﻭ ﺃﻛﺜﺮ ،ﻫﻮ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻨـﺴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻔﺌـﺎﺕ
ﺍﻟﺜﻼﺙ ﺍﻷﺧﲑﺓ :
= 0.057 + 0.043 + 0.028 = 0.128ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﳊﺎ ﺻﻠﲔ ﻋﻠﻰ ﺩﺭﺟﺎﺕ 80ﺃﻭ ﺃﻛﺜﺮ
ﺃﻱ ﺃﻥ ﺣﻮﺍﱄ 12.8%ﻣﻦ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺣﺼﻠﻮﺍ ﻋﻠﻰ ﺩﺭﺟﺔ 80ﺃﻭ ﺃﻛﺜﺮ.
3/2ﺍﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﺒﻴﺎﱐ ﻟﻠﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ
ﺍﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﺒﻴﺎﱐ ﻟﻠﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ،ﻫﻮ ﺃﺣﺪ ﻃﺮﻕ ﺍﻟﱵ ﳝﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﰲ ﻭﺻﻒ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ،ﻣﻦ ﺣﻴـﺚ
ﺷﻜﻞ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﻭﻣﺪﻯ ﲤﺮﻛﺰ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ،ﻭﰲ ﻛﺜﲑ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﺍﺣﻲ ﺍﻟﺘﻄ ﺒﻴﻘﻴﺔ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﺒﻴﺎﱐ ﺃﺳﻬﻞ ﻭﺃﺳﺮﻉ
ﰲ ﻭﺻﻒ ﺍﻟﻈﺎﻫﺮﺓ ﳏﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﺔ ،ﻭﲣﺘﻠﻒ ﻃﺮﻕ ﻋﺮﺽ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ ﺣﺴﺐ ﻧﻮﻉ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﳌﺒﻮﺑﺔ ﰲ ﺷﻜﻞ
ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻜﺮﺍﺭﻱ ،ﻭﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﻋﺮﺽ ﻟﻸﺷﻜﺎﻝ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ ﺍﳌﺨﺘﻠﻔﺔ .
1 /3 /2ﺍﳌﺪﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ
Histogram
ﺍﳌﺪﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﻫﻮ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﱐ ﻟﻠﺠﺪ ﻭﻝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﻟﺒﺴﻴﻂ ﺍﳋﺎﺹ ﺑﺎﻟﺒﻴﺎﻧـﺎﺕ ﺍﻟﻜﻤﻴـﺔ
ﺍﳌﺘﺼﻠﺔ ،ﻭﻫﻮ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻦ ﺃﻋﻤﺪﺓ ﺑﻴﺎﻧﻴﺔ ﻣﺘﻼﺻﻘﺔ ،ﺣﻴﺚ ﲤﺜﻞ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﶈﻮﺭ ﺍﻟﺮﺃﺳﻲ ،ﺑﻴﻨﻤﺎ ﲤﺜﻞ ﻗﻴﻢ
ﺍﳌﺘﻐﲑ ) ﺣﺪﻭﺩ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ( ﻋﻠﻰ ﺍﶈﻮﺭ ﺍﻷﻓﻘﻲ ،ﻭﻳﺘﻢ ﲤﺜﻴﻞ ﻛﻞ ﻓﺌﺔ ﺑﻌﻤﻮﺩ ،ﺍﺭﺗﻔﺎﻋﻪ ﻫﻮ ﺗﻜﺮﺍﺭ ﺍﻟﻔﺌﺔ ،ﻭﻃﻮﻝ
ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ﻫﻮ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻔﺌﺔ .
ﻣﺜﺎﻝ ) ( 4 -2
ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﻷﻭﺯﺍﻥ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﺟﻦ ﺑﺎﳉﺮﺍﻡ ،ﺣﺠﻤﻬﺎ 100ﺍﺧﺘﲑﺕ ﻣﻦ ﺃﺣﺪ
ﺍﳌﺰﺍﺭﻉ ﺑﻌﺪ 45ﻳﻮﻡ .
Sum
700-720
100
10
ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ :
-1ﻣﺎ ﻫﻮ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻔﺌﺔ؟
680-
660-
640-
620-
20
25
20
15
600ﺍﻟﻮﺯﻥ10
ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺪﺟﺎﺝ
21
-2ﺍﺭﺳﻢ ﺍﳌﺪﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ .
-3ﺍﺭﺳﻢ ﺍﳌﺪﺭﺝ ﺍ ﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﻟﻨﺴﱯ ،ﰒ ﻋﻠﻖ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺮﺳﻢ .
ﺍﳊـﻞ
-1ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻔﺌﺔ )(L
L = 620 − 600 = 640 − 620 = ... = 720 − 700 = 20
ﺇﺫﺍ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻔﺌﺔ = 20
-2ﺭﺳﻢ ﺍﳌﺪﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ .
ﻟﺮﺳﻢ ﺍﳌﺪﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﻳﺘﻢ ﺇﺗﺒﺎﻉ ﺍﳋﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
• ﺭﺳﻢ ﳏﻮﺭﺍﻥ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺍﻥ ،ﺍﻟﺮﺃﺳﻲ ﻭﳝﺜﻞ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ ،ﺍﻷﻓﻘﻲ ﻭﳝﺜﻞ ﺍﻷﻭﺯﺍﻥ .
• ﻛﻞ ﻓﺌﺔ ﲤﺜﻞ ﺑﻌﻤﻮﺩ ﺍﺭﺗﻔﺎﻋﻪ ﻫﻮ ﺗﻜﺮﺍﺭ ﺍﻟﻔﺌﺔ ،ﻭﻃﻮﻝ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ﻫﻮ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻔﺌﺔ .
• ﻛﻞ ﻋﻤﻮﺩ ﻳﺒﺪﺃ ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﺍﻧﺘﻬﻰ ﺑﻪ ﻋﻤﻮﺩ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ .
ﻭﺍﻟﺸﻜﻞ ) ( 1 -2ﻳﺒﲔ ﺍﳌﺪﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﻷﻭﺯﺍﻥ ﺍﻟﺪﺟﺎﺝ .
ﺷﻜﻞ )(1 -2
ﺍﳌﺪﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﻷﻭﺯﺍﻥ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺟﺎﺝ ﺣﺠﻤﻬﺎ 100ﺩﺟﺎﺟﺔ
-3ﺭﺳﻢ ﺍﳌﺪﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﻟﻨﺴﱯ :ﻟﺮﺳﻢ ﺍﳌﺪﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﻟﻨﺴﱯ ﻳﺘﻢ ﺇﺟﺮﺍﺀ ﺍﻵﰐ :
• ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ .
Sum
100
1.00
700-720
10
0.10
68020
0.20
66025
0.25
64020
0.20
62015
0.15
60010
0.10
ﺍﻟﻮﺯﻥ
ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺪﺟﺎﺝ
ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭ ﺍﻟﻨﺴﱯ
22
• ﺑ ﺈﺗﺒﺎﻉ ﻧﻔﺲ ﺍﳋﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻋﻨﺪ ﺭﺳﻢ ﺍﳌﺪﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ،ﻳـﺘﻢ ﺭﺳـﻢ ﺍﳌـﺪﺭﺝ
ﺍ ﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﻟﻨﺴﱯ ،ﺑﺈﺣﻼﻝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﳏﻞ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ ﺍﳌﻄﻠﻘﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﶈـﻮﺭ
ﺍﻟﺮﺃﺳﻲ ،ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﺒﲔ ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﱄ :
ﺷﻜﻞ )(2 -2
ﺍﳌﺪﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﻟﻨﺴﱯ ﻷﻭﺯﺍﻥ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺟﺎﺝ ﺣﺠﻤﻬﺎ 100ﺩﺟﺎﺟﺔ
ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃﻋﻼﻩ ﻳﻼﺣﻆ ﺍﻵﰐ :
• ﺃﻥ 25%ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺟﺎﺝ ﻳﺘﺮﺍﻭﺡ ﻭﺯﻧﻪ ﺑﲔ 680 ، 660ﺟﺮﺍﻡ ﻭﻫﻲ ﺃﻛﱪ ﻧﺴﺒﺔ .
• ﺃﻥ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻣﻠﺘﻮﻱ ﺟﻬﺔ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ،ﳑﺎ ﻳﺪﻝ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﺗﻮﺯﻳـﻊ ﺃﻭﺯﺍﻥ ﺍﻟـﺪﺟﺎﺝ ﺳـﺎﻟﺐ
ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ .
ﻣﻼﺣﻈﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﺍﳌﺪﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ
ﺃ -ﺃﻥ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺃﺳﻔﻞ ﺍﳌﺪﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺗﺴﺎﻭﻱ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ ). (n
ﺏ -ﺃﻣﺎ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺃﺳﻔﻞ ﺍﳌﺪﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﻟﻨﺴﱯ ،ﻓﻬﻲ ﺗﻌﱪ ﻋﻦ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺘﻜ ﺮﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻨـﺴﺒﻴﺔ،
ﻭﻫﻲ ﺗﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ .
ﺕ -ﳝﻜﻦ ﺗﻘﺪﻳﺮ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﺸﺎﺋﻌﺔ ،ﻭﻫﻲ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﱵ ﻳﻨﺎﻇﺮﻫﺎ ﺃﻛﱪ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ،ﻓﻔﻲ ﺍﻟﺸﻜﻠﲔ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﲔ،
ﳒﺪ ﺃﻥ ﺍﻟﻮﺯﻥ ﺍﻟﺸﺎﺋﻊ ﻳﻘﻊ ﰲ ﺍﻟﻔﺌﺔ ) (660-680ﻭﻳﻄﻠﻖ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ .
ﺙ -ﳝﻜﻦ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺷﻜﻞ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ،ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﺒﲔ ﺑﺎﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﺷﻜﻞ )(3 -2
23
2 /3 /2ﺍﳌﻀﻠﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ
ﻫﻮ ﲤﺜﻴﻞ ﺑﻴﺎﱐ ﺃﻳﻀﺎ ﻟﻠﺠﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﻟﺒﺴﻴﻂ ،ﺣﻴﺚ ﲤﺜﻞ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﶈﻮﺭ ﺍﻟﺮﺃﺳـﻲ،
ﻭﻣﺮﺍﻛﺰ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﶈﻮﺭ ﺍﻷﻓﻘﻲ ،ﰒ ﺍﻟﺘﻮﺻﻴﻞ ﺑﲔ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﲞﻄﻮﻁ ﻣﻨﻜﺴﺮﺓ ،ﻭﺑﻌﺪ ﺫﻟﻚ ﻳﺘﻢ ﺗﻮﺻﻴﻞ
ﻃﺮﰲ ﺍﳌﻀﻠﻊ ﺑﺎﶈﻮﺭ ﺍﻷﻓﻘﻲ .
ﻭﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﻫﻲ ﺍ ﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﱵ ﺗﻘﻊ ﰲ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﻟﻔﺌﺔ ،ﻭﲢﺴﺐ ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﻭﻧﻈﺮﺍ ﻟﻌﺪﻡ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻔﻌﻠﻴﺔ ﻟﺘﻜﺮﺍﺭ ﻛﻞ ﻓﺌﺔ ،ﻳﻌﺘﱪ ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﺘﻘﺪﻳﺮ ﺍﳌﻨﺎﺳﺐ ﻟﻘﻴﻤـﺔ
ﻛﻞ ﻣﻔﺮﺩﺓ ﻣﻦ ﻣﻔﺮﺩﺍﺕ ﺍﻟﻔﺌﺔ .
ﻣﺜﺎﻝ ) ( 5 -2
ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﰲ ﺍﳌﺜﺎﻝ ) ( 4 -2ﻟﺮﺳﻢ ﺍﳌﻀﻠﻊ ﺍﻟﺘﻜ ﺮﺍﺭﻱ .
ﺍﳊـﻞ
ﻟﺮﺳﻢ ﺍﳌﻀﻠﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﻳﺘﺒﻊ ﺍﻵﰐ :
• ﺣﺴﺎﺏ ﻣﺮﺍﻛﺰ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺭﻗﻢ ) ( 3 -2
ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﻔﺌﺔ )(x
(600+620)/2= 610
(620+640)/2=630
650
670
690
(700+720)/710
ﺍﻟﻮﺯﻥ
ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺪﺟﺎﺝ ) ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭ(
10
15
20
25
20
10
100
600620640660680700-720
Sum
• ﻧﻘﻂ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻫﻲ :
730
0
710
10
690
20
670
25
650
20
630
15
610
10
590
0
ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﻔﺌﺔ )(x
ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭ )(y
• ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﱐ ﻟﻨﻘﻂ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻭﺗﻮﺻﻴﻠﻬﺎ ﲞﻄﻮﻁ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ،ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﺒﲔ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ ) ( 4 -2
24
ﺷﻜﻞ )( 4 -2
ﺍﳌﻀﻠﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﻷﻭﺯﺍﻥ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺟﺎﺝ ﺣﺠﻤﻬﺎ 100ﺩﺟ ﺎﺟﺔ
3 /3 /2ﺍﳌﻨﺤﲎ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ
ﺑﺈﺗﺒﺎﻉ ﻧﻔﺲ ﺍﳋﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﰲ ﺭﺳﻢ ﺍﳌﻀﻠﻊ ﳝﻜﻦ ﺭﺳﻢ ﺍﳌﻨﺤﲎ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ،ﻭﻟﻜﻦ ﻳﺘﻢ ﲤﻬﻴـﺪ
ﺍﳋﻄﻮﻁ ﺍﳌﻨﻜﺴﺮﺓ ﰲ ﺷﻜﻞ ﻣﻨﺤﲎ ﲝﻴﺚ ﳝﺮ ﺑﺄﻛﺜﺮ ﻋﺪﺩ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ،ﻭﰲ ﺍﳌﺜﺎﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﳝﻜﻦ ﺭﺳﻢ ﺍﳌﻨﺤﲎ
ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ،ﻭﺍﻟﺸﻜﻞ ) ( 5 -2ﻳﺒﲔ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺸﻜﻞ .
ﺷﻜﻞ )(5 -2
ﺍﳌﻨﺤﲎ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﻷﻭﺯﺍﻥ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺟﺎﺝ ﺣﺠﻤﻬﺎ 100ﺩﺟﺎﺟﺔ
ﻛﻤﺎ ﳝﻜﻦ ﺭﺳﻢ ﺍﳌﻨﺤﲎ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﻟﻨﺴﱯ ﺑﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﶈﻮﺭ ﺍﻟﺮﺃﺳﻲ ﺑﺪﻻ ﻣﻦ
ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ ﺍﳌﻄﻠﻘﺔ ،ﻭﻣﻦ ﰒ ﻳﺄﺧﺬ ﻫﺬﺍ ﺍﳌﻨﺤﲎ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺭﻗﻢ ) ( 6 -2ﺍﻟﺘﺎﱄ :
25
ﺷﻜﻞ )(6 -2
ﺍﳌﻨﺤﲎ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﻟﻨﺴﱯ ﻷ ﻭﺯﺍﻥ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺟﺎﺝ ﺣﺠﻤﻬﺎ 100ﺩﺟﺎﺟﺔ
ﻭﺍﳌﻨﺤﲎ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺃﻋﻼﻩ ﻣﻮﺟﺐ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ ،ﻛﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺃﺳﻔﻞ ﻫﺬﺍ ﺍﳌﻨﺤﲎ ﺗﻌﱪ ﻋﻦ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ
ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ،ﺃﻱ ﺃﺎ ﺗﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ،ﻭﻫﻨﺎﻙ ﺃﺷﻜﻞ ﳐﺘﻠﻔﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﲎ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﻟﻨﺴﱯ ،ﺗﺪﻝ ﻋﻠـﻰ
ﺃﺷﻜﺎﻝ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ،ﻭﻣﻦ ﺃﳘﻬﺎ ﻣ ﺎ ﻳﻠﻲ :
3/3ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻌﺎﺕ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻳﺔ ﺍﳌﺘﺠﻤﻌﺔ
ﰲ ﻛﺜﲑ ﻣﻦ ﺍﻷﺣﻴﺎﻥ ﻗﺪ ﳛﺘﺎﺝ ﺍﻟﺒﺎﺣﺚ ﺇﱃ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﺪﺩ ﺍﳌﺸﺎﻫﺪﺍﺕ ﺍﻟﱵ ﺗﻘﻞ ﻋﻦ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻌﻴﻨـﺔ ﺃﻭ
ﺗﺰﻳﺪ ﻋﻦ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻌﻴﻨﺔ ،ﻭﻣﻦ ﰒ ﻳﻠﺠﺄ ﺍﻟﺒﺎﺣﺚ ﺇﱃ ﺗﻜﻮﻳﻦ ﺟﺪﺍﻭﻝ ﲡﻤﻴﻌﻴﺔ ﺻﺎﻋﺪﺓ ﺃﻭ ﻫﺎﺑﻄﺔ ،ﻭﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﺑﻴﺎﻥ
ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺗﻜﻮﻳﻦ ﻛﻞ ﻧﻮﻉ ﻣﻦ ﻫﺬﻳﻦ ﺍﻟﻨﻮﻋ ﲔ ﻋﻠﻰ ﺣﺪﺓ :
1 /3 /3ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺪ
ﻟﺘﻜﻮﻳﻦ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺪ ،ﻳﺘﻢ ﺣﺴﺎﺏ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ ) ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻘﻴﻢ ( ﺍﻟﱵ
ﺗﻘﻞ ﻋﻦ ﻛﻞ ﺣﺪ ﻣﻦ ﺣﺪﻭﺩ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ .
ﻣﺜﺎﻝ ) ( 6 -2
ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﻟﺘﺎﱄ ﻳﺒﲔ ﺗﻮﺯﻳﻊ 40ﺑﻘﺮﺓ ﰲ ﻣﺰﺭﻋﺔ ﺣﺴﺐ ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻷﻟﺒﺎﻥ ﺍﻟﱵ ﺗﻨﺘﺠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻘﺮﺓ
ﰲ ﺍﻟﻴﻮﻡ ﺑﺎﻟﻠﺘﺮ .
Sum
34-38
30-
26-
22-
18-
ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻷﻟﺒﺎﻥ
40
4
8
15
9
4
ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺑﻘﺎﺭ
26
ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ :
-1ﻛﻮﻥ ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺪ .
-2ﻛﻮﻥ ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺪ ﺍﻟﻨﺴﱯ .
-3ﺍﺭﺳﻢ ﺍﳌﻨﺤﲎ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺪ ﺍﻟﻨﺴﱯ .
-4ﻣﻦ ﺍﳌﻨﺤﲎ ﺍﳌﺘﺠﻤ ﻊ ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻵﰐ :
• ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻷﺑﻘﺎﺭ ﺍﻟﱵ ﻳﻘﻞ ﺇﻧﺘﺎﺟﻬﺎ ﻋﻦ 28ﻟﺘﺮ .
• ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ ﺍﻟﱵ ﻳﻘﻞ ﻋﻨﻬﺎ 25%ﻣﻦ ﺍﻷﺑﻘﺎﺭ .
ﺍﳊﻞ
• ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ ﺍﻟﱵ ﻳﻘﻞ ﻋﻨﻬﺎ 50%ﻣﻦ ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ .
-1ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺪ .
ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺗﻜﺮﺍﺭﻱ ﻣﺘﺠﻤﻊ ﺻﺎﻋﺪ
ﺗﻜﺮﺍﺭ ﻣﺘﺠﻤﻊ
ﺗﻜﺮﺍﺭ ﻣﺘﺠﻤﻊ
ﺻﺎﻋﺪ ﻧﺴﱯ
ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭ ﻱ
ﺃﻗﻞ ﻣﻦ
ﺻﺎﻋﺪ
ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺑﻘﺎﺭ
ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ
ﺑﺎﻟﻠﺘﺮ
0.00
0
ﺃﻗﻞ ﻣﻦ 18
4
18-
0.10
4
ﺃﻗﻞ ﻣﻦ 22
9
22-
0.325
13
ﺃﻗﻞ ﻣﻦ 26
15
26-
0.70
28
ﺃﻗﻞ ﻣﻦ 30
8
30-
0.90
36
ﺃﻗﻞ ﻣﻦ 34
4
34-38
1.00
40
ﺃﻗﻞ ﻣﻦ 38
40
Sum
-2ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍ ﺭﻱ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺪ ﺍﻟﻨﺴﱯ :ﳛﺴﺐ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺪ ﺍﻟﻨﺴﱯ ﺑﻘـﺴﻤﺔ
ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺪ ﻋﻠﻰ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ ،ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﺒﲔ ﺑﺎﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﺧـﲑ ﰲ ﺟـﺪﻭﻝ
ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺪ .
-3ﺭﺳﻢ ﺍﳌﻨﺤﲎ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺪ :ﺍﳌﻨﺤﲎ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺪ ﺍﻟﻨﺴﱯ ﻫﻮ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ
ﺍﻟﺒﻴﺎﱐ ﻟﻠﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺪ ﺍﻟﻨﺴﱯ ،ﺣﻴﺚ ﲤﺜﻞ ﺣﺪﻭﺩ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﶈﻮﺭ ﺍﻷﻓﻘﻲ،
ﻭﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺪ ﺍﻟﻨﺴﱯ ﻋﻠﻰ ﺍﶈﻮﺭ ﺍﻟﺮﺃﺳﻲ ،ﻭﻳﺘﻢ ﲤﻬﻴﺪ ﺍﳌﻨﺤﲎ ﻟﻴﻤﺮ ﺑﺎﻹﺣـﺪﺍﺛﻴﺎﺕ،
ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﺒﲔ ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﱄ :
27
• ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻷﺑﻘﺎﺭ ﺍﻟﱵ ﻳﻘﻞ ﺇﻧﺘﺎﺟﻬﺎ ﻋﻦ 28ﻟﺘﺮ ﻫﻲ 0.47ﺗﻘﺮﻳﺒﺎ .
• ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ ﺍﻟﱵ ﻳﻘﻞ ﻋﻨﻬﺎ 25%ﻣﻦ ﻗﻴﻢ ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ ﻫﻲ 25 :ﻟﺘﺮ ﺗﻘﺮﻳﺒﺎ .
• ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ ﺍﻟﱵ ﻳﻘﻞ ﻋﻨﻬﺎ 50%ﻣﻦ ﻗﻴﻢ ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ ﻫﻲ 28.5 :ﻟﺘﺮ ،ﻭﻳﻄﻠﻖ ﻋﻠﻴﻬﺎ
ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ:
28
2 /3 /3ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﳍﺎﺑﻂ )ﺍﻟﻨﺎﺯﻝ(
ﻟﺘﻜﻮﻳﻦ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﻨ ﺎﺯﻝ ،ﻳﺘﻢ ﺣﺴﺎﺏ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ ) ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻘﻴﻢ ( ﺍﻟﱵ
ﺗﺴﺎﻭﻱ ﺃﻭ ﺗﺰﻳﺪ ﻋﻦ ﻛﻞ ﺣﺪ ﻣﻦ ﺣﺪﻭﺩ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ .
ﻣﺜﺎﻝ ) ( 7 -2
ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﰲ ﻣﺜﺎﻝ ) ، ( 6 -2ﻭﺃﻭﺟﺪ ﺍﻵﰐ :
-1ﻛﻮﻥ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﻨﺎﺯﻝ .
-2ﺍﺭﺳﻢ ﺍﳌﻨﺤﲎ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﻨﺎﺯﻝ ﺍﻟﻨﺴﱯ .
ﺍﳊﻞ :
-1ﺗﻜﻮﻳﻦ ﺍﻟﺘ ﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﻨﺎﺯﻝ .
ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺗﻜﺮﺍﺭﻱ ﻣﺘﺠﻤﻊ ﻧﺎﺯﻝ
ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ
ﺗﻜﺮﺍﺭ ﻣﺘﺠﻤﻊ
ﺗﻜﺮﺍﺭ
1.00
40
ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﺃﻭ ﻳﺴﺎﻭﻱ 18
0.90
36
ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﺃﻭ ﻳﺴﺎﻭﻱ 22
9
0.675
27
ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﺃﻭ ﻳﺴﺎﻭﻱ 26
15
26-
0.30
12
ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﺃﻭ ﻳﺴﺎﻭﻱ 30
8
30-
0.10
4
ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﺃﻭ ﻳﺴﺎﻭﻱ 34
4
34-38
0.00
0
ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﺃﻭ ﻳﺴﺎﻭﻱ 38
40
ﻧﺎﺯﻝ ﻧﺴﱯ
ﻣﺘﺠﻤﻊ ﻧﺎﺯﻝ
ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ
ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﺃﻭ ﻳﺴﺎﻭﻱ
ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺑﻘﺎﺭ
4
1822-
ﺭﺳﻢ ﺍﳌﻨﺤﲎ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﻨﺎﺯﻝ .
ﺑﺎﻟﻠﺘﺮ
Sum
29
ﻣﻼﺣﻈﺎﺕ:
-1ﳝﻜﻦ ﺭﺳﻢ ﺍﳌﻨﺤﻨﻴﺎﻥ ﰲ ﺷﻜﻞ ﺑﻴﺎﱐ ﻭﺍﺣﺪ ،ﻭﻳﻼﺣﻆ ﺃﻤﺎ ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎﻥ ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺴﻤﻰ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ.
-2ﻳﻜﻮﻥ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻨﺎ ﻟﻠﻤﻨﺤﲎ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺪ ﺃﻛﺜﺮ ﻭﺃﻭﻗﻊ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﺎﺣﻴﺔ ﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻘﻴﺔ.
4/3ﺍﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﺒﻴﺎﱐ ﻟﻠﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻮﺻﻔﻴﺔ
ﳝﻜﻦ ﻋﺮﺽ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﳋﺎﺻﺔ ﲟﺘﻐﲑ ﻭﺻﻔﻲ ﰲ ﺷﻜﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺑﻴﺎﻧﻴﺔ ﺃﻭ ﺃﻋﻤﺪﺓ ﺑﻴﺎﻧﻴﺔ ،ﳝﻜﻦ ﻣﻦ
ﺧﻼﻟﻪ ﻭﺻﻒ ﻭﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﳎ ﻤﻮﻋﺎﺕ ﺃﻭ ﻣﺴﺘﻮﻳﺎﺕ ﻫﺬﺍ ﺍﳌﺘﻐﲑ .
1 /4/3ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ
ﻟﻌﺮﺽ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﻮﺻﻔﻲ ﰲ ﺷﻜﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ ،ﻳﺘﻢ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟـ 360 oﺩﺭﺟﺔ ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭ
ﺍﻟﻨﺴﱯ ﻤﻮﻋﺎﺕ ﺍﳌﺘﻐﲑ ،ﺣﻴﺚ ﲢﺪﺩ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳋﺎﺻﺔ ﺑﺎﻤﻮﻋﺔ ﺭﻗﻢ rﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:
ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭ ﺍﻟﻨﺴﱯ ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ×
ﻣﺜﺎﻝ )(8-2
= 360 oﻣﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ
ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﻟﺘﺎﱄ ﻳﺒﲔ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﻋﻴﻨﺔ ﺣﺠﻤﻬﺎ 500ﺃﺳﺮﺓ ﺣﺴﺐ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﻟﱵ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻴﻬﺎ.
sum
ﺍﻟﻐﺮﺑﻴﺔ
ﺍﻟﻘﺼﻴﻢ
ﺍﻟﺸﺮﻗﻴﺔ
ﺍﻟﺮﻳﺎﺽ
ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ
500
170
50
130
150
ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺳﺮ
ﻣﺜﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺃﻋﻼﻩ ﰲ ﺷﻜﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺑﻴﺎﻧﻴﺔ.
ﺍﳊﻞ:
-1ﲢﺪﻳﺪ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﺨﺼﺼﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻨﻄﻘﺔ ،ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ:
ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭ ﺍﻟﻨﺴﱯ ﻟﻠﻤﻨﻄﻘﺔ × = 360 oﻣﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﺨﺼﺺ ﻟﻠﻤﻨﻄﻘﺔ
30
ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭ ﺍﻟﻨﺴﱯ
ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺳﺮ
ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ
ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ
360 × 0.30 = 108 o
0.30
150
ﺍﻟﺮﻳﺎﺽ
360 × 0.26 = 93.6 o
0.26
130
ﺍﻟﺸﺮﻗﻴﺔ
360 × 0.10 = 36 o
0.10
50
ﺍﻟﻘﺼﻴﻢ
360 × 0.30 = 122.4 o
360 o
0.34
1.00
170
500
ﺍﻟﻐﺮﺑﻴﺔ
Sum
-2ﺭﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ
ﻳﺘﻢ ﺭﺳﻢ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻭﺗﻘﺴﻴﻤﻬﺎ ﺇﱃ ﺃﺭﺑﻊ ﺃﺟﺰﺍﺀ ﻟﻜﻞ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﺟﺰﺀ ﻳﺘﻨﺎﺳﺐ ﻣﻊ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﺨﺼﺼﺔ
ﻟﻪ ،ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﺒﲔ ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﱄ:
ﺷﻜﻞ ﺭﻗﻢ )(7 -2
ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ ﻟﻌ ﻴﻨﺔ ﺣﺠﻤﻬﺎ 500ﺃﺳﺮﺓ ﻣﻮﺯﻋﺔ ﺣﺴﺐ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ
ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃﻋﻼﻩ ﻳﻼﺣﻆ ﺃﻥ ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻷﺳﺮ ﺍﻟﱵ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﻟﻠﻤﻨﻄﻘﺔ ﺍﻟﻐﺮﺑﻴﺔ ﺣﻮﺍﱄ 34%ﻭﻫﻲ ﺃﻛﱪ
ﻧﺴﺒﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ،ﺑﻴﻨﻤﺎ ﻳﻜﻮﻥ ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻷﺳﺮ ﰲ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﺍﻟﻘﺼﻴﻢ ﺣﻮﺍﱄ 10%ﻭﻫﻲ ﺃﻗـﻞ ﻧـﺴﺒﺔ ﰲ
ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ .
31
ﺍﻟﻔﺼـــﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﻟﱰﻋﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ
Central Tendency
1/3ﻣﻘﺪﻣﺔ
ﰲ ﻛﺜﲑ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﺍﺣﻲ ﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻘﻴﺔ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﺒﺎﺣﺚ ﰲ ﺣﺎﺟﺔ ﺇﱃ ﺣﺴﺎﺏ ﺑﻌﺾ ﺍﳌﺆﺷﺮﺍﺕ ﺍﻟﱵ ﳝﻜﻦ
ﺍﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﰲ ﻭﺻﻒ ﺍﻟﻈﺎﻫﺮﺓ ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﱵ ﺗﺘﻮﺳﻂ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺃﻭ ﺗﱰﻉ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺍﻟﻘﻴﻢ ،ﻭﻣﻦ ﺣﻴﺚ
ﺍﻟﺘﻌﺮﻑ ﻋﻠﻰ ﻣﺪﻯ ﲡﺎﻧﺲ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﱵ ﻳﺄ ﺧﺬﻫﺎ ﺍﳌﺘﻐﲑ ،ﻭﺃﻳﻀ ﺎ ﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﻗﻴﻢ ﺷﺎﺫﺓ ﺃﻡ ﻻ .ﻭﺍﻻﻋﺘﻤﺎﺩ
ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺮﺽ ﺍﻟﺒﻴﺎﱐ ﻭﺣﺪﺓ ﻻ ﻳﻜﻔﻰ ،ﻭﻟﺬﺍ ﻳﺘﻨﺎﻭﻝ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻔﺼﻞ ،ﻭﺍﻟﺬﻱ ﻳﻠﻴﻪ ﻋﺮﺽ ﺑﻌﺾ ﺍﳌﻘﺎﻳﻴﺲ
ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻴﺔ ﺍﻟﱵ ﳝﻜﻦ ﻣﻦ ﺧﻼﳍﺎ ﺍﻟﺘﻌﺮﻑ ﻋﻠﻰ ﺧﺼﺎﺋﺺ ﺍﻟﻈﺎﻫﺮﺓ ﳏﻞ ﺍﻟﺒﺤﺚ ،ﻭﻛﺬﻟﻚ ﺇﻣﻜﺎﻧﻴﺔ ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ
ﻇﺎﻫﺮﺗﲔ ﺃﻭ ﺃﻛﺜﺮ ،ﻭﻣﻦ ﺃﻫﻢ ﻫﺬﻩ ﺍﳌﻘﺎﻳﻴﺲ ،ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﻟﱰﻋﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ ﻭﺍﻟﺘﺸﺘﺖ .
2/3ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﻟﱰﻋﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ
ﺗﺴﻤﻰ ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﻟﱰﻋﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ ﲟﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﳌﻮﺿﻊ ﺃﻭ ﺍﳌﺘﻮﺳﻄﺎﺕ ،ﻭﻫﻰ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﱴ ﺗﺘﺮﻛﺰ ﺍﻟﻘﻴﻢ
ﺣﻮﳍﺎ ،ﻭﻣﻦ ﻫﺬﻩ ﺍﳌﻘﺎﻳﻴﺲ ،ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ،ﻭﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ،ﻭﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ،ﻭﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳍﻨﺪﺳ ﻲ ،ﻭﺍﻟﻮﺳﻂ
ﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻘﻲ ،ﻭﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻴﺎ ﺕ ،ﻭﺍﳌﺌﻴﻨﺎﺕ ،ﻭﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﻋﺮﺽ ﻷﻫﻢ ﻫﺬﻩ ﺍﳌﻘﺎﻳﻴﺲ
1 /2 /3ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ
Arithmetic Mean
ﻣﻦ ﺃﻫﻢ ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﻟﱰﻋﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ ،ﻭﺃﻛﺜﺮﻫﺎ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﺎ ﰲ ﺍﻟﻨﻮﺍﺣﻲ ﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻘﻴﺔ ،ﻭﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎﺑﻪ
ﻟﻠﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﳌﺒﻮﺑﺔ ﻭﻏﲑ ﺍﳌﺒﻮﺑﺔ ،ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
ﺃﻭﻻ :ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻠﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻏﲑ ﺍﳌﺒﻮﺑﺔ
ﻳﻌﺮﻑ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﺑﺸﻜﻞ ﻋﺎﻡ ﻋﻠﻰ ﺃﻧﻪ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﻣﻘﺴﻮﻣﺎ ﻋﻠﻰ ﻋﺪﺩﻫﺎ .ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ
nﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﻢ ،ﻭﻳﺮﻣﺰ ﳍﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ . x1 , x2 ,..., xn :
ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﳍﺬﻩ ﺍﻟﻘﻴﻢ ،ﻭﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ xﳛﺴﺐ ﺑﺎﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﺣﻴﺚ ﻳﺪﻝ ﺍﻟﺮﻣﺰ Σﻋﻠﻰ ﺍﻤﻮﻉ .
ﻣﺜـ ﺎﻝ )(1-3
32
ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﺩﺭﺟﺎﺕ 8ﻃﻼﺏ ﰲ ﻣ ﻘﺮﺭ 122ﺇﺣﺼﺎﺀ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ .
40
36
40
35
37
42
32
34
ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﺇﳚﺎﺩ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﰲ ﺍﻻﻣﺘﺤﺎﻥ .
ﺍﳊـﻞ
ﻹﳚﺎﺩ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻠﺪﺭﺟﺎﺕ ﺗﻄﺒﻖ ﺍﳌﻌ ﺎﺩﻟﺔ ﺭﻗﻢ ) ( 1 -3ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ:
x1 + x2 + ... + x
n
=x
n
34 + 32 + 42 + 37 + 35 + 40 + 36 + 40 296
=
=
= 37
8
8
ﺃ ﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﻣﻘﺮﺭ 122ﺇﺣﺺ ﻳﺴﺎﻭﻱ 37ﺩﺭﺟﺔ
ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻠﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﳌﺒﻮﺑﺔ
ﻣﻦ ﺍﳌﻌﻠﻮﻡ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ ،ﻻ ﳝﻜﻦ ﻣﻌﺮﻓﺘﻬﺎ ﻣﻦ ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ،ﺣﻴﺚ ﺃﻥ ﻫﺬﻩ
ﺍﻟﻘﻴﻢ ﻣﻮﺿﻮﻋ ﺔ ﰲ ﺷﻜﻞ ﻓﺌﺎﺕ ،ﻭﻟﺬﺍ ﻳﺘﻢ ﺍﻟﺘﻌﺒﲑ ﻋﻦ ﻛﻞ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﱵ ﺗﻘﻊ ﺩﺍﺧﻞ ﺣﺪﻭﺩ ﺍﻟﻔﺌﺔ
ﲟﺮﻛﺰ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻔﺌﺔ ،ﻭﻣﻦ ﰒ ﻳﺆﺧﺬ ﰲ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭ ﺃﻥ ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﻘﺪﻳﺮﻳﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻔﺮﺩﺓ ﺗﻘﻊ ﰲ ﻫﺬﻩ
ﺍﻟﻔﺌﺔ .
ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ kﻫﻲ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ،ﻭﻛﺎﻧﺖ
x1 , x2 ,..., xk
ﻫﻲ ﻣﺮﺍﻛﺰ ﻫﺬﻩ ﺍﻟ ﻔﺌﺎﺕ،
f1 , f2 ,..., fkﻫﻲ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﳛﺴﺐ ﺑﺎﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:
ﻣﺜـﺎﻝ )(2-3
ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﺎﱄ ﻳﻌﺮﺽ ﺗﻮﺯﻳﻊ 40ﺗﻠﻤﻴﺬ ﺣﺴﺐ ﺃﻭﺯﺍﻢ .
42-44
1
40-42
5
ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﺇﳚﺎﺩ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ .
ﺍﳊــﻞ
38-40
10
36-38
13
34-36
7
32-34
4
ﻓﺌﺎﺕ ﺍﻟﻮﺯﻥ
ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺘﻼﻣﻴﺬ
33
ﳊﺴﺎﺏ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺭﻗﻢ ) ( 2 -3ﻳﺘﻢ ﺇﺗﺒﺎﻉ ﺍﳋﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
-1ﺇﳚﺎﺩ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ
∑f
.
-2ﺣﺴﺎﺏ ﻣﺮﺍﻛﺰ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ . x
-3ﺿﺮﺏ ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﰲ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭ ﺍﳌﻨﺎﻇﺮ ﻟﻪ ) ، (x fﻭﺣﺴﺎﺏ ﺍﻤﻮﻉ ∑ xf
-4ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺭﻗﻢ ). ( 2 -3
x f
33=132 × 4
35=245 × 7
37=481 × 13
39=390 × 10
41=205 × 5
43=43 × 1
1496
ﻣﺮﺍﻛﺰ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ
ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ
ﻓﺌﺎﺕ ﺍﻟﻮﺯﻥ
x
f
4
7
13
10
5
1
40
) (C
)2=33 ÷ (32+34
35
37
39
41
43
32-34
34-36
36-38
38-40
40-42
42-44
ﺍﻤﻮﻉ
ﺇﺫﺍ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻮﺯﻥ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺬ ﻫﻮ :
6
1496
= 37.4 k.g
40
=
∑ xi f i
i =1
6
∑ fi
=x
i =1
ﺃ ﻱ ﺃﻥ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻭﺯﻥ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺬ ﻳﺴﺎﻭﻱ 37.4 k.g
ﺧﺼﺎﺋﺺ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ
ﻳﺘﺼﻒ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﺑﻌﺪﺩ ﻣﻦ ﺍ ﳋﺼﺎﺋﺺ ،ﻭﻣﻦ ﻫﺬ ﻩ ﺍﳋﺼﺎﺋﺺ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ :
-1ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻠﻤﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﺜﺎﺑﺖ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﺜﺎﺑﺖ ﻧﻔﺴﻪ ،ﺃ ﻱ ﺃﻧﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻗﻴﻢ xﻫﻲ :
x : a , a ,..., a
،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻫﻮ:
ﻭﻣﺜﺎﻝ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ،ﻟﻮ ﺍﺧﺘﺮﻧﺎ ﳎﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ 5ﻃﻼﺏ ،ﻭﻭﺟﺪﻧﺎ ﺃﻥ ﻛﻞ ﻃﺎﻟﺐ ﻭﺯﻧﻪ 63ﻛﻴﻠﻮﺟﺮﺍﻡ
،ﻓ ﺈﻥ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻭﺯﻥ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﰲ ﻫﺬﻩ ﺍﻤﻮﻋﺔ ﻫﻮ :
x = 63 + 63 + 63 + 63 + 63 = 315 = 63 k.g
5
5
-2ﳎﻤﻮﻉ ﺍﳓﺮﺍﻓﺎﺕ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﻋﻦ ﻭﺳﻄﻬﺎ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﺻﻔﺮﺍ ،ﻭﻳﻌﱪ ﻋﻦ ﻫﺬﻩ ﺍﳋﺎﺻﻴﺔ ﺑﺎﳌﻌﺎﺩﻟﺔ .
ﻭﳝﻜﻦ ﺍﻟﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻫﺬﻩ ﺍﳋﺎﺻﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻣﺜﺎﻝ ) ، ( 1 -3ﳒﺪ ﺃﻥ ﺩﺭﺟﺎﺕ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻫﻲ
34
، 34, 32, 42, 37, 35, 40, 36, 40:ﻭﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻠﺪﺭﺟﺔ ﻫﻮ ، x = 37ﺇﺫﺍ :
40
36
40
35
37
42
32
34
x
296
40-37
36-37
40-37
35-37
37-37
42-37
32-37
34-37
)( x − x
3
-1
3
-2
0
5
-5
-3
)( x − 37
0
ﺃ ﻱ ﺃﻥ :
∑ (x − 37) = 0
-3ﺇﺫﺍ ﺃﺿﻴﻒ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺛﺎﺑﺖ ﺇﱃ ﻛﻞ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﻢ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻠﻘﻴﻢ ﺍﳌﻌﺪﻟﺔ ) ﺑﻌﺪ ﺍﻹﺿﺎﻓﺔ(
ﻳﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻠﻘﻴﻢ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ ) ﻗﺒﻞ ﺍﻹﺿﺎﻓﺔ ( ﻣﻀﺎﻓﺎ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﻫﺬﺍ ﺍﳌﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﺜﺎﺑﺖ .ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ
ﺍﻟﻘﻴﻢ ﻫﻲ ، x1 , x2 ,..., xn :ﻭﰎ ﺇﺿﺎﻓﺔ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺛﺎﺑﺖ ) (aﺇﱃ ﻛﻞ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﻢ ،ﻭﻧﺮﻣﺰ ﻟﻠﻘﻴﻢ
ﺍﳉﺪﻳﺪﺓ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ، yﺃ ﻱ ﺃﻥ
، y = x + aﻓﺈﻥ :ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻘﻴﻢ ) yﺍﻟﻘﻴﻢ ﺑﻌﺪ ﺍﻹﺿﺎﻓﺔ(
ﻫﻮ:
ﺣﻴﺚ ﺃﻥ yﻫﻮ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻠﻘﻴﻢ ﺍﳉﺪﻳﺪﺓ ،ﻭﳝﻜﻦ ﺍﻟﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻫﺬﻩ ﺍﳋﺎﺻﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ
ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻣﺜﺎﻝ ﺭﻗﻢ ). ( 1 -3
ﺇﺫﺍ ﻗﺮﺭ ﺍﳌﺼﺤﺢ ﺇﺿﺎﻓﺔ 5ﺩﺭﺟﺎﺕ ﻟﻜﻞ ﻃﺎﻟﺐ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻠﺪﺭﺟﺎﺕ ﺍﳌﻌﺪﻟﺔ ﻳﺼﺒﺢ ﻗﻴﻤﺘﻪ
} ، {(37+5)=42ﻭﺍﳉﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﺎﱄ ﻳﺒﲔ ﺫﻟﻚ .
296
336
40
40+5
36
36+5
40
40+5
35
35+5
37
37+5
42
42+5
32
32+5
34
34+5
45
41
45
40
42
47
37
39
ﳒﺪ ﺃﻥ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﳉﺪﻳﺪﺓ ﻫﻮ :
ﻫﻮ :
∑ y = 336
) → ( x + 5 = 37 + 5 = 42
x
)y = ( x + 5
،ﻭﻣﻦ ﰒ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻠﻘﻴﻢ ﺍﳉﺪﻳﺪﺓ
= 42
∑ y = 336
8
n
=y
-4ﺇﺫﺍ ﺿﺮﺏ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺛﺎﺑﺖ ) (aﰲ ﻛﻞ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﻢ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻠﻘﻴﻢ ﺍﳌﻌﺪﻟﺔ )ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻨﺎﲡﺔ
ﺑﻌﺪ ﺍﻟﻀﺮﺏ( ﻳﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻠﻘﻴﻢ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ ) ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﺘﻌﺪﻳﻞ( ﻣﻀﺮﻭﺑﺎ ﰲ ﻫﺬﺍ ﺍﳌﻘﺪﺍﺭ
ﺍﻟﺜﺎﺑﺖ .ﺃﻯ ﺃﻧﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ، y = a x :ﻭﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻠﻘﻴﻢ ﺍﳉﺪﻳﺪﺓ yﻫﻮ :
35
ﻭﳝﻜﻦ ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ ﺃﻥ ﻳﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻫﺬﻩ ﺍﳋﺎﺻﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻧﻔﺲ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﳌﺜﺎﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ .ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ
ﺗﺼﺤﻴﺢ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﻣﻦ ، 50ﻭﻗﺮﺭ ﺍﳌﺼﺤﺢ ﺃﻥ ﳚﻌﻞ ﺍﻟﺘﺼﺤﻴﺢ ﻣﻦ 100ﺩﺭﺟﺔ ،ﲟﻌﲎ ﺃﻧﻪ ﺳﻮﻑ
ﻳﻀﺮﺏ ﻛﻞ ﺩﺭﺟﺔ ﰲ ﻗﻴﻤﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ
y = a x = 2(37) = 74
) ، (a=2ﻭﻳﺼﺒﺢ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﺍﳉﺪﻳﺪ ﻫﻮ :
-5ﳎﻤﻮﻉ ﻣﺮﺑﻌﺎﺕ ﺍﳓﺮﺍﻓﺎﺕ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﻋﻦ ﻭﺳﻄﻬﺎ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﺃﻗﻞ ﻣﺎ ﳝﻜﻦ ،ﺃ ﻱ ﺃﻥ:
ﻭﰲ ﺍﳌﺜﺎﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻓﺈﻥ < ∑ ( x − a ) 2 :
2
)∑ ( x − 37
ﳉﻤﻴﻊ ﻗﻴﻢ a ≠ 37
ﺛﺎﻟﺜ ﺎ :ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﺍﳌﺮﺟﺢ
ﰲ ﺑﻌﺾ ﺍﻷﺣﻴﺎﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻟﻜﻞ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻦ ﻗﻴﻢ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺃﳘﻴﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ ﺗﺴ ﻤﻰ ﺃﻭﺯﻥ ،ﺃﻭ ﺗﺮﺟﻴﺤﺎﺕ ،
ﻭﻋﺪﻡ ﺃﺧﺬ ﻫﺬﻩ ﺍﻷﻭﺯﺍﻥ ﰲ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭ ﻋﻨﺪ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ،ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﳌﻌﱪﺓ ﻋﻦ ﺍﻟﻮﺳﻂ
ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻏﲑ ﺩﻗﻴﻘﺔ ،ﻓﻤﺜﻼ ﻟﻮ ﺃﺧﺬﻧﺎ ﲬﺴﺔ ﻃﻼﺏ ،ﻭﺳﺠﻠﻨﺎ ﺩﺭﺟﺎﺕ ﻫﺆﻻﺀ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﰲ ﻣ ﻘﺮﺭ ﺍﻹﺣﺼﺎﺀ
ﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻘﻲ ،ﻭﻋﺪﺩ ﺳﺎﻋﺎﺕ ﺍﻻﺳﺘﺬﻛﺎﺭ ﰲ ﺍﻷﺳﺒﻮﻉ .
sum
5
4
3
2
1
173
46
28
36
40
23
4
2
3
3
1
ﻣﺴﻠﺴﻞ
x
w
) ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ(
) ﻋﺪﺩ ﺳﺎﻋﺎﺕ ﺍﻻﺳﺘﺬﻛﺎﺭ (
ﳒﺪ ﺃﻥ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻏﲑ ﺍﳌﺮﺟﺢ ﻟﻠﺪﺭﺟﺔ ﺍﳊﺎﺻﻞ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻫﻲ :
∑x 23+ 40+ 36+ 28+ 46 173
=
= 34.6
= n
5
5
ﻭﺇﺫﺍ ﺃﺭﺩﻧﺎ ﺃﻥ ﳓﺴﺐ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻠﺪﺭﺟﺎﺕ x
=x
ﺍﳌﺮﺟﺤﺔ ﺑﻌﺪﺩ ﺳﺎﻋﺎﺕ ﺍﻻﺳﺘﺬﻛﺎﺭ ، wﻳﺘﻢ ﺗﻄﺒﻴﻖ
ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
(w) = ∑∑w = 23×1+ 40× 3 + 36× 3 + 28× 2 + 46× 4
xw
1+ 3 + 3 + 2 + 4
23+120+108+ 56+184 491
=
=
= 37.769
13
13
ﻭﻫﺬﺍ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳌﺮﺟﺢ ﺃﻛﺜﺮ ﺩﻗﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻏﲑ ﺍﳌ ﺮﺟﺢ .
ﺇﺫﺍ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﺍﳌﺮﺟﺢ ) (w
ﳛﺴﺐ ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
36
ﻣﺰﺍﻳﺎ ﻭﻋﻴﻮﺏ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ
ﻳﺘﻤﻴﺰ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﺑﺎﳌﺰﺍﻳﺎ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
• ﺃﻧﻪ ﺳﻬﻞ ﺍﳊﺴﺎﺏ .
• ﻳﺄﺧﺬ ﰲ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭ ﻛﻞ ﺍﻟﻘﻴﻢ .
• ﺃﻧﻪ ﺃﻛﺜﺮ ﺍﳌﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﺎ ﻭﻓﻬﻤﺎ .
ﻭﻣﻦ ﻋﻴﻮﺑﻪ .
• ﺃﻧﻪ ﻳﺘﺄﺛﺮ ﺑﺎﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﺸﺎﺫﺓ ﻭﺍﳌﺘﻄﺮﻓﺔ .
• ﻳﺼﻌﺐ ﺣﺴﺎﺑﻪ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻮﺻﻔﻴﺔ .
• ﻳﺼﻌ ﺐ ﺣﺴﺎﺑﻪ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﳉﺪﺍﻭﻝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻳﺔ ﺍﳌﻔﺘﻮﺣﺔ .
2 /2 /3ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ
Median
ﻫﻮ ﺃﺣﺪ ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﻟﱰﻋﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ ،ﻭﺍﻟﺬﻱ ﻳﺄﺧﺬ ﰲ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭ ﺭﺗﺐ ﺍﻟﻘﻴﻢ ،ﻭﻳﻌﺮﻑ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﺑﺄﻧـﻪ
ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﱵ ﻳﻘﻞ ﻋﻨﻬﺎ ﻧﺼﻒ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻘﻴﻢ ) ، ( n 2ﻭﻳﺰﻳﺪ ﻋﻨـﻬﺎ ﺍﻟﻨـﺼﻒ ﺍﻵﺧـﺮ ) ، ( n 2ﺃﻱ ﺃﻥ
50%ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺃﻗﻞ ﻣﻨﻪ 50% ،ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺃﻋﻠﻰ ﻣﻨﻪ .ﻭﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ
ﻏﲑ ﻣﺒﻮﺑﺔ ،ﻭﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﳌﺒﻮﺑﺔ .
ﺃﻭﻻ :ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻟﻠﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻏﲑ ﺍﳌﺒﻮﺑﺔ
ﻟﺒﻴﺎﻥ ﻛﻴﻒ ﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻟﻠﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻏﲑ ﺍﳌﺒﻮﺑﺔ ،ﻧﺘﺒﻊ ﺍﳋﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
• ﺗﺮﺗﺐ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻳﺎ .
•
•
n + 1
ﲢﺪﻳﺪ ﺭﺗﺒﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ،ﻭﻫﻲ :ﺭﺗﺒﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ =
2
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻘﻴﻢ ) (nﻓﺮﺩﻱ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻫﻮ :
• ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻘﻴﻢ ) (nﺯﻭﺟﻲ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻳﻘﻊ ﺑﲔ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺭﻗﻢ ) ، (n / 2ﻭﺍﻟﻘﻴﻤـﺔ ﺭﻗـﻢ
) ، ((n / 2) + 1ﻭﻣﻦ ﰒ ﳛﺴﺐ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﱄ :
37
ﻣﺜـﺎﻝ ) ( 3 -3
ﰎ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻗﻄﻌﺔ ﺃﺭﺽ ﺯﺭﺍﻋﻴﺔ ﺇﱃ 17ﻭﺣﺪﺓ ﲡﺮﻳﺒﻴﺔ ﻣﺘﺸﺎﺔ ،ﻭﰎ ﺯﺭﺍﻋﺘﻬﺎ ﲟﺤﺼﻮﻝ ﺍﻟﻘﻤﺢ ،
ﻭﰎ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻧﻮﻋﲔ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﺴﻤﻴﺪ ﳘﺎ :ﺍﻟﻨﻮﻉ ) (aﻭﺟﺮﺏ ﻋﻠﻰ 7ﻭﺣﺪﺍﺕ ﲡﺮﻳﺒﻴﺔ ،ﻭﺍﻟﻨﻮﻉ )(b
ﻭﺟﺮﺏ ﻋﻠﻰ 10ﻭﺣﺪﺍﺕ ﲡﺮﻳﺒ ﻴﺔ ،ﻭﺑﻌﺪ ﺍﻧﺘﻬﺎﺀ ﺍﳌﻮﺳﻢ ﺍﻟﺰﺭﺍﻋﻲ ،ﰎ ﺗﺴﺠﻴﻞ ﺇﻧﺘﺎﺟﻴﺔ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺑﺎﻟﻄﻦ /
ﻫﻜﺘﺎﺭ ،ﻭﻛﺎﻧﺖ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻮ ﺍﻟﺘﺎﱄ :
3
2.5
4
1.5
2.3
3
2
1.5
2.5
2
3.75
2.75 3.25
1.2
1.8
4.5
3.5
ﺍﻟﻨﻮﻉ )(a
ﺍﻟﻨﻮﻉ )(b
ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﺣﺴﺎﺏ ﻭﺳﻴﻂ ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ ﻟﻜﻞ ﻧﻮﻉ ﻣﻦ ﺍﻟﺴﻤﺎﺩ ﺍﳌﺴﺘﺨﺪﻡ ،ﰒ ﻗﺎﺭﻥ ﺑﻴﻨﻬ ﺎ.
ﺍﳊـﻞ
ﺃﻭﻻ :ﺣﺴﺎﺏ ﻭﺳﻴﻂ ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ ﻟﻠﻨﻮﻉ ﺍﻷﻭﻝ )(a
• ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺗﺼﺎﻋﺪﻳﺎ :
• ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﻓﺮﺩﻯ )( n = 7
• ﺇﺫﺍ ﺭﺗﺒﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻫﻲ . ((n + 1) / 2 = (7 + 1) / 2 = 4 ) :
• ﻭﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻫﻮ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺭﻗﻢ ، 4ﺃﻱ ﺃﻥ ﻭﺳﻴﻂ ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ ﻟﻠﻨﻮﻉ aﻫﻮ:
ﻃﻦ /ﻫﻜﺘﺎﺭ Meda = 2.3
ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﺣﺴﺎﺏ ﻭﺳﻴﻂ ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ ﻟﻠﻨﻮﻉ ﺍﻟﺜﺎﱐ ): (b
• ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺗﺼﺎﻋﺪﻳﺎ .
38
• ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺯﻭﺟﻲ ) ( n = 10ﺇﺫﺍ
• ﺭﺗﺒﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻫﻲ . ((n + 1) / 2 = (10 + 1) / 2 = 5.5) :
• ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ = ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻠﻘﻴﻤﺘﲔ ﺍﻟﻮﺍﻗﻌﺘﲔ ﰲ ﺍﳌﻨ ﺘﺼﻒ )ﺭﻗﻢ . ( 6 ، 5
2.5 + 3
ﻃﻦ /ﻫﻜﺘﺎﺭ = 2.75
2
= Med b
ﻭﲟﻘﺎﺭﻧﺔ ﺍﻟﻨﻮﻋﲔ ﻣﻦ ﺍﻟﺴﻤﺎﺩ ،ﳒﺪ ﺃﻥ ﻭﺳﻴﻂ ﺇﻧﺘﺎﺟﻴﺔ ﺍﻟﻨﻮﻉ ) (aﺃﻗﻞ ﻣﻦ ﻭﺳﻴﻂ ﺇﻧﺘﺎﺟﻴﺔ ﺍﻟﻨﻮﻉ
) ، (bﺃ ﻱ ﺃﻥ . Med b > Med a :
ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻟﻠﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﳌﺒﻮﺑﺔ
ﳊﺴﺎﺏ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻣﻦ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻣﺒﻮﺑﺔ ﰲ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺗﻜﺮﺍﺭﻱ ،ﻳﺘﻢ ﺇﺗﺒﺎﻉ ﺍﳋﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ .
• ﺗﻜﻮﻳﻦ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺪ .
•
ﲢﺪﻳﺪ ﺭﺗﺒﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ :
n ∑ f
=
2 2
• ﲢﺪﻳﺪ ﻓﺌﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻛﻤﺎ ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﱄ :
ﺗﻜﺮﺍﺭ ﻣﺘﺠﻤﻊ ﺻﺎﻋﺪ ﺳﺎﺑﻖ f1
ﺭﺗﺒﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ )(n 2
ﺗﻜﺮﺍﺭ ﻣﺘﺠﻤﻊ ﺻﺎﻋﺪ ﻻﺣﻖ f2
ﺍﳊﺪ ﺍﻷﺩﱏ ﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ
)( A
ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ Med
ﺍﳊﺪ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ
• ﻭﳛﺴﺐ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ،ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ .
ﺣﻴﺚ ﺃﻥ :
L
ﻫﻲ ﻃﻮﻝ ﻓﺌﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ،ﻭﲢﺴﺐ ﺑﺎﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻔﺌﺔ = ﺍﳊﺪ ﺍﻷﻋﻠﻰ – ﺍﳊﺪ ﺍﻷﺩﱏ
L = Upper - Lower
ﻣﺜﺎﻝ )( 4-3
ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﺗﻮﺯﻳﻊ 50ﻋﺠﻞ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺍﳊﺠﻢ ،ﺣﺴﺐ ﺍﺣﺘﻴﺎﺟﺎﺗﻪ ﺍﻟﻴﻮﻣﻴﺔ ﻣـﻦ ﺍﻟﻐـﺬﺍﺀ ﺍﳉـﺎﻑ
ﺑﺎﻟﻜﻴﻠﻮ ﺟﺮﺍﻡ
13.5 – 16.5
5
10.510
7.519
4.512
1.54
ﻓﺌﺎﺕ ﺍ ﻻﺣﺘﻴﺎﺟﺎﺕ ﺍﻟﻴﻮﻣﻴﺔ
ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻌﺠﻮﻝ f
39
ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ :ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ :
ﺍﳊـﻞ
ﺃ -ﺣﺴﺎﺑﻴﺎ
ﺏ -ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ
ﺃﻭﻻ :ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﺣﺴﺎﺑﻴﺎ
• ﺭﺗﺒﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ :
= n ∑ f = 50
=
25
2
2
2
• ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺪ :
• ﲢ ﺪﻳﺪ ﻓﺌﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ :ﻭﻫﻰ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟﱵ ﺗﺸﻤﻞ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ،ﻭﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﺃﻗﻞ ﻣﻨﻬﺎ ) (n / 2ﻣﻦ
ﺍﻟﻘﻴﻢ ،ﻭﳝﻜﻦ ﻣﻌﺮﻓﺘﻬﺎ ﺑﺘﺤﺪﻳﺪ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻳﻦ ﺍﳌﺘﺠﻤﻌﲔ ﺍﻟﺼﺎﻋﺪﻳﻦ ﺍﻟﺬﻳﻦ ﻳﻘﻊ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﺭﺗﺒﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ
) ، (n / 2ﻭﰱ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺃﻋﻼﻩ ﳒﺪ ﺃﻥ ﺭﺗﺒﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ) (25ﺗﻘﻊ ﺑﲔ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻳﻦ ﺍﳌﺘﺠﻤﻌﲔ (35 ,
) ، 16ﻭﻳﻜﻮﻥ ﺍﳊﺪ ﺍﻷﺩﱏ ﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻫﻮ ﺍﳌﻨﺎﻇﺮ ﻟﻠﺘﻜﺮﺍﺭ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺪ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ، 7.5
ﻭﺍﳊﺪ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻫﻮ ﺍﳌﻨﺎﻇﺮ ﻟﻠﺘﻜﺮﺍﺭ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺪ ﺍﻟﻼﺣﻖ . 10.5ﺃﻯ ﺃﻥ ﻓﺌﺔ
ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻫﻲ :
). (7.5-10.5
• ﻭﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﺭﻗﻢ ) ( 11 -3ﻋﻠﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﳌﺜﺎﻝ ﳒﺪ ﺃﻥ :
A= 7.5 , f1 = 16 , f2 = 35 , L = 10.5 − 7.5 = 3
ﺇﺫﺍ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﻫﻲ :
40
25 − 16
×3
35 − 16
× L = 7.5 +
f1
−
n
2
f 2 − f1
9
27
× 3 = 7.5 +
= 7.5 + 1.421 = 8.921 k.g
19
19
Med = A+
= 7.5 +
ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ
• ﲤﺜﻴﻞ ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺪ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ .
• ﲢﺪﻳﺪ ﺭﺗﺒﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ) (25ﻋﻠﻰ ﺍﳌﻨﺤﲎ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺪ .ﰒ ﺭﺳﻢ ﺧﻂ ﻣﺴﺘ ﻘﻴﻢ
ﺃﻓﻘﻲ ﺣﱴ ﻳﻠﻘﻰ ﺍﳌﻨﺤﲎ ﰲ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ). (a
• ﺇﺳﻘﺎﻁ ﻋﻤﻮﺩ ﺭﺃﺳﻲ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ) (aﻋﻠﻰ ﺍﶈﻮﺭ ﺍﻷﻓﻘﻲ .
• ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﳋﻂ ﺍﻟﺮﺃﺳﻲ ﻣﻊ ﺍﶈﻮﺭ ﺍﻷﻓﻘﻲ ﺗﻌﻄﻰ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ .
• ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﺒﲔ ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ . Med = 8.6
ﻣﺰﺍﻳﺎ ﻭﻋﻴﻮﺏ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ
ﻣﻦ ﻣﺰﺍﻳﺎ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ
-1ﻻ ﻳﺘﺄﺛﺮ ﺑﺎﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﺸﺎﺫﺓ ﺃﻭ ﺍﳌﺘﻄﺮﻓﺔ .
-2ﻛﻤﺎ ﺃﻧﻪ ﺳﻬﻞ ﰲ ﺍﳊﺴﺎﺏ .
-3ﳎﻤﻮﻉ ﻗﻴﻢ ﺍﻻﳓﺮﺍﻓﺎﺕ ﺍﳌﻄﻠﻘﺔ ﻋﻦ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﺃﻗﻞ ﻣﻦ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻻﳓﺮﺍﻓﺎﺕ ﺍﳌﻄﻠﻘﺔ ﻋﻦ ﺃ ﻱ ﻗﻴﻢ
ﺃﺧﺮﻯ .ﺃ ﻱ ﺃﻥ :
ﻭﻣﻦ ﻋﻴﻮﺏ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ
a ≠ Med
∑ | x − Med | ≤ ∑ | x − a | ,
41
-1ﺃﻧﻪ ﻻ ﻳﺄﺧﺬ ﻋﻨﺪ ﺣﺴﺎﺑﻪ ﻛﻞ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﰲ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭ ،ﻓﻬﻮ ﻳﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻤﺔ ﺃﻭ ﻗﻴﻤ ﺘﲔ ﻓﻘﻂ .
-2ﻳﺼﻌﺐ ﺣﺴﺎﺑﻪ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻮﺻﻔﻴﺔ ﺍﳌﻘﺎﺳﺔ ﲟﻌﻴﺎﺭ ﺍﲰﻲ nominal
3 /2 /3ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ
Mode
ﻳﻌﺮﻑ ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ﺑﺄﻧﻪ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻷﻛﺜﺮ ﺷﻴﻮﻋﺎ ﺃﻭ ﺗﻜﺮﺍﺭﺍ ،ﻭﻳﻜﺜﺮ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻪ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻮﺻﻔﻴﺔ
،ﳌﻌﺮﻓﺔ ﺍﻟﻨﻤﻂ ) ﺍﳌﺴﺘﻮﻯ ( ﺍﻟﺸﺎﺋﻊ ،ﻭﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎﺑﺔ ﻟﻠﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﳌﺒﻮﺑﺔ ﻭﻏﲑ ﺍﳌﺒﻮﺑﺔ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
ﺃﻭﻻ :ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻏﲑ ﺍﳌﺒﻮﺑﺔ
ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﳌﺒﻮﺑﺔ )ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﻔﺮﻭﻕ(
ﺣﻴﺚ ﺃﻥ :
: Aﺍﳊﺪ ﺍﻷﺩﱏ ﻟﻔﺌﺔ ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ) ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﳌﻨﺎﻇﺮﺓ ﻷﻛﱪ ﺗﻜﺮﺍﺭ ( .
d1
d2
L
:ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺍﻷﻭﻝ = )ﺗﻜﺮﺍﺭ ﻓﺌﺔ ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ – ﺗﻜﺮﺍﺭ ﺳﺎﺑﻖ(
:ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺍﻟﺜﺎﱐ = ) ﺗﻜﺮﺍﺭ ﻓﺌﺔ ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ – ﺗﻜﺮﺍﺭ ﻻﺣﻖ(
:ﻃﻮﻝ ﻓﺌﺔ ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ .
ﻓﺌــﺔ ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ = ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﳌﻨﺎﻇﺮﺓ ﻷﻛﱪ ﺗﻜﺮﺍﺭ
ﻣﺜـﺎﻝ )(5-3
ﺍﺧﺘﲑﺕ ﻋﻴﻨﺎﺕ ﻋﺸﻮﺍﺋﻴﺔ ﻣﻦ ﻃﻼﺏ ﺑﻌﺾ ﺃﻗﺴﺎﻡ ﻛﻠﻴﺔ ﻋﻠﻮﻡ ﺍﻷﻏﺬﻳﺔ ﻭﺍﻟﺰﺭﺍﻋﺔ ،ﻭﰎ ﺭﺻﺪ
ﺩﺭﺟﺎﺕ ﻫﺆﻻﺀ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﰲ ﻣﻘﺮﺭ 122ﺇﺣﺼﺎﺀ ﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻘﻲ ،ﻭﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ:
67
90
80
85
58
95
86
72
70
85
65
73
65
77
76
69
77
65
88
69
77
93
65
73
77
75
80
85
75
60
69
69
77
68
65
73
80
88
80
85
ﻗﺴﻢ ﻭﻗﺎﻳﺔ ﺍﻟﻨﺒﺎﺗﺎﺕ
ﻗﺴﻢ ﻋﻠﻮﻡ ﺍﻷﻏﺬﻳﺔ
ﻗﺴﻢ ﺍﻻﻗﺘﺼﺎﺩ
ﻗﺴﻢ ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ ﺍﳊﻴﻮﺍﱐ
42
ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﺣﺴﺎﺏ ﻣﻨﻮﺍﻝ ﺍﻟﺪﺭﺟﺎﺕ ﻟﻜﻞ ﻗﺴﻢ ﻣﻦ ﺍﻷﻗﺴﺎﻡ :
ﺍﳊـﻞ
ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻏﲑ ﻣﺒﻮﺑﺔ ،ﻟﺬﺍ ﻓﺈﻥ :
ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ = ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻷﻛﺜﺮ ﺗﻜﺮﺍﺭﺍ
ﻭﺍﳉﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﺎﱄ ﻳﺒﲔ ﻣﻨﻮﺍﻝ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﻟﻜﻞ ﻗﺴﻢ ﻣﻦ ﺍﻷﻗﺴﺎﻡ .
ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﳌﻨﻮﺍﻟﻴﺔ
ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻷﻛﺜﺮ ﺗﻜﺮﺍﺭ
ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ = 77ﺩﺭﺟﺔ
ﺍﻟﻘﺴﻢ
ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ 77ﺗﻜﺮﺭﺕ 4ﻣﺮﺍﺕ ﻗﺴﻢ ﻭﻗﺎﻳﺔ ﺍﻟﻨﺒﺎﺗﺎﺕ
ﲨﻴﻊ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﻟﻴﺲ ﳍﺎ ﺗﻜﺮﺍﺭ
ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﻣﻨﻮﺍﻝ
ﻗﺴﻢ ﻋﻠﻮﻡ ﺍﻷﻏﺬﻳﺔ
ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ 65ﺗﻜﺮﺭﺕ 3
ﻳﻮﺟﺪ ﻣﻨﻮﺍﻻﻥ ﳘﺎ :
ﻣﺮﺍﺕ
ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ﺍﻷﻭﻝ = 65
ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ 80ﺗﻜﺮﺭﺕ 3
ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ﺍﻟﺜﺎﱐ = 80
ﻗﺴﻢ ﺍﻻﻗﺘﺼﺎﺩ
ﻣﺮﺍ ﺕ
ﻳ ﻮﺟﺪ ﺛﻼﺙ ﻣﻨﻮﺍﻝ ﻫ ﻲ :
ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ 69ﺗﻜﺮﺭﺕ 3
ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ﺍﻷﻭﻝ = 69
ﻣﺮﺍﺕ
ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ﺍﻟﺜﺎﱐ = 73
ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ 73ﺗﻜﺮﺭﺕ 3
ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ = 85
ﻣﺮﺍﺕ
ﻗﺴﻢ ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ ﺍﳊﻴﻮﺍﱐ
ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ 85ﺗﻜﺮﺭﺕ 3
ﻣﺮﺍﺕ
ﻣﺜﺎﻝ )(6-3
ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﺗ ﻮﺯﻳﻊ 30ﺃﺳﺮﺓ ﺣﺴﺐ ﺍﻹﻧﻔﺎﻕ ﺍﻻﺳﺘﻬﻼﻛﻲ ﺍﻟﺸﻬﺮﻱ ﳍﺎ ﺑﺎﻷﻟﻒ ﺭﻳﺎﻝ .
14 - 17
11 -
8-
5-
2-
ﻓﺌﺎﺕ ﺍﻹﻧﻔﺎﻕ
4
5
10
7
4
ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺳﺮ f
ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﺣﺴﺎﺏ ﻣﻨﻮﺍﻝ ﺍﻹﻧﻔﺎﻕ ﺍﻟﺸﻬﺮﻱ ﻟﻸﺳﺮﺓ ،ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﻔﺮﻭﻕ .
ﺍﳊﻞ
ﳊﺴﺎﺏ ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ﳍﺬﻩ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻳﺘﻢ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺭﻗﻢ ) ، ( 12 -3ﻭﻳﺘﻢ ﺇﺗﺒﺎﻉ ﺍﻵﰐ :
• ﲢﺪﻳﺪ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﳌﻨﻮﺍﻟﻴﺔ
ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﳌﻨﻮﺍﻟﻴﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﳌﻨﺎﻇﺮﺓ ﻷﻛﱪ ﺗﻜﺮﺍﺭ (8-11) :
43
• ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻔﺮﻭﻕ ، dﺣﻴﺚ ﺃﻥ :
d1 = (10 − 7) = 3 d 2 = (10 − 5) = 5
•
ﲢﺪﻳﺪ ﺍﳊﺪ ﺍﻷﺩﱏ ﻟﻠﻔﺌﺔ ﺍﳌﻨﻮﺍﻟﻴﺔ ) ، ( A = 8ﻭﻛﺬﻟﻚ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻔﺌﺔ )( L = 3
• ﻭﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳋﺎﺻﺔ ﲝﺴﺎﺏ ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ﰱ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﳌﺒﻮﺑﺔ .ﳒﺪ ﺃﻥ :
d1
×L
d1 + d 2
Mod = A +
3 × 3 = 8 + 1 . 125 = 9 . 125
3+5
=8+
3/3ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﻟﱰﻋﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ ﰲ ﲢﺪﻳﺪ ﺷﻜﻞ
ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ
ﳝﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻭﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻭﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ﰲ ﻭﺻﻒ ﺍﳌﻨﺤﲎ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ،ﻭﺍﻟﺬﻱ ﻳﻌﱪ ﻋﻦ
ﺷﻜﻞ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ،ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
ﺷﻜﻞ )(1 -3
• ﻳﻜﻮﻥ ﺍﳌﻨﺤﲎ ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ :
ﺍﻟﻮﺳﻂ = ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ = ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ .
• ﻳﻜﻮﻥ ﺍﳌﻨﺤﲎ ﻣﻮﺟﺐ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ ) ﻣﻠﺘﻮﻱ ﺟﻬﺔ ﺍﻟﻴﻤﲔ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ:
ﺍﻟﻮﺳﻂ < ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ < ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ
• ﻳﻜﻮﻥ ﺍﳌﻨﺤﲎ ﺳﺎﻟﺐ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍ ﺀ ) ﻣﻠﺘﻮﻱ ﺟﻬﺔ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ :
ﺍﻟﻮﺳﻂ > ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ > ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ
ﻣﺜﺎﻝ ﻋﺎﻡ )( 7-3
44
ﻗﺎﻡ ﻣﺪﻳﺮ ﻣﺮﺍﻗﺒﺔ ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ ﺑﺴﺤﺐ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﻦ 10ﻋﺒﻮﺍﺕ ﻣﻦ ﺍﳌﻴﺎﻩ ﺍﳌﻌﺒﺄﺓ ﻟﻠﺸﺮﺏ ،ﺫﺍﺕ ﺍﳊﺠﻢ
5ﻟﺘﺮ ،ﻭﺍﳌﻨﺘﺠﺔ ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ ﺇﺣﺪﻯ ﺷﺮﻛﺎﺕ ﺗﻌﺒﺌﺔ ﺍﳌﻴﺎﻩ ﻟﻔﺤﺺ ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻷﻣﻼﺡ ﺍﻟﺬﺍﺋﺒﺔ ،ﻭﻛﺎﻧﺖ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ :
121
123
123
121
124 119
123
119
123
115
ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ :ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ،ﻭﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ،ﻭﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ،ﰒ ﺣﺪﺩ ﺷﻜﻞ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ ﳍﺬﻩ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ .
ﺍﳊﻞ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ :
1211
= 121.1
10
=
∑x
n
=x
• ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ :
ﺭﺗﺒﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ (n + 1) / 2 = (10 + 1) / 2 = 5.5 :
ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺗﺼﺎﻋﺪﻳﺎ
ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻘﻴﻢ = ، 10ﻭﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﺯﻭﺟ ﻲ .ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ = ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻠﻘﻴﻤﺘﲔ ﺭﻗﻢ ) (6 , 5
= 122
244
2
=
121 + 123
2
= Med
• ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ :
ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻷﻛﺜﺮ ﺗﻜﺮﺍﺭﺍ :ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ 123ﺗﻜﺮﺭﺕ ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻏﲑﻫﺎ ،ﺇﺫﺍ
Mod = 123
ﻭﲟﻘﺎﺭﻧﺔ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﻭﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻭ ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ﳒﺪ ﺃﻥ :
ﳒﺪ ﺃﻥ :ﺍﻟﻮﺳﻂ > ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ > ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ،ﺇﺫﺍ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻷﻣﻼﺡ ﺳﺎﻟﺒﺔ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ.
ﻣﺜﺎﻝ )( 8-3
45
ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﻟﺘﺎﱄ ﻳﻌﺮﺽ ﺗﻮﺯﻳﻊ 100ﻋﺎﻣﻞ ﰲ ﻣﺰﺭﻋﺔ ﺣﺴﺐ ﺍﻷﺟﺮ ﺍﻟﻴﻮﻣﻲ ﺑﺎﻟﺮﻳﺎﻝ .
170 - 190
150 -
130 -
110 -
90 -
70 -
50 -
ﺍﻷﺟﺮ
6
8
15
20
28
15
8
ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻌﻤﺎﻝ
ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ :
• ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﻭﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻭﺍﳌﻨﻮﺍﻝ .
• ﺑﻴﺎﻥ ﺷﻜﻞ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺍﻷﺟﻮﺭ ﰲ ﻫﺬﻩ ﺍﳌﺰﺭﻋﺔ .
ﺍﳊﻞ
• ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﻭﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻭﺍﳌﻨﻮﺍﻝ .
ﺃﻭﻻ :ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ x
fx
480
1200
2800
2400
2100
1280
1080
11340
ﻣﺮﺍﻛﺰ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ) (x
ﺍﻟﺘﻜﺮ ﺍﺭﺍﺕ ) ( f
60
80
100
120
140
160
180
8
15
28
20
15
8
6
100
11340
= 113.4 R.S
100
=
∑ fx
∑f
ﻓﺌﺎﺕ ﺍﻷﺟﺮ
50 – 70
70 – 90
90 – 110
110 - 130
130 - 150
150 – 170
170 - 190
ﺍﻤﻮﻉ
=x
ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ Med
ﺭﺗﺒﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ (n/2 =100/2 =50) :
ﺗﻜﻮﻳﻦ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﳌﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺪ .
ﺗﻜﺮﺍﺭ ﻣﺘﺠﻤﻊ ﺻﺎﻋﺪ
ﺭﺗﺒﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ
ﻣﻦ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺃﻋﻼﻩ ﳒﺪ ﺃﻥ :
) (50
ﺃﻗﻞ ﻣﻦ
0
ﺃﻗﻞ ﻣﻦ 50
8
ﺃﻗﻞ ﻣﻦ 70
23 ← f1
ﺃﻗﻞ ﻣﻦ 90
51 ← f1
ﺃﻗﻞ ﻣﻦ 110
71
ﺃﻗﻞ ﻣﻦ 130
86
ﺃﻗﻞ ﻣﻦ 150
94
ﺃﻗﻞ ﻣﻦ 170
100
ﺃﻗﻞ ﻣﻦ 190
46
n
= 50 , f1 = 23 , f2 = 51 , A = 90 , L = 110 − 90 = 20
2
ﺇﺫﺍ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﻫﻰ :
n
− f1
50 − 23
2
× L = 90 +
× 20
Med = A +
51 − 23
f 2 − f1
R.S
= 90 + 19.286 = 109.3
540
28
× 20 = 90 +
27
28
= 90 +
ﺛﺎﻟﺜﺎ :ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ Mod
ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﳌﻨﻮﺍﻟ ﻴﺔ ،ﻫﻰ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﳌﻨﺎﻇﺮﺓ ﻷﻛﱪ ﺗﻜﺮﺍﺭ
ﺃﻛﱪ ﺗﻜﺮﺍﺭ = ، 28ﻭﻫﻮ ﻳﻨﺎﻇﺮ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ). (90 - 110
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻔﺮﻭﻕ :
ﺍﳊﺪ ﺍﻷﺩﱏ ﻟﻠﻔﺌﺔ A = 90 :
d 2 = 28 − 20 = 8 , d1 = 28 − 15 = 13
ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻔﺌﺔ L = 110 − 90 = 20 :
ﺇﺫﺍ ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ﳛﺴﺐ ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
d1
13
260
× L = 90 +
× 20 = 90 +
= 102.4 R.S
d1 + d2
13 + 8
21
Mod = A+
• ﺑﻴﺎﻥ ﺷﻜﻞ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ .
ﻣﻦ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ،ﳒﺪ ﺃﻥ :
ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ x = 113.4 :
ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ Med = 109.3 :
ﺃﻯ ﺃﻥ :ﺍﻟﻮﺳﻂ < ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ < ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ
ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ Mod = 1024 :
ﺇﺫﺍ ﺗﻮ ﺯﻳﻊ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻷﺟﻮﺭ ﻣﻮﺟﺐ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ .ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﺒﲔ
ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﱄ:
4/3ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻴﺎﺕ Quartiles
ﻋﻨﺪ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺇﱃ ﺃﺭﺑﻊ ﺃﺟﺰﺍﺀ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ،ﻳﻮﺟﺪ ﺛﻼﺙ ﺇﺣﺼﺎﺀﺍﺕ ﺗﺮﺗﻴﱯ ﺗﺴﻤﻰ ﺑﺎﻟﺮﺑﺎﻋﻴﺎﺕ،
ﻭﻫﻲ :
• ﺍﻟﺮﺑﻴﻊ ﺍﻷﻭﻝ :ﻭﻫﻮ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﱵ ﻳﻘﻞ ﻋﻨﻬﺎ ﺭﺑﻊ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻘﻴﻢ ،ﺃﻱ ﻳﻘﻞ ﻋﻨﻬﺎ 25%ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴ ﻢ ،ﻭﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ
47
ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ . Q1
• ﺍﻟﺮﺑﻴﻊ ﺍﻟﺜﺎﱐ :ﻭﻫﻮ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﱵ ﻳﻘﻞ ﻋﻨﻬﺎ ﻧﺼﻒ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻘﻴﻢ ،ﺃﻱ ﻳﻘﻞ ﻋﻨﻬﺎ 50%ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﻢ ،ﻭﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ
ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ، Q2ﻭﻣﻦ ﰒ ﻳﻌﱪ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺮﺑﻴﻊ ﻋﻦ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ .
•
ﺍﻟﺮﺑﻴﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ :ﻭﻫﻮ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﱵ ﻳﻘﻞ ﻋﻨﻬﺎ ﺛﻼﺙ ﺃﺭﺑﺎﻉ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻘﻴﻢ ،ﺃﻱ ﻳﻘﻞ ﻋﻨﻬﺎ 75%ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﻢ،
ﻭﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ . Q3
ﻭﺍﻟﺸﻜﻞ ) ( 3 -3ﻳﺒﲔ ﺃﻣﺎﻛﻦ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻴﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺙ .
ﺷﻜﻞ )(3 -3
ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻴﺎﺕ
ﻭﳊﺴﺎﺏ ﺃﻱ ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻴﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺙ ،ﻳﺘﻢ ﺇﺗﺒﺎﻉ ﺍﻵﰐ :
• ﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﻋﺪﺩﻫﺎ ، nﻭﺃﺎ ﻣﺮﺗﺒﺔ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ :
)X(n
n
)X(3
3
<
<
)X(2
2
<
ﺍﻟﻘﻴﻢ ﻣﺮﺗﺒﺔ :
)X(1
1
:ﺍﻟﺮﺗﺒﺔ
i
R = (n + 1) ×
4
• ﲢﺪﻳﺪ ﺭﺗﺒﺔ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ﺭﻗﻢ : (Qi ) ، i
• ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ Rﻋﺪﺩﺍ ﺻﺤﻴﺤﺎ ﻓﺈﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺮﺑ ﻴﻊ ﻫﻮ :
). Q i = X(R
• ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ Rﻋﺪﺩ ﻛﺴﺮﻱ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ) (Qiﻳﻘﻊ ﰲ ﺍﳌﺪﻯ ، X(l)< Q i < X(u) :ﻭﻣﻦ
ﰒ ﳛﺴﺐ ) (Qiﺑﺎﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﻣﺜﺎﻝ ) ( 9 -3
ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ ﺍﻟﻴﻮﻣﻲ ﻣﻦ ﺍﳊﻠﻴﺐ ﺑﺎﻟﻠﺘﺮ ﻟﻠﺒﻘﺮﺓ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪﺓ ﻟﻌﻴﻨﺔ ﺣﺠﻤﻬﺎ 10ﺃﺑﻘﺎﺭ ﺍﺧﺘﲑﺕ ﻣـﻦ
ﻣﺰﺭﻋﺔ ﻣﻌﻴﻨﺔ :
30
27
18
20
34 29
32
29
23
25
ﺍﺣﺴﺐ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻴﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ ،ﻭﻣﺎ ﻫﻮ ﺗﻌﻠﻴﻘﻚ؟
ﺍﳊﻞ :
ﳊﺴﺎﺏ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻴﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺙ ،ﻳﺘﻢ ﺇﺗﺒﺎﻉ ﺍﻵﰐ :
• ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺗﺼﺎﻋﺪﻳﺎ :
30.5
28
22.25
ﻗﻤﺔ ﺍﻟﺮﺑﻴﻊ
48
34
32
30
29
29
27
25
23
20
18
ﺍﻟﻘﻴﻢ
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
ﺍﻟﺮﺗﺒﺔ
5.5
8.25
2.75
• ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﺮﺑﻴﻊ ﺍﻷﻭﻝ ) : (Q1
i
1
ﺭﺗﺒﺔ ﺍﻟﺮﺑﻴﻊ ﺍﻷﻭﻝ ﻫﻲ R = (n + 1) × = (10 + 1) × = 2.75 :
4
4
ﻳﻘﻊ ﺍﻟﺮﺑﻴﻊ ﺍﻷﻭﻝ ﺑﲔ ﺍﻟﻘﻴﻤﺘﲔ ، (20 < Q1 < 23) :ﻭﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ) ( 14 -3ﳒﺪ ﺃﻥ :
l = 2, R = 2.75 , x(l ) = 20 .x(u ) = 23
ﺇﺫﺍ :
•
Q1 = x(l ) + ( R − l ) × ( x(u ) − x(l ) ) = 20 + 0.75(23 − 20) = 22.25
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﺮﺑﻴﻊ ﺍﻟﺜﺎﱐ ) ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ( Q2
i
2
ﺭﺗﺒﺔ ﺍﻟﺮﺑﻴﻊ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﻫﻲ R = (n + 1) × = (10 + 1) × = 5.5 :
4
4
ﻳﻘﻊ ﺍﻟﺮﺑﻴﻊ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﺑﲔ ﺍﻟﻘﻴﻤﺘﲔ ، (27 < Q2 < 29) :ﻭﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ) ( 14 -3ﳒﺪ ﺃﻥ :
l = 5, R = 5.5 , x(l ) = 27 .x(u ) = 29
ﺇﺫﺍ :
•
Q2 = x(l ) + ( R − l ) × ( x(u ) − x(l ) ) = 27 + 0.5(29 − 27) = 28
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﺮﺑﻴﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ Q3
i
3
ﺭﺗﺒﺔ ﺍﻟﺮﺑﻴﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﻫﻲ R = (n + 1) × = (10 + 1) × = 8.25 :
4
4
ﻳﻘﻊ ﺍﻟﺮﺑﻴﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟ ﺚ ﺑﲔ ﺍﻟﻘﻴﻤﺘﲔ ، (30 < Q3 < 32) :ﻭﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ) ( 14 -3ﳒﺪ ﺃﻥ :
l = 8, R = 8.25 , x( l ) = 30 .x(u ) = 32
ﺇﺫﺍ :
Q3 = x(l ) + ( R − l ) × ( x(u ) − x(l ) ) = 30 + 0.25(32 − 30) = 30.5
ﻣﻦ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﳒﺪ ﺃﻥ :
• 25%ﻣﻦ ﺍﻷﺑﻘﺎﺭ ﻳﻘﻞ ﺇﻧﺘﺎﺟﻪ ﻋﻦ 22.25ﻟﺘﺮ ﻳﻮﻣﻴﺎ .
• 50%ﻣﻦ ﺍﻷﺑﻘﺎﺭ ﻳﻘﻞ ﺇﻧﺘﺎﺟﻪ ﻋﻦ 28ﻟﺘﺮ ﻳﻮﻣﻴﺎ .
• 75%ﻣ ﻦ ﺍﻷﺑﻘﺎﺭ ﻳﻘﻞ ﺇﻧﺘﺎﺟﻪ ﻋﻦ 30.5ﻟﺘﺮ ﻳﻮﻣﻴﺎ .
ﺭﺗﺒﺔ ﺍﻟﺮﺑﻴﻊ
49
ﲤﺎﺭﻳﻦ
ﺃﻭﻻ :ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ،ﰒ ﺃﺟﺐ ﻋﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﻄﻠﻮﺏ ﺑﺎﺧﺘﻴﺎﺭ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻣﻦ ﺑﲔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ
ﺍﻷﺭﺑﻌﺔ :ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻰ ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟﺘﺼﺪﻳﺮﻳﺔ ﻣﻦ ﺍﳌﻴﺎﻩ ﺑﺎﻷﻟﻒ ﻛﻴﻠﻮﻣﺘﺮ ﻣﻜﻌﺐ ﻳﻮﻣﻴﺎ ) ، (xﻟـﻌﺪﺩ 10
ﳏ ﻄﺎﺕ ﲢﻠﻴﺔ .
216 210 165 90 216
-1
ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﻉ :
-2
∑ xﻗﻴﻤﺘﻬﺎ :
) (aﺍﻟﻜﻤﻰ ﺍﳌﻨﻔﺼﻞ
)1000 (a
107
) (bﺍﻟﻜﻤﻰ ﺍﳌﺘﺼﻞ
)1958 (b
291
105
) (cﺍﻟﻮﺻﻔﻰ
) 195.8 (c
-3
ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟﺘﺼﺪﻳﺮﻳﺔ ﺍﻟﱴ ﺃﻗﻞ ﻣﻨﻬﺎ 50%ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺗﺴﻤﻰ :
-4
ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻷﻛﺜﺮ ﺗﻜﺮﺍﺭﺍ ﺗﺴﻤﻰ :
-5
ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰉ ﻟﻠﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟﺘﺼﺪﻳﺮﻳﺔ ﻗﻴﻤﺘﻪ :
) (aﺍﻟﻮﺳﻴﻂ
) (aﺍﻟﻮﺳﻴﻂ
)216 (a
-6
) (bﺍﻟﻮﺳﻂ
) (cﺍﳌﻨﻮﺍﻝ
) (dﺍﻻﳓﺮﺍﻑ
)1958 (b
)195.8 (c
)213 (d
)1958 (b
)195.8 (c
)347 (d
)1958 (b
) (bﺳﺎﻟﺐ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ
)195.8 (c
) (cﻣﻮﺟﺐ
ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ
)216 (d
) (dﻏﲑ ﻣﻌﺮﻭﻑ .
ﺇﺫﺍ ﰎ ﺇﺩﺧﺎﻝ ﺗﻌﺪﻳﻞ ﻋﻠﻰ ﻫﺬﻩ ﺍﶈﻄﺎﺕ ﻟﺰﻳﺎﺩﺓ ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟﺘﺼﺪﻳﺮﻳﺔ ﻟﻜﻞ ﳏﻄﺔ 50ﺃﻟﻒ ﻛﻴﻠﻮ ﻣﺘﺮ
ﻣﻜﻌﺐ ،ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰉ ﻟﻠﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟﺘﺼﺪﻳﺮﻳﺔ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﺘﻄﻮﻳﺮ ﻫﻮ .
)216 (a
-10
) (bﺍﻟﻮﺳﻂ
) (cﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ
) (dﺍﳌﺪﻯ
ﺗﻌﺘﱪ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻄﺎ ﻗﺔ ﺍﻟﺘﺼﺪﻳﺮﻳﺔ ﺃﻋﻼﻩ ﳍﺎ ﺗﻮﺯﻳﻊ
) (aﻣﺘﻤﺎﺛﻞ
-9
)216 (d
ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻗﻴﻤﺘﻪ
)213 (a
-8
) (dﺍﻟﻮﺻﻔﻰ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﱮ
ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ﻗﻴﻤﺘﻪ
)216 (a
-7
216
342
x:
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ
y = 0.5 x
)216 (a
)1958 (b
)195.8 (c
)245.8 (d
ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰉ ﻟﻠﻘﻴﻢ ﺍﻟﱴ ﻳﺄﺧﺬﻫﺎ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﳉﺪﻳﺪ
)97.9 (b
)195.8 (c
y
)245.8 (d
ﻫﻮ :
50
ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻯ ﻟـﻌ ﺪﺩ 50ﻣﺰﺭﻋﺔ ﺣﺴﺐ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﱰﺭﻋﺔ ﲟﺤﺼﻮﻝ ﺍﻟﻄﻤﺎﻃﻢ ﺑﺎﻷﻟﻒ
ﺩﻭﱎ .
19.5 – 22.5
16.5-
13.5 -
10.5 -
– 7.5
– 4.5
ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺑﺎﻷﻟﻒ ﺩﻭﱎ
2
10
15
12
8
3
ﻋﺪﺩ ﺍﳌﺰﺍﺭﻉ
ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺃﻋﻼﻩ ﻟﻺﺟﺎﺑﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﻣﻦ )( 20 -11
-11
ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﻗﻴﻤﺘﻪ
)2 (b
)1 (a
-12
ﺍﳊﺪ ﺍﻷﺩﱏ ﻟﻠﻔﺌﺔ ﺍﻟﺮﺍﺑﻌﺔ ﻫﻮ
)16 (b
)14.5 (a
-13
ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻗﻴﻤﺘﻪ
)9 (a
-14
)8 (b
)0.20 (b
-15
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ
-16
)225 (b
)225 (a
ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰉ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﺗﺴﺎﻭﻯ
x
)13.5 (b
-17
ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟﱴ ﻳﻘﻊ ﻓﻴﻬﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻫﻰ :
)13.5 – (a
)16.5- 19.5 (b
16.5
-18
ﺭﺗﺒﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻫﻰ :
)50 (a
)1.50 (d
)1 (c
)10 (b
)50 (c
)13.62 (c
)14 – (c
17
)25 (c
)681 (d
)681 (d
)10.5 – 13.5 (d
)1 (d
ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﺗﺴﺎﻭﻯ .
)13.9 (a
)13.5 (b
)15 (c
)12.5 (d
ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﺗﺴﺎﻭﻯ :
)14 (a
-21
)10 (c
)3 (d
ﻫﻰ ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﻔﺌﺔ f ،ﻫﻮ ﺗﻜﺮﺍﺭ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﻓﺈﻥ ∑ fxﻗﻴﻤﺘﻪ ﺗﺴﺎﻭﻯ
)8.33 (a
-20
) 15 (c
)13.5 (d
ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭ ﺍﻟﻨﺴﱮ ﻟﻠﻔﺌﺎﺕ ﻳﺴﺎﻭﻯ :
)0.30 (a
-19
)(c
3
)5 (d
)15 (b
)(c
13.5
)14.625 (d
ﻣﻦ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ 20 ، 19 ، 16ﻳﻜﻮﻥ ﺷﻜﻞ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ .
) (aﻣﻠﺘﻮﻯ ﺟﻬﺔ
) (bﻣﺘﻤﺎﺛﻞ
) (cﺳﺎﻟﺐ
) (dﻏﲑ ﳏﺪﺩ
51
ﺍﻹﻟﺘﻮﺍﺀ
ﺍﻟﻴﻤﲔ
ﺛﺎﻟﺜﺎ :ﻗﻢ ﺑﺘﺴﺠﻴ ﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﺍﻟﺮﻗﻢ ﺍﳉﺎﻣﻌﻲ :
ﺍﻹﺳﻢ :
ﻗﻢ ﺑﺘﻈﻠﻴﻞ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻣﻦ ) ، ( 21 – 1ﻭﻻ ﻳﻨﻈﺮ ﻟﻺﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﱴ ﺎ ﻣﺮﺑﻌﲔ ﻣﻈﻠﻠﲔ :
ﺭﻗﻢ
ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
)(b) (a
)(c
)(d
52
ﺍﻟﻔﺼــــــﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑـــﻊ
ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﻟﺘﺸﺘﺖ
1/4ﻣﻘﺪﻣﺔ
ﻋﻨﺪ ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﳎﻤﻮﻋﺘﲔ ﻣﻦ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ،ﳝﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺷﻜﻞ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ،ﺃ ﻭﺍﳌﻨﺤﲎ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ،
ﻭﻛﺬﻟﻚ ﺑﻌﺾ ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﻟﱰﻋﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ ،ﻣﺜﻞ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻭﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ،ﻭﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ،ﻭﺍﻹﺣﺼﺎﺀﺍﺕ
ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺒﻴﺔ ،ﻭﻟﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻄﺮﻕ ﻭﺣﺪﻫﺎ ﻻ ﻳ ﻜﻔﻲ ﻋﻨﺪ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ،ﻓﻘﺪ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﱰﻋﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ
ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺘﲔ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ،ﻭﺭﲟﺎ ﻳﻮﺟﺪ ﺍﺧﺘﻼﻑ ﻛﺒﲑ ﺑﲔ ﺍﻤﻮﻋﺘﲔ ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﻣﺪﻯ ﺗﻘﺎﺭﺏ ﻭﺗﺒﺎﻋﺪ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ
ﻣﻦ ﺑﻌﻀﻬﺎ ﺍﻟﺒﻌﺾ ،ﺃﻭ ﻣﺪﻯ ﺗﺒﺎﻋﺪ ﺃﻭ ﺗﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﻋﻦ ﻣﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﱰﻋﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ .
ﻭﻣﺜﺎﻝ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ،ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﳎﻤﻮﻋﺘﲔ ﻣﻦ ﺍﻟﻄﻼﺏ ،ﻭﻛﺎﻥ ﺩﺭﺟﺎﺕ ﺍﻤﻮﻋﺘﲔ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ :
88
67
85
81
78
70
63
77
74
75
78
77
78
73
ﺍﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﻭﱃ
ﺍﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ
ﻟﻮ ﻗﻤﻨﺎ ﲝﺴﺎﺏ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻜﻞ ﳎﻤﻮﻋﺔ ،ﳒﺪ ﺃﻥ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻜ ﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻳﺴﺎﻭﻱ 76
ﺩﺭﺟﺔ ،ﻭﻣﻊ ﺫﻟﻚ ﺩﺭﺟﺎﺕ ﺍﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺃﻛﺜﺮ ﲡﺎﻧﺴﺎ ﻣﻦ ﺩﺭﺟﺎﺕ ﺍﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﻭﱃ .ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﺫﻟﻚ ﳉﺄ
ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻴﻮﻥ ﺇﱃ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﺃﺧﺮﻯ ﻟﻘﻴﺎﺱ ﻣﺪﻯ ﲡﺎﻧﺲ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ،ﺃﻭ ﻣﺪﻯ ﺍﻧ ﺘﺸﺎﺭ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺣﻮﻝ
ﻣﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﱰﻋﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ ،ﻭﳝﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﰲ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ﺑﲔ ﳎﻤﻮﻋﺘﲔ ﺃﻭ ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ،ﻭﻣﻦ ﻫﺬﻩ
ﺍﳌﻘﺎﻳﻴﺲ ،ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﻟﺘﺸﺘﺖ ،ﻭﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ ،ﻭﺍﻟﺘﻔﺮﻃﺢ ،ﻭﺳﻮﻑ ﻧﺮﻛﺰ ﰲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻔﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻫﺬﻩ ﺍﳌﻘﺎﻳﻴﺲ .
2/4ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﻟﺘﺸﺘﺖ
Dispersion Measurements
ﻣﻦ ﻫﺬﻩ ﺍﳌﻘﺎﻳﻴﺲ :ﺍﳌﺪﻯ ،ﻭﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﻟﺮﺑﻴﻌﻲ ،ﻭﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ ،ﻭﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ،ﻭﺍﻻﳓﺮﺍﻑ
ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ .
1/2/4اﻟﻤﺪى
Rang
ﻫﻮ ﺃﺑﺴﻂ ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﻟﺘﺸﺘﺖ ،ﻭﳛﺴﺐ ﺍﳌﺪﻯ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻏﲑ ﺍﳌﺒﻮﺑﺔ ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ .
ﻭﺃﻣﺎ ﺍﳌﺪﻯ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﳌﺒﻮﺑﺔ ﻟﻪ ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﺻﻴﻐﺔ ،ﻭﻣﻨ ﻬﺎ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:
53
ﻣﺜــﺎﻝ )(1-4
ﰎ ﺯﺭﺍﻋﺔ 9ﻭﺣﺪﺍﺕ ﲡﺮﻳﺒﻴﺔ ﲟﺤﺼﻮﻝ ﺍﻟﻘﻤﺢ ،ﻭﰎ ﺗﺴﻤﻴﺪﻫﺎ ﺑﻨﻮﻉ ﻣﻌﲔ ﻣﻦ ﺍﻷﲰﺪﺓ ﺍﻟﻔﺴﻔﻮﺭﻳﺔ
،ﻭﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻤﺢ ﺑﺎﻟﻄﻦ /ﻫﻜﺘﺎﺭ .
5.03
4.63
5.08
5.18
5.18
5.29
5.4
6.21
4.8
ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺪﻯ .
ﺍﳊـﻞ
ﺍﳌﺪﻯ = ﺃﻛﱪ ﻗﺮﺍﺀﺓ – ﺃﻗﻞ ﻗﺮﺍﺀﺓ
ﺃﻛﱪ ﻗﺮﺍﺀﺓ = 6.21
ﺃﻗﻞ ﻗﺮﺍﺀﺓ = 4.63
ﺇﺫﺍ ﺍﳌﺪﻯ ﻫﻮ :
Rang=Max-Min=6.21-4.63 =1.58
ﺍﳌﺪﻯ ﻳﺴﺎﻭﻱ 1.58ﻃﻦ /ﻫﻜﺘﺎﺭ .
ﻣﺜـﺎﻝ )(2-4
ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﻟﺘﺎﱄ ﻳﺒﲔ ﺗﻮﺯﻳﻊ 60ﻣﺰﺭﻋﺔ ﺣﺴﺐ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﱰﺭﻋﺔ ﺑﺎﻟﺬﺭﺓ ﺑﺎﻷﻟﻒ ﺩﻭﱎ .
40-45
35-40
30-35
25-30
20-25
15-20
ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ
3
12
18
15
9
3
ﻋﺪﺩ ﺍﳌﺰﺍﺭﻉ
ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺪﻯ ﻟﻠﻤﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﱰﺭﻋﺔ ﺑﺎﻟﺬﺭﺓ .
ﺍﳊـﻞ
ﺍﳌﺪﻯ = ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻷﺧﲑﺓ – ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻷﻭﱃ
ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻷﺧﲑﺓ (40+45)/2=85/2=42.5 :
ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻷ ﻭﱃ (15+20)/2=35/2=17.5 :
Rang = 42.5 − 17.5 = 25
ﺇﺫﺍ
ﺃ ﻱ ﺃﻥ ﺍﳌﺪﻯ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﺗﺴﺎﻭﻱ 25ﺩﻭﱎ
ﻣﺰﺍﻳﺎ ﻭﻋﻴﻮﺏ ﺍﳌﺪﻯ
ﻣﻦ ﻣﺰﺍﻳﺎ ﺍﳌﺪﻯ
-1ﺃﻧﻪ ﺑﺴﻴﻂ ﻭﺳﻬﻞ ﺍﳊﺴﺎﺏ
-2ﻳﻜﺜﺮ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻪ ﻋﻨﺪ ﺍﻹﻋﻼﻥ ﻋﻦ ﺣﺎﻻﺕ ﺍﻟﻄﻘﺲ ،ﻭ ﺍﳌﻨﺎﺥ ﺍﳉﻮﻱ ،ﻣﺜﻞ ﺩﺭﺟﺎﺕ ﺍﳊﺮﺍﺭﺓ،
ﻭﺍﻟﺮﻃﻮﺑﺔ ،ﻭﺍﻟﻀﻐﻂ ﺍﳉﻮﻱ .
-3ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﰲ ﻣﺮﺍﻗﺒﺔ ﺍﳉﻮﺩﺓ .
-2ﻭﻣﻦ ﻋﻴﻮﺑﻪ
54
• ﺃﻧﻪ ﻳﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻤﺘﲔ ﻓﻘﻂ ،ﻭﻻ ﻳﺄﺧﺬ ﲨﻴﻊ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﰲ ﺍﳊﺴﺒﺎﻥ .
• ﻳﺘﺄﺛﺮ ﺑﺎﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﺸﺎﺫﺓ .
2/2/4ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﻟﺮﺑﻴﻌﻲ
)Quartile Deviation (Q
ﻳﻌﺘﻤﺪ ﺍﳌﺪﻯ ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻤﺘﲔ ﻣﺘﻄﺮﻓﺘﲔ ،ﳘﺎ ﺃﺻﻐﺮ ﻗﺮﺍﺀﺓ ،ﻭﺃﻛﱪ ﻗﺮﺍﺀﺓ ،ﻓﺈﺫﺍ ﻛ ﺎﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﻗﻴﻢ
ﺷﺎﺫﺓ ،ﺗﺮﺗﺐ ﻋﻠﻰ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻪ ﻛﻤﻘﻴﺎﺱ ﻟﻠﺘﺸﺘﺖ ﻧﺘﺎﺋﺞ ﻏﲑ ﺩﻗﻴﻘﺔ ،ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﺫﻟﻚ ﳉﺄ ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻴﻮﻥ ،ﺇﱃ
ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻣﻘﻴﺎﺱ ﻟﻠﺘﺸﺘﺖ ﻳﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﻧﺼﻒ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻮﺳﻄﻰ ،ﻭﻳﻬﻤﻞ ﻧﺼﻒ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﳌﺘﻄﺮﻓﺔ ،ﻭﻟﺬﺍ
ﻻ ﻳﺘﺄﺛﺮ ﻫﺬﺍ ﺍﳌﻘﻴﺎﺱ ﺑﻮﺟﻮﺩ ﻗﻴﻢ ﺷﺎﺫﺓ ،ﻭﻳﺴﻤﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﳌﻘﻴﺎﺱ ﺑﺎﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﻟﺮﺑ ﻴﻌﻲ ) ، (Qﻭﳛﺴﺐ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ
ﺍﻟﺮﺑﻴﻌﻲ ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ .
ﺣﻴﺚ ﺃﻥ Q 1ﻫﻮ ﺍﻟﺮﺑ ﻴ ﻊ ﺍﻷﻭﻝ Q 3 ،ﻫﻮ ﺍﻟﺮﺑﻴ ﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ،ﻭﻗﺪ ﺑﻴﻨﺎ ﰲ ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﻛﻴﻒ ﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎﺏ
ﻫﺬﺍﻥ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻴﺎﻥ ،ﻭﻣﻦ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺃﻋﻼﻩ ،ﻳﻌ ﺮﻑ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﻟﺮﺑﻴﻌﻲ ﺑ ﻨﺼﻒ ﺍﳌﺪﻯ ﺍﻟﺮﺑﻴﻌﻲ ،ﺃ ﻱ ﺃﻥ :
ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﻟﺮﺑﻴﻌ ﻲ = ﻧﺼﻒ ﺍﳌﺪﻯ ﺍﻟﺮﺑﻴﻌﻲ
ﻣﺜــﺎﻝ ) ( 3 -4
ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻣﺜﺎﻝ ) ، ( 1 -4ﰒ ﺍﺣﺴﺐ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﻟﺮﺑﻴﻌﻲ ﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻤﺢ .
ﺍﳊـﻞ
• ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺗﺼﺎﻋﺪﻳﺎ
•
6.21
5.4
5.29
5.18
5.18
5.08
5.03
4.8
4.63
ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ
9
8
7
6
5
4
3
2
1
ﺍﻟﺮﺗﺒﺔ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﺮﺑ ﻴﻊ ﺍﻷﻭﻝ Q 1
ﺭﺗﺒﺔ ﺍﻟﺮﺑ ﻴ ﻊ ﺍﻷﻭﻝ :
1
4
. (n + 1) = (9 + 1)(0.25) = 2.5
x(l ) = x(2) = 4.8 , x(u ) = x(3) = 5.03 , R = 2.5 l = 2 , R − l = 0.5
,
ﺇﺫﺍ
) ) Q1 = x(l ) + (r − l )( x(u ) − x(l
= 4.8 + 0.5(5.03 − 4.8) = 4.915
•
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ) (Q 3
55
3
(n + 1) = (9 + 1)(0.75) = 7.5
4
ﻣﻮﻗﻊ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ :
x(l ) = x(7) = 5.29 , x(u ) = x(8) = 5.4 , R = 7.5 l = 7 , R − l = 0.5
,
ﺇﺫﺍ
) ) Q3 = x(l ) + ( R − l )( x(u) − x(l
= 5.29 + 0.5(5.4 − 5.29) = 5.345
• ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﻟﺮﺑﻴﻌﻲ
Q − Q1 5.345 − 4.915
=
= 0.215
Q= 3
2
2
ﺇﺫﺍ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﻟﺮﺑﻴﻌﻲ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﺗﺴﺎﻭﻱ 0.215ﻃﻦ /ﻫﻜﺘﺎﺭ .
ﻣﺜــﺎﻝ ) ( 4 -4
ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻣﺜﺎﻝ ﺭﻗﻢ ) ( 2 -4ﰲ ﺣﺴ ﺎ ﺏ ﻧﺼﻒ ﺍﳌﺪﻯ ﺍﻟﺮﺑﻴﻌﻲ .
ﺍﳊـــﻞ :
ﻋﻨﺪ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﺮﺑﻴﻊ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻭ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﻳﺘﺒﻊ ﻧﻔﺲ ﺍﻷﺳﻠﻮﺏ ﺍﳌﺴﺘﺨﺪﻡ ﰲ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ .
• ﺗﻜﻮﻳﻦ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﳌ ﺘﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺪ
•
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ﺍﻷﻭﻝ ) (Q 1
ﺭﺗﺒﺔ ﺍﻟﺮﺑ ﻴﻌﻲ ﺍﻷﻭﻝ :
n(1/4)= 60(0.25)= 15
f = 15 , f1 = 12 , f 2 = 27 , A= 25 , L = 5
f − f1
L
f 2 − f1
ﺇﺫﺍ
Q1 = A +
= 25 + 15 − 12 ( 5 ) = 25 + 3 ( 5 ) = 26
15
•
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ) (Q 3
27 − 12
56
ﻣﻮﻗﻊ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ :
f = 45 , f1 = 45 , f 2 = 57 , A = 35 , L = 5
n(3/4)= 60(0.75)= 45
ﺇﺫﺍ
f − f1
L
f 2 − f1
Q3 = A +
)(0
= 35 + 45 − 45 (5 ) = 35 +
( 5) = 35
• ﻧﺼﻒ ﺍﳌﺪﻯ ﺍﻟﺮﺑﻴﻌﻲ .
57 − 45
15
Q − Q1 35 − 26
Q= 3
=
= 4.5
2
2
ﺇﺫﺍ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﻟﺮﺑﻴﻌﻲ ﻟﻠﻤﺴﺎﺣﺔ 4.5ﺃﻟﻒ ﺩﻭﱎ .
ﻣﺰﺍﻳﺎ ﻭﻋﻴﻮﺏ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﻟﺮﺑﻴﻌﻲ
ﻣﻦ ﻣﺰﺍﻳﺎ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﻟﺮﺑﻴﻌﻲ ،ﻳﻔﻀﻞ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻪ ﻛﻤﻘﻴ ﺎﺱ ﻟﻠﺘﺸﺘﺖ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﻭﺟﻮﺩ ﻗﻴﻢ ﺷﺎﺫﺓ ،ﻛﻤﺎ
ﺃﻧﻪ ﺑﺴﻴﻂ ﻭﺳﻬﻞ ﰲ ﺍﳊﺴﺎﺏ .ﻭﻣﻦ ﻋﻴﻮﺑﻪ ،ﺃﻧﻪ ﻻ ﻳﺄﺧﺬ ﻛﻞ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﰲ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭ .
3/2/4ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ
)Mean Deviation (MD
ﻫﻮ ﺃﺣﺪ ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﻟﺘﺸﺘﺖ ،ﻭ ﻳﻌﱪ ﻋﻨ ﻪ ﲟﺘ ﻮﺳﻂ ﺍﻻﳓﺮﺍﻓﺎﺕ ﺍﳌﻄﻠﻘﺔ ﻟﻠﻘﻴﻢ ﻋﻦ ﻭﺳﻄﻬﺎ ﺍﳊـﺴﺎﰊ ،
ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ x1, x2 ,..., xnﻫﻲ ﺍﻟﻘﺮﺍﺀﺍ ﺕ ﺍﻟﱵ ﰎ ﺃﺧﺬﻫﺎ ﻋﻦ ﻇﺎﻫﺮﺓ ﻣﻌﻴﻨﺔ ،ﻭﻛﺎﻥ ) x = ∑ x n
( ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻦ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﳍﺬﻩ ﺍﻟﻘﺮﺍﺀﺍﺕ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ ) (MDﳛﺴﺐ ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﻭﻫﺬﻩ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻏﲑ ﺍﳌﺒﻮﺑﺔ .
ﻣﺜـﺎﻝ ) ( 5 -4
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟ ﺘﺼﺪﻳﺮﻳﺔ ﳋﻤ ﺲ ﳏﻄﺎﺕ ﻟﺘﺤﻠﻴﺔ ﺍﳌﻴﺎﻩ ﺑﺎﳌﻠﻴﻮﻥ ﻣﺘﺮ ﻣﻜﻌﺐ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
4 5 2 10 7
ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ ﻟﻠﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟﺘﺼﺪﻳﺮﻳﺔ
ﺍﳊـﻞ
ﳊﺴﺎﺏ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ ﻳﺘﻢ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ) ( 4 -4
• ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ :
x
x = ∑ = 28 = 5.6
n
5
ﻭﻳﺘﻢ ﺗﻜﻮﻳﻦ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﺎﱄ :
57
ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ
ﺍﻻﳓﺮﺍﻓﺎﺕ
ﺍﻻﳓﺮﺍﻓ ﺎﺕ ﺍﳌﻄﻠﻘﺔ
ﺍﻟﺘﺼﺪﻳﺮﻳﺔ
x − 5.6
)(x − x ) = (x − 5.6
x
1.6
0.6
3.6
4.4
1.4
11.6
4 - 5.6 = -1.6
5 - 5.6 = -0.6
2 - 5.6 = -3.6
10 - 5.6 = 4.4
7 - 5.6 = 1.4
0
4
5
2
10
7
Sum
• ﺇﺫﺍ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﻫﻲ :
x − x 11 .6
∑ = MD
=
) ﻣﻠﻴﻮﻥ ﻣﺘﺮ ﻣﻜﻌﺐ( = 2 .32
n
5
ﻭ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﳌﺒﻮﺑﺔ ،ﳛﺴﺐ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ .
ﺣﻴﺚ ﺃﻥ fﻫﻮ ﺗﻜﺮﺍﺭ ﺍﻟﻔﺌﺔ x ،ﻫﻮ ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﻔﺌﺔ x ،
ﻫﻮ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ .
ﻣﺜـﺎﻝ ) ( 6 -4
ﻳﺒﲔ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﻟﺘﺎﱄ ﺗﻮﺯﻳﻊ 40ﺃﺳﺮﺓ ﺣﺴﺐ ﺍﻹﻧﻔﺎﻕ ﺍﻟﺸﻬﺮﻱ ﺑﺎﻷﻟﻒ ﺭﻳﺎﻝ .
14 – 17
11 – 14
8 - 11
5-8
2-5
ﺍﻹﻧﻔﺎﻕ
8
10
13
8
1
ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺳﺮﺓ
ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ .
ﺍﳊـــــﻞ
ﳊﺴﺎﺏ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ ،ﻳﺘﻢ ﺗﻄ ﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ) ، ( 5 -4ﻭﻳﺘﺒﻊ ﺍﻵﰐ
• ﺗﻜﻮﻳﻦ ﺟﺪﻭﻝ ﳊﺴﺎﺏ ﻣﻜﻮﻧﺎﺕ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ :
ﺍﻟﻮﺳﻂ
x− x f
x− x
7.2
33.6
15.6
18
38.4
112.8
7.2
4.2
1.2
1.8
4.8
ﻣﺮﻛﺰ
ﺍﳊﺴﺎﰊ
x f
x
ﺇﺫﺍ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ ﻫﻮ :
x
∑ =x
n
= 10.7
428
40
=
3.5
52
123.5
125
124
428
ﺍﻟﻔﺌﺔ
ﻋﺪﺩ
ﺍﻷﺳﺮ
x
f
3.5
6.5
9.5
12.5
15.5
1
8
13
10
8
40
ﺣﺪﻭﺩ
ﺍﻹﻧ ﻔﺎﻕ
2-5
5-8
8-11
11-14
14-17
sum
58
∑ x − x f 112 . 8
=
= 2 . 82
n
40
= MD
ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ ﻟﻺﻧﻔﺎﻕ ﺍﻟﺸﻬﺮﻱ ﻫﻮ 2.82ﺃﻟﻒ ﺭﻳﺎﻝ .
ﻣﺰﺍﻳﺎ ﻭﻋﻴﻮﺏ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ
ﻣﻦ ﻣﺰﺍﻳﺎ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ ﺃﻧﻪ ﻳﺄﺧﺬ ﻛﻞ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﰲ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭ ،ﻭﻟﻜﻦ ﻳﻌﺎﺏ ﻋﻠﻴﻪ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ:
• ﻳﺘﺄﺛﺮ ﺑﺎﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﺸﺎﺫﺓ .
• ﻳﺼﻌﺐ ﺍﻟﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻌﻪ ﺭﻳﺎﺿﻴﺎ .
4/2/4ﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ
Variance
ﻫﻮ ﺃﺣﺪ ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﻟﺘﺸﺘﺖ ،ﻭﺃﻛﺜﺮﻫﺎ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣ ﺎ ﰲ ﺍﻟﻨﻮﺍﺣﻲ ﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻘﻴﺔ ،ﻭﻳﻌﱪ ﻋـﻦ ﻣﺘﻮﺳـﻂ
ﻣﺮﺑﻌﺎﺕ ﺍﳓﺮﺍﻓﺎﺕ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﻋﻦ ﻭﺳﻄﻬﺎ ﺍﳊﺴﺎﰊ .
ﺃﻭﻻ :ﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﰲ ﺍﺘﻤﻊ ) ( σ 2
ﺇﺫﺍ ﺗﻮﺍﻓﺮ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻗﺮﺍﺀﺍﺕ ﻋﻦ ﻛﻞ ﻣﻔﺮﺩﺍﺕ ﺍﺘﻤﻊ ،ﻭﻟﺘﻜﻦx1, x2 ,..., xN :
،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺘﺒـﺎﻳﻦ
ﰲ ﺍﺘﻤﻊ ،ﻭﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) σ 2ﺳﻴﺠﻤﺎ ( ﳛﺴﺐ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﺣﻴﺚ ﺃﻥ µﻫﻮ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﰲ ﺍﺘﻤﻊ ،ﺃﻯ ﺃﻥ µ = ∑ x N :
.
ﻣﺜـ ﺎﻝ ) ( 7 -4
ﻣﺼﻨﻊ ﻟﺘﻌﺒﺌﺔ ﺍﳌﻮﺍﺩ ﺍﻟﻐﺬﺍﺋﻴﺔ ،ﻳﻌﻤﻞ ﺑﻪ 15ﻋﺎﻣﻞ ،ﻭﻛﺎﻧﺖ ﻋﺪﺩ ﺳﻨﻮﺍﺕ ﺍﳋﱪﺓ ﳍﺆﻻﺀ ﺍﻟﻌﻤ ﺎﻝ
ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
10
12
11
6
14
13
10
8
6
9
12
7
14
13
5
ﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﰎ ﲨﻌﻬﺎ ﻋﻦ ﻛﻞ ﻣﻔﺮﺩﺍﺕ ﺍﺘﻤﻊ ،ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻟﻌﺪﺩ ﺳﻨﻮﺍﺕ ﺍﳋﱪﺓ .
ﺍﳊـﻞ
•
ﳊﺴﺎﺏ ﺗﺒﺎﻳﻦ ﺳﻨﻮﺍﺕ ﺍﳋﱪﺓ ﰲ ﺍﺘﻤﻊ ،ﻳﺘﻢ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ) .( 6 -4
ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﰲ ﺍﺘﻤﻊ µ
1
∑x
N
(150) = 10
1
15
= )(5 + 13 + +7 + ... + 12 + 10
1
15
=µ
=
59
•
ﺣﺴﺎﺏ ﻣﺮﺑﻌﺎﺕ ﺍﻻﳓﺮﺍﻓﺎﺕ ∑ ( x − µ ) 2
ﲟﺎ ﺃﻥ :
∑ ( x − µ ) 2 = 130
ﺇﺫﺍ ﺗﺒﺎﻳﻦ ﺳﻨﻮﺍﺕ ﺍﳋﱪﺓ ﻟﻠﻌﻤﺎﻝ ﰲ ﺍﳌﺼﻨﻊ ﻫﻮ :
2 130
(
x
−
u
)
∑
2
= σ
=
= 8.67
N
15
( x − µ)2
)(x − µ
25
9
9
16
4
1
16
4
0
9
16
16
1
4
0
130
5-10 = -5
3
-3
4
2
-1
-4
-2
0
3
4
-4
1
2
0
0
ﺳﻨﻮﺍﺕ ﺍﳋﱪﺓ
x
5
13
7
14
12
9
6
8
10
13
14
6
11
12
10
150
ﻭﳝﻜﻦ ﺗﺒﺴﻴﻂ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ) ( 6 -4ﰲ ﺻﻮﺭﺓ ﺃﺧﺮﻯ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
ﳝﻜﻦ ﻓﻚ ﺍﻤﻮﻉ ∑ ( x − µ ) 2
ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ :
2
2
∑ ( x − µ ) 2 = ∑ x − 2 xµ + µ
= ∑ x2 − 2µ ∑ x + ∑ µ 2
= ∑ x2 − 2 Nµ 2 + Nµ 2
= ∑ x2 − Nµ 2
ﻭ ﻣﻦ ﰒ ﻳﻜﺘﺐ ﺗﺒﺎﻳﻦ ﺍﺘﻤﻊ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
x2 − Nµ 2 1
∑
2
= σ
= ∑ x2 − µ 2
N
N
60
ﺇﺫﺍ ﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﰲ ﺍﺘﻤﻊ ﳝﻜﻦ ﺻﻴﺎﻏﺘﻪ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ .
ﻭﺑﺎﻟﺘﻄﺒﻴﻖ ﻋﻠﻰ ﺍﳌﺜﺎﻝ ) ، (7 -4ﳒﺪ ﺃﻥ ﺃﻧﻨﺎ ﳓﺘﺎﺝ ﺇﱃ ﺍﻤﻮﻋﲔ ∑ x , ∑ x2 :
،ﻭﻳﺘﻢ ﻋﻤﻞ ﺍﻵﰐ
:
ﺳﻨﻮﺍﺕ
x2
x
∑ x = 150 , ∑ x2 = 1630
1
1
∑ x = (150) = 10
N
15
ﺇﺫﺍ ﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻫﻮ
ﺍﳋﱪﺓ
=µ
1
2
2
∑x −µ
N
1
1630 − 10 2 = 108 .67 − 100 = 8 . 67
=
15
ﻭﻫﻲ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﱵ ﰎ ﺍﳊﺼﻮﻝ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ). ( 6 -4
= σ2
25
169
49
196
144
81
36
64
100
169
196
36
121
144
100
5
13
7
14
12
9
6
8
10
13
14
6
11
12
10
1630
150
ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﰲ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ) ( s
2
ﰲ ﻛﺜﲑ ﻣﻦ ﺍﳊﺎﻻﺕ ﻳﻜﻮﻥ ﺗﺒﺎﻳﻦ ﺍﺘﻤﻊ σ 2
ﻏﲑ ﻣﻌﻠﻮﻡ ،ﻭ ﻋﻨﺪﺋﺬ ﻳﺘﻢ ﺳﺤﺐ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﻦ ﻫـﺬﺍ
ﺍﺘﻤﻊ ،ﻭ ﳛ ﺴﺐ ﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻣﻦ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﻛﺘﻘﺪﻳﺮ ﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﺍﺘﻤﻊ ،ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻗﺮﺍﺀﺍﺕ ﻋﻴﻨﺔ ﻋـﺸﻮﺍﺋﻴﺔ
ﺣﺠﻤﻬﺎ nﻫﻲ x1 , x2 ,..., xn ،
،ﻓﺈﻥ ﺗﺒﺎﻳﻦ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﻭﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ s2ﻫﻮ :
ﺣﻴﺚ ﺃﻥ xﻫﻮ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻘﺮﺍﺀﺍﺕ ﺍ ﻟﻌﻴﻨﺔ ،ﺃ ﻱ ﺃﻥ x = ∑ x n :
ﺍﳌﺒﲔ ﺑﺎﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ) ( 8 -4ﻫﻮ ﺍﻟﺘﻘﺪﻳﺮ ﻏﲑ ﺍﳌﺘﺤﻴﺰ ﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﺍﺘﻤﻊ .
،ﻭﺗﺒﺎﻳﻦ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ
61
ﻣﺜـﺎﻝ ) ( 8 -4
ﰲ ﺍﳌﺜﺎﻝ ) ( 7 -4ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ،ﺇﺫﺍ ﰎ ﺳﺤﺐ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﻦ ﻋﻤﺎﻝ ﺍﳌﺼﻨﻊ ﺣﺠﻤﻬﺎ 5ﻋﻤﺎﻝ ،ﻭﺳﺠﻞ ﻋﺪﺩ
ﺳﻨﻮﺍﺕ ﺍﳋﱪﺓ ،ﻭﻛﺎﻧﺖ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ .
9
10
5
13
8
ﺍﺣﺴﺐ ﺗﺒﺎﻳﻦ ﺳﻨﻮﺍﺕ ﺍﳋﱪﺓ ﰲ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ .
ﺍﳊــﻞ
ﳊﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﰲ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﻳﺘﻢ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ) ، ( 8 -4ﻭﻳﺘﺒﻊ ﺍﻵﰐ :
• ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﰲ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ :
1
1
1
x = ∑ x = (8 + 13 + 10 + 5 + 9) = (45) = 9
n
5
5
• ﺣﺴﺎﺏ ﻣﺮﺑﻌﺎﺕ ﺍﻻﳓﺮﺍﻓﺎﺕ
(x − x )2
∑
ﺳﻨﻮﺍﺕ ﺍﳋﱪﺓ x
45
9
5
10
13
8
0
0
-4
1
4
-1
) (x − x
34
0
16
1
16
1
( x − x )2
ﺃ ﻱ ﺃﻥ :
(x − x )2 = 34
∑ ،
• ﺇﺫﺍ ﺗﺒﺎﻳﻦ ﺳﻨﻮﺍﺕ ﺍﳋﱪﺓ ﰲ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﻫﻲ :
2
(
x
−
x
)
∑
= s
=
n −1
34
34
=
= 8 .5
)( 5 − 1
4
• ﰲ ﻫﺬﻩ ﺍﳊﺎﻟﺔ ﳝﻜﻦ ﺍﻟﻘﻮﻝ ﺑﺄﻥ ﺗﺒﺎﻳﻦ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ، 8.5ﻭﻫﻮ ﰲ ﻧﻔﺲ ﺍﻟ ﻮﻗﺖ ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻏﲑ ﻣﺘﺤﻴﺰ ﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﺍﺘﻤﻊ
.
2
ﺗﺒﺴﻴﻂ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﳊﺴﺎﺑﻴﺔ
ﳝﻜﻦ ﺗﺒﺴﻴﻂ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺍﳌﻮﺿﺤﺔ ﺑﺎﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ) ( 8 -4ﺇﱃ ﺻﻴﻐﺔ ﺳﻬﻠﺔ ﳝﻜـﻦ
ﺍﻟﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻌﻬﺎ ،ﻭﺧﺎﺻﺔ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﲢﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻢ ﻛﺴﺮﻳﺔ ،ﻭﻻﺳﺘ ﻨﺘﺎﺝ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﻳﺘﻢ ﺇﺗﺒـﺎﻉ
ﺍﻵﰐ .
ﳝﻜﻦ ﻓﻚ ﺍ ﻤﻮﻉ ∑ ( x − x) 2
ﻛﺎﻟﺘﺎ ﱄ :
62
2
2
∑ ( x − x) 2 = ∑ x − 2 xx + x
= ∑ x2 − 2 x∑ x + ∑ x 2
= ∑ x2 − 2nx 2 + nx 2
= ∑ x2 − nx 2
ﻭﻳﻜﺘﺐ ﺗﺒﺎﻳﻦ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
1
2
2
∑ x − nx
n −1
= s2
ﺇﺫﺍ ﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﰲ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﳝﻜﻦ ﺻﻴﺎﻏﺘﻪ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ .
ﻛﻤﺎ ﳝﻜﻦ ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ) ( 9 -4ﺗﺄﺧﺬ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﱄ :
ﻭﺑﺎﻟﺘﻄﺒﻴﻖ ﻋﻠﻰ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﳌ ﺜﺎﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ،ﳒﺪ ﺃﻥ :
45
9
5
10
13
8
439
81
25
100
169
64
ﺳﻨﻮﺍﺕ ﺍﳋﱪﺓ x
x2
• ﺗﺒﺎﻳﻦ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ) ( 9 -4ﻫﻮ :
∑ x2 − nx 2
1
n −1
1
2 1 (34 ) = 8 . 5
= 439 − 5 ( 9 )
5 −1
4
= s2
=
• ﻭﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ) ( 10 -4ﳒﺪ ﺃﻥ :
2
1
2 − ( ∑ x)
x
∑
n −1
n
1
= (439 − 405 ) = 1 (34 ) = 8 .5
4
4
= s2
1
( 45 ) 2
=
439 −
5 −1
5
63
ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ
Standard Deviation
ﻋﻨﺪ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻛﻤﻘﻴﺎﺱ ﻣﻦ ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﻟﺘﺸﺘﺖ ،ﳒﺪ ﺃﻧﻪ ﻳﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠـﻲ ﳎﻤـﻮﻉ ﻣﺮﺑﻌـﺎﺕ
ﺍﻻﳓﺮﺍﻓﺎﺕ ،ﻭﻣﻦ ﰒ ﻻ ﻳﺘﻤﺸﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﳌﻘﻴﺎﺱ ﻣﻊ ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﳏﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﺔ ،ﻓﻔﻲ ﺍﳌﺜﺎﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ،
ﳒﺪ ﺃﻥ ﺗﺒﺎﻳﻦ ﺳﻨﻮﺍﺕ ﺍﳋﱪﺓ ﰲ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ، 8.5ﻓﻠﻴﺲ ﻣﻦ ﺍ ﳌﻨﻄﻖ ﻋﻨﺪ ﺗﻔﺴﲑ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺃﻥ ﻧﻘﻮﻝ " ،ﺗﺒﺎﻳﻦ
ﺳﻨﻮﺍﺕ ﺍﳋﱪﺓ ﻫﻮ 8.5ﺳﻨﺔ ﺗﺮﺑﻴﻊ " ،ﻷﻥ ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺴﻨﻮﺍﺕ ،ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﺫﻟﻚ ﳉـﺄ
ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻴﲔ ﺇﱃ ﻣﻘﻴﺎﺱ ﻣﻨﻄﻘﻲ ﻳﺄﺧﺬ ﰲ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭ ﺍﳉﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ ﻟﻠﺘﺒﺎﻳﻦ ،ﻟﻜﻲ ﻳﻨﺎﺳﺐ ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻗﻴـﺎﺱ
ﺍﳌﺘﻐﲑ ،ﻭﻫﺬﺍ ﺍﳌﻘﻴﺎﺱ ﻫﻮ ﺍﻻﳓﺮ ﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ .
ﺇﺫﺍ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ،ﻫﻮ ﺍﳉﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ ﺍﳌﻮﺟﺐ ﻟﻠﺘﺒﺎﻳﻦ ،ﺃ ﻱ ﺃﻥ :
ﻭﻣﺜﺎﻝ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ :
• ﰲ ﻣﺜﺎﻝ ) ( 7 -4ﳒﺪ ﺃﻥ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﺴﻨﻮﺍﺕ ﺍﳋﱪﺓ ﻟﻌﻤﺎﻝ ﺍﳌﺼﻨﻊ ) ﺍﺘﻤﻊ ( ،ﻭﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ
) ( σﻫﻮ :
1
2
2
∑x −µ
N
8 .67 = 2 . 94
1
= 1630 − 10 2
15
= σ
=
ﰲ ﻫﺬ ﻩ ﺍﳊﺎﻟﺔ ،ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﺴﻨﻮﺍﺕ ﺍﳋﱪﺓ ﰲ ﺍﺘﻤﻊ ﻫﻮ 2.94ﺳﻨﺔ .
•
ﰲ ﻣﺜﺎﻝ ) ( 8 -4ﳒﺪ ﺃﻥ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﺴﻨﻮﺍﺕ ﺍﳋﱪﺓ ﻟﻌﻤﺎﻝ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ،ﻭﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ s
،ﻫﻮ
:
1 2 (∑ x) 2
=s
∑x −
n
n −1
1
(45) 2
1
1
439
405
439
−
=
−
=
(
)
(34) = 2.92
5 −1
5
4
4
ﺃ ﻱ ﺃﻥ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﺴﻨﻮﺍﺕ ﺍﳋﱪﺓ ﰲ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﻫﻮ 2.92ﺳﻨﺔ .
ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﳌﺒﻮﺑﺔ
=
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻈﺎﻫﺮﺓ ،ﻣﺒﻮﺑﺔ ﰲ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺗﻜﺮﺍﺭﻱ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﳛﺴﺐ
ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ .
64
ﺣﻴﺚ ﺃﻥ
f
ﻫﻮ ﺗﻜﺮﺍﺭ ﺍﻟﻔﺌﺔ ،
x
ﻫﻮ ﻣﺮ ﻛﺰ ﺍﻟﻔﺌﺔ ،
xﻫﻮ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ )(∑ xf n
ﻫﻲ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ ) ، (n = ∑ fﻭﺍﳌﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﺬﻱ ﲢﺖ ﺍﳉﺬﺭ ﻳﻌﱪ ﻋﻦ ﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ )
2
،
n
. (s
ﻣﺜـﺎﻝ ) ( 9 -4
ﰲ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻣﺜﺎﻝ ) ، ( 6 -4ﺍﺣﺴﺐ ﺍﻻﳓ ﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻺﻧﻔﺎﻕ ﺍﻟﺸﻬﺮﻱ ﻟﻸﺳﺮﺓ ،ﰒ ﻗﺎﺭﻥ ﺑـﲔ
ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ ،ﻭﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻺﻧﻔﺎﻕ ﺍﻟﺸﻬﺮﻱ ﻟﻸﺳﺮﺓ .
ﺍﳊـــــﻞ
ﳊﺴﺎﺏ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻺﻧﻔﺎﻕ ﺍﻟﺸﻬﺮﻱ ،ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺭﻗـﻢ ) ، ( 12 -4ﻭﺳﻮﻑ ﻧﻄﺒﻖ
ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ،ﻭﻟﺬﺍ ﻧﻜﻮﻥ ﺟﺪﻭﻝ ﳊﺴﺎﺏ ﺍﻤﻮﻋﲔ . ∑ xf , ∑ x2 f :
n = ∑ f = 40
∑ xf = 428
∑ x2 f = 5008
ﻣﺮﻛﺰ
x2 f
xf
ﺍﻟﻔﺌﺔ x
ﻋﺪﺩ
ﺍﻷﺳﺮ
ﺍﻹﻧﻔﺎﻕ
f
12.25
3.5
3.5
1
2-5
338
52
6.5
8
5-8
9.5
13
8-11
1562.5
125
12.5
10
11-14
1922
124
15.5
8
14-17
5008
428
40
sum
123.5 1173.25
ﻭﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ،ﳒﺪ ﺃﻥ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﻫﻲ :
65
)2
( xf
∑ ∑ x2 f −
n
5008 − 4579 . 6
=
39
n −1
=s
( 428 ) 2
5008 −
40
=
10 . 984615
=
= 3 . 314
40 − 1
ﺃ ﻱ ﺃﻥ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻺﻧﻔﺎﻕ ﺍﻟﺸﻬﺮﻱ 3.314ﺃﻟﻒ ﺭﻳﺎﻝ ،ﻭﻭ ﻓﻘﺎ ﳍﺬﺍ ﺍﳌﻘﻴـﺎﺱ ،ﻓـﺈﻥ
ﺗﺸﺘﺖ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻹﻧﻔﺎﻕ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺗﺸﺘﺖ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻹﻧﻔﺎﻕ ﻭﻓﻘﺎ ﳌﻘﻴﺎﺱ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ ). (2.88
ﺧﺼﺎﺋﺺ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ
ﻣﻦ ﺧﺼﺎﺋﺺ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ،ﻣﺎ ﻳﻠﻲ :
• ﺃﻭﻻ :ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻠﻤﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﺜﺎﺑﺖ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺻﻔﺮﺍ ،ﺃ ﻱ ﺃﻧﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﻘﺮﺍﺀﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
a, a, a, …,a
x:ﺣﻴﺚ ﺃﻥ aﻣﻘﺪﺍﺭ ﺛﺎﺑﺖ ﻓﺈﻥ ، s x = 0 :ﺣﻴﺚ ﺃﻥ s x
ﺗﻌﱪ ﻋﻦ ﺍﻻﳓـﺮﺍﻑ
ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻘﻴﻢ . x
• ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﺇﺫﺍ ﺃﺿﻴﻒ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺛﺎﺑﺖ ﺇﱃ ﻛﻞ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻦ ﻗﻴﻢ ﺍﳌﻔﺮﺩﺍﺕ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻠﻘﻴﻢ ﺍﳉﺪﻳﺪﺓ
) ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺑﻌﺪ ﺍﻹﺿﺎﻓﺔ ( ﺗﺴﺎﻭﻱ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻠﻘﻴﻢ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ ) ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺑﻌﺪ ﺍﻹﺿﺎﻓﺔ ( ،ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻧـﺖ
ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ ﻫﻲ ، x1 , x2 ,..., xnﻭﰎ ﺇﺿﺎﻓﺔ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺛﺎﺑﺖ aﺇﱃ ﻛﻞ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻦ ﻗﻴﻢ x
ﺍﻻﳓﺮﺍ ﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻠﻘﻴﻢ ﺍﳉ ﺪﻳـﺪﺓ ( y = x + a ) : x1 + a , x2 + a ,..., xn + a :ﻫـﻲ :
: s y = sx
،ﻓﺈﻥ
ﻣﺜـﺎﻝ ) ( 10 -4
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﻦ ﺍﳌﻌﻠﻮﻡ ﺃﻥ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ ﻏﺬﺍﺋﻲ ﻣﻌﲔ ﻟﻠﺘﺴﻤﲔ ﻟﻔﺘﺮﺓ ﺯﻣﻨﻴﺔ ﳏﺪﺩﺓ ﺳﻮﻑ ﻳﺰﻳﺪ ﻣﻦ ﻭﺯﻥ
ﺍﻟﺪﺟﺎﺟﺔ 0.5ﻛﻴﻠﻮﺟﺮﺍﻡ ،ﺳﺤﺒﺖ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮﺍﺋﻴﺎ ﻣﻦ ﻣﺰﺭﻋﺔ ﺩﺟﺎﺝ ﺣﺠﻤﻬﺎ 5ﺩﺟﺎﺟﺎﺕ ،ﻭﻛﺎﻧﺖ ﺃﻭﺯﺍ ﺎ
ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ . 1 , 1.75 , 2 , 1.25 , 2.5 :
-1ﺍﺣﺴﺐ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻮﺯﻥ ﺍﻟﺪﺟﺎﺟﺔ .
-2ﺇﺫﺍ ﻃﺒﻖ ﺍﻟﱪﻧﺎﻣﺞ ﺍﻟﻐﺬﺍﺋﻲ ﺍﳌﺸﺎﺭ ﺇﻟﻴﻪ ،ﻣﺎ ﻫﻮ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻮﺯﻥ ﺍﻟﺪﺟﺎﺟﺔ ﰲ ﻫـﺬﻩ
ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ؟
ﺍﳊـــــﻞ
-1ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻠﻮﺯﻥ ﻗﺒﻞ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺍﻟﱪﻧﺎﻣﺞ .
n=5
∑ x = 8.5
x2
x
1
1
66
3.0625
1.75
4
2
1.5625
1.25
6.25
2.5
15.875
8.5
ﺇﺫﺍ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻠﻮﺯﻥ ﻗﺒﻞ ﺍﻟﱪﻧﺎﻣﺞ ﰲ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﻫﻮ :
2
) 2 − (∑ x
x
∑
n
n −1
= 0 . 534
15 . 875 − 14 . 45
5
=
(8 .5 ) 2
5
= 3 . 314
15 . 875 −
5
10 . 984615
= sx
=
=
-2ﺣﺴ ﺎ ﺏ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻮﺯﻥ ﺍﻟﺪﺟﺎﺟﺔ ﺑﻌﺪ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺍﻟﱪ ﻧﺎﻣﺞ .
ﻛﻞ ﺩﺟﺎﺟﺔ ﺑﻌﺪ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺍﻟﱪﻧﺎﻣﺞ ،ﻣﻦ ﺍﳌﺘﻮﻗﻊ ﺃﻥ ﺗﺰﻳﺪ 0.5ﻛﻴﻠﻮﺟﺮﺍﻡ ،ﻭﻫﺬﺍ ﻣﻌﻨﺎﻩ ﺃﻥ ﺍﻟﻮﺯﻥ
ﺑﻌﺪ ﺍﻟﱪﻧﺎﻣﺞ ﻫﻮ y = x + 0.5 :
،ﻭﻳﻜﻮﻥ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻠﻮﺯﻥ ﺍﳉﺪﻳﺪ ﻣـﺴﺎﻭﻳﺎ
ﺃﻳﻀﺎ ﻟﻼﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻠﻘﻴﻢ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ ،ﺃﻯ ﺃﻥ :
s y = s x = 0.534
ﺍﻻﳓ ﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻠﻮﺯﻥ ﺑﻌﺪ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺍﻟﱪﻧﺎﻣﺞ ﻳﺴﺎﻭﻱ 0.534ﻛﻴﻠﻮﺟﺮﺍﻡ .
• ﺛﺎﻟﺜﺎ :ﺇﺫﺍ ﺿﺮﺏ ﻛﻞ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻦ ﻗﻴﻢ ﺍﳌﻔﺮﺩﺍﺕ ﰲ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺛﺎﺑﺖ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻠﻘﻴﻢ ﺍﳉﺪﻳﺪﺓ
ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻴﻢ
،ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻠﻘﻴﻢ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ ﻣﻀﺮﻭﺑﺎ ﰲ ﺍﻟﺜﺎﺑﺖ ،ﺃﻯ ﺃﻥ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻗﻴﻢ x
ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ ،ﻭﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﳉﺪﻳﺪﺓ ﻫـﻲ ، y = a x :ﺣﻴـﺚ ﺃﻥ aﻣﻘـﺪﺍﺭ ﺛﺎﺑـﺖ ،ﻓـﺈﻥ :
. s y = a sx
ﻭﻣﺜﺎﻝ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ،ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﺪﺭﺟﺎﺕ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻫﻲ 4ﺩﺭﺟﺎﺕ ،ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ
ﺍﻟﺘﺼﺤﻴﺢ ﻣﻦ 50ﺩﺭﺟﺔ ،ﻭ ﻳﺮﺍﺩ ﺗﻌﺪﻳﻞ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﻟﻴﻜﻮﻥ ﺍﻟﺘﺼﺤﻴﺢ ﻣﻦ 100ﺩﺭﺟﺔ ،ﻭﻣﻌﲎ ﻳﺘﻢ ﺿﺮﺏ
ﻛﻞ ﺩﺭﺟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺎﺕ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ ﰲ ، 2ﻭﻣﻦ ﰒ ﳛﺴﺐ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻠﺪﺭﺟﺎﺕ ﺍﳌﻌﺪﻟﺔ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ
.
y = 2x
s y = 2s x = 2( 4) = 8
ﺇﺫﺍ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻠﺪﺭﺟﺎﺕ ﺍﳌﻌﺪﻟﺔ 8ﺩﺭﺟﺎﺕ .
• ﺭﺍﺑﻌﺎ :ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﺘﻮﻟﻴﻔﺔ ﺍﳋﻄﻴﺔ ، y = a x + b :ﻓﺈﻥ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ y
ﻫـﻮ
67
ﺃﻳﻀﺎ s y = a s x :
،ﻭﰲ ﺍﳌﺜﺎﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ،ﻟﻮ ﺃﺿﺎ ﻑ ﺍﳌﺼﺤﺢ ﻟﻜﻞ ﻃﺎﻟﺐ 5ﺩﺭﺟﺎﺕ ﺑﻌﺪ ﺗﻌـﺪﻳﻞ
ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﻣﻦ ، 100ﺃﻯ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﳉﺪﻳﺪﺓ ﻫﻲ y = 2 x + 5 :
y = 2x + 5
s y = 2s x = 2( 4) = 8
ﻣﺰﺍﻳﺎ ﻭﻋﻴﻮﺏ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ
ﻣﻦ ﻣﺰﺍﻳﺎ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ
-1ﺃﻧﻪ ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﻟﺘﺸﺘﺖ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﺎ .
-2ﻳﺴﻬﻞ ﺍﻟﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻌﻪ ﺭﻳﺎﺿﻴﺎ .
-3ﻳﺄﺧﺬ ﻛﻞ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﰲ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭ .
ﻭﻣﻦ ﻋﻴﻮﺑﻪ ،ﺃﻧﻪ ﻳﺘﺄﺛﺮ ﺑﺎﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﺸﺎﺫﺓ .
،ﻓﺈﻥ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻫﻮ :
68
ﺍﻟﻔﺼـــﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ
ﺑﻌﺾ ﺍﳌﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﻷﺧﺮﻯ ﻟﻮﺻﻒ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ
1/5ﻣﻘﺪﻣــﺔ
ﻋﻨﺪ ﲤﺜﻴﻞ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻈﺎﻫﺮﺓ ﰲ ﺷﻜﻞ ﻣﻨﺤﲏ ﺗﻜﺮﺍﺭﻱ ،ﻓﺈﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﳌﻨﺤﲏ ﻳﺄﺧﺬ ﺃﺷﻜﺎﻻ ﳐﺘﻠﻔﺔ ،ﻓﻘﺪ
ﻳﻜﻮﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﳌﻨﺤﲎ ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﲟﻌﲎ ﺃﻥ ﻟﻪ ﻗﻤﺔ ﰲ ﺍﳌﻨﺘﺼﻒ ،ﻭﻟﻮ ﺃﺳﻘﻄﻨﺎ ﻋﻤﻮﺩﺍ ﻣﻦ ﻗﻤﺘﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﶈﻮﺭ ﺍﻷﻓﻘ ﻲ
ﻟﺸﻄﺮﻩ ﻧﺼﻔﲔ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﲔ ،ﻣﺜﻞ ﻣﻨﺤﲎ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ،ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﺒﲔ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﱄ .
ﻣﻨﺤﲎ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ) ﻣﻨﺤﲎ ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ (
ﻭﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﻭﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻭﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ﻛﻠﻬﻢ ﻳﻘﻌﻮﻥ ﻋﻠﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ ،
ﻭﻟﻜﻦ ﰲ ﻛﺜﲑ ﻣﻦ ﺍﳊﺎﻻﺕ ﻳﻜﻮﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﻗﻴﻢ ﻛﺒﲑﺓ ﰲ ﺍﻟﺒﻴ ﺎﻧﺎﺕ ﲡﺬﺏ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ،ﻭﻫﺬﺍ ﻣﻌﻨﺎﻩ
ﺃﻥ ﺍﳌﻨﺤﲎ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺳﻮﻑ ﻳﻜﻮﻥ ﻟﻪ ﺫﻳﻞ ﺟﻬﺔ ﺍﻟﻴﻤﲔ ،ﻣﺸﲑﺍ ﺑﻮﺟﻮﺩ ﺍﻟﺘﻮﺍﺀ ﺟﻬﺔ ﺍﻟـﻴﻤﲔ ،ﻭﻛـﺬﻟﻚ
ﺍﻟﻌﻜﺲ ﻟﻮ ﺃﻥ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺎ ﻗﻴﻢ ﺻﻐﲑﺓ ،ﻓﺈﺎ ﲡﺬﺏ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺇﻟﻴﻬﺎ ،ﻭﻳﺪﻝ ﺍﳌﻨﺤﲏ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﻋﻠﻰ ﻭﺟـﻮﺩ
ﺍﻟﺘﻮﺍﺀ ﺟﻬﺔ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ،ﻛﻤﺎ ﳝﻜﻦ ﻣﻦ ﺧﻼ ﻝ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﱐ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻣﻨﺒـﺴﻂ ،ﺃﻭ
ﻣﺪﺑﺐ ،ﻭ ﻫﺬﺍ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﺎﺣﻴﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ ،ﺇﻻ ﺃﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﻛﺜﲑﺓ ﻟﻮﺻﻒ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺗﻌﺘﻤﺪ ﰲ ﺣﺴﺎﺎ ﻋﻠـﻰ
ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﻟﱰﻋﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ ﻭﺍﻟﺘﺸﺘﺖ ﻣﻌﺎ ،ﻭﻣﻨﻬﺎ ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ ،ﻭﺍﻟﺘﻔﺮﻃﺢ ،ﻭﺑﻌﺾ ﺍﳌﻘـﺎﻳﻴﺲ ﺍﻷﺧـﺮﻯ
ﺳﻮﻑ ﻳﺘﻢ ﻋﺮﺿﻬﺎ ﻓﻴﻤ ﺎ ﺑﻌﺪ .
2/5ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ
Skewness
ﻫﻨﺎﻙ ﻃﺮﻕ ﻛﺜﲑﺓ ﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ ﻭﻣﻨﻬﺎ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ :
1/2/5ﻃﺮﻳﻘﺔ "ﺑﲑﺳﻮﻥ "Personﰲ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ
ﺗﺄﺧﺬ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﰲ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﲔ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﻭﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻭﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ،ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ
ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﻗﺮﻳﺐ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﻭﻟﻴﺲ ﺷﺪﻳﺪ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍ ﺀ ،ﻭﻫﺬﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﻫﻲ ( 1 -5) :
ﻭﻣﻦ ﰒ ﻓﺈﻥ ﻃﺮﻳﻘﺔ " ﺑﲑﺳﻮﻥ " ﰲ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ ،ﺗﺘﺤﺪﺩ ﺑﺎﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ .
69
ﺣﻴﺚ ﺃﻥ ) αﺃﻟﻔﺎ( ﻫﻮ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ " ﻟﺒﲑﺳﻮﻥ" x ،ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ Med ،ﻫﻮ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂS ،
ﻫﻮ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ،ﻭﳝﻜﻦ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﻹ ﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﱵ ﻳﺄﺧﺬﻫﺎ ﻫﺬﺍ ﺍﳌﻌﺎﻣﻞ ﺍﳊﻜﻢ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ ،ﻛﻤﺎ
ﻳﻠﻲ :
• ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ) ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ = ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ( ﻛﺎﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﳌﻌﺎﻣﻞ ) ، (α = 0ﻭﻳﺪﻝ ﺫﻟﻚ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﻣـﻨﺤﲎ
ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ .
• ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ) ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ < ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ( ﻛﺎﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﳌﻌﺎﻣﻞ ) ، (α > 0ﻭﻳﺪﻝ ﺫﻟﻚ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﻣـﻨﺤﲎ
ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﻣﻠﺘﻮﻱ ﺟﻬﺔ ﺍﻟﻴﻤﲔ .
• ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ) ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ > ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ( ﻛﺎﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﳌﻌﺎﻣﻞ ) ، (α < 0ﻭﻳﺪﻝ ﺫﻟﻚ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﻣـﻨﺤﲎ
ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﻣﻠﺘﻮﻱ ﺟﻬﺔ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ .
ﺷﻜﻞ )(1 -5
ﺃﺷﻜﺎﻝ ﺍﻟﺘﻮﺍﺀ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ
2/2/5ﻃﺮﻳﻘﺔ "ﺍﳌﺌﲔ" ﰲ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ
ﺍﳌﺌﲔ ﻳﻨﺘﺞ ﻣﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺗﺼﺎﻋﺪﻳﺎ ،ﰒ ﺗﻘﺴﻴﻤﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺇﱃ 100ﺟﺰﺀ ،ﻳﻔﺼﻞ ﺑﻴﻨﻬﺎ ﻗﻴﻢ
ﺗﺴﻤﻰ ﺍﳌﺌﲔ ،ﻭﻋﻠﻰ ﺳﺒﻴﻞ ﺍﳌﺜﺎﻝ ﻳﻌﺮﻑ ﺍﳌﺌﲔ 15ﻭﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) ( v15ﻋﻠﻰ ﺃﻧﻪ ﺍﻟ ﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﱵ ﻳﻘﻞ ﻋﻨﻬﺎ
15%ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﻢ ،ﻭﳊﺴﺎﺏ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﳌﺌﲔ ، pﻭﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) ، (v pﻳﺘﺒﻊ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻔﻜـﺮﺓ ﺍﳌـﺴﺘﺨﺪﻣﺔ ﰲ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﺮﺑﻴﻊ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
• ﺗﺮﺗﺐ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺗﺼﺎﻋﺪﻳﺎ :
•
•
)x(1) < x( 2) < ... < x( n
p
ﺭﺗﺒﺔ ﺍﳌﺌﲔ :
100
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺮﺗﺒﺔ Rﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ﻓﺈﻥ ) ).( v15 = x( R
. R = (n + 1)
• ﺃﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺮﺗﺒﺔ Rﻋﺪﺩ ﻛﺴﺮﻱ ﻓﺈﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﳌﺌﲔ ) (v pﲢﺴﺐ ﺑﺎﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﻭ ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻓﻜﺮﺓ ﺍﳌﺌﲔ ﰲ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ ﻋﻠﻰ ﻣﺪ ﻯ ﻗﺮﺏ ﺍﳌﺌﲔ ، v pﻭﺍﳌﺌﲔ ، v100 − pﻣﻦ ﺍﳌﺌﲔ ، v50
ﻭﻛﻤﺜﺎﻝ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ،ﻋﻨﺪ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﳌﺌﲔ ، 20ﻭﺍﳌﺌﲔ ، 80ﻳﻼﺣﻆ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺍﻟﺘـﺎﱄ
70
ﺣﺎﻻﺕ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ :
ﺷﻜﻞ )(2 -5
ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃﻋﻼﻩ ﻳﻼﺣﻆ ﺍﻵﰐ :
• ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺑﻌﺪ ﺍﳌﺌﲔ ) (v80ﻋﻦ ﺍﳌﺌﲔ ) (v50ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺑﻌﺪ ﺍﳌﺌﲔ ) (v20ﻋﻦ ﺍﳌﺌﲔ ) (v50ﻛـﺎﻥ
ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﻣﺘﻤﺎﺛﻼ .
• ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺑﻌﺪ ﺍﳌﺌﲔ ) (v80ﻋﻦ ﺍﳌﺌﲔ ) (v50ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺑﻌﺪ ﺍﳌﺌﲔ ) (v20ﻋﻦ ﺍﳌﺌﲔ ) (v50ﻛـﺎﻥ
ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﻣﻮﺟﺐ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ .
• ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺑﻌﺪ ﺍﳌﺌﲔ ) (v80ﻋﻦ ﺍﳌﺌﲔ ) (v50ﺃﻗﻞ ﻣﻦ ﺑﻌﺪ ﺍﳌﺌﲔ ) (v20ﻋﻦ ﺍﳌﺌﲔ ) (v50ﻛـﺎﻥ
ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺳﺎﻟﺐ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ .
ﻭﺑﺸﻜﻞ ﻋﺎﻡ ﳝﻜﻦ ﺍﳊﻜﻢ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ ﺍﳌﺌﻴﲏ ،ﻭﻳﺄﺧﺬ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ .
ﺣﻴﺚ ﺃﻥ v p < v50 < v100 − p :ﻭﻳﻔﻀﻞ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻫﺬﺍ ﺍﳌﻌﺎﻣﻞ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﱵ ﲢﺘﻮﻱ ﻋﻠـﻰ
ﻗﻴﻢ ﺷﺎﺫﺓ ،ﻭﺃﻳﻀﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﱵ ﻻ ﻧﻌﺮﻑ ﳍﺎ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﳏﺪﺩ ،ﻭﻋﻨﺪﻣﺎ ﻧﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﳌﺌﲔ 25
ﺍﳌﺌﲔ ( v75 = Q ) 75ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ ﺍﻟﺮﺑﻴﻌﻲ ،ﻭﻫﻮ :
3
ﻣﺜـﺎﻝ ) ( 1 -5
ﻛﺎﻧﺖ ﺩﺭﺟﺎﺕ 8ﻃﻼﺏ ﰲ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻲ ﰲ ﻣﻘﺮﺭ 122ﺇﺣﺺ ،ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ .
58
74
91
80
78
52
85
ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ -1 :ﺣﺴﺎﺏ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ " ﺑﲑﺳﻮﻥ " .
-2ﺣﺴﺎﺏ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ ﺍﻟﺮﺑﻴﻌﻲ .
ﺍﳊــﻞ
-1ﺣﺴﺎﺏ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ " ﺑﲑﺳﻮﻥ " .
66
) = Q1
، ( v25
71
ﰲ ﻫﺬﻩ ﺍﳊﺎﻟﺔ ﻳﺘﻢ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺭﻗﻢ ) ( 2 -5ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
• ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ،ﻭﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ :
∑ x = 584 , ∑ x2 = 43890
ﻭﻳﻜﻮﻥ :
x2
x
x = ∑ = 584 = 73
n
8
2
x2 − (∑ x)2 n
∑ =s
= 43890 − (584) 8
8 −1
n −1
= 1258 = 179 .71428 = 13.406
7
• ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ :
ﻣﻮﻗﻊ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ (n+ 1)/2= (8+ 1)/2= 4.5 :
91
8
80 85
6
7
6.75
74
4
78
5
4.5
58 66
2
3
2.25
52
1
Med = 74 + 0.5(78 − 74) = 76
• ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ " ﺑﲑﺳﻮﻥ "
= −0.67
)3(73 − 76
13.406
= ) s.c = 3( x − Med
S
ﺇﺫﺍ ﻣﻨﺤﲎ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺩﺭﺟﺎﺕ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻣﻠﺘﻮﻱ ﺟﻬﺔ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ .
-2ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ ﺍﻟﺮﺑﻴﻌﻲ .
ﳊﺴﺎﺏ ﻣ ﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ ﺍﻟﺮﺑﻴﻌﻲ ،ﻳﺘﻢ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺭﻗﻢ ) .( 5 -5
• ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﺮﺑ ﻴ ﻊ ﺍﻷﺩﱏ .
ﻣﻮﻗﻊ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ (n+ 1)/4= (8+ 1)(1/4)= 2.25 :
ﺇﺫﺍ
ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ
x
4356
66
7225
85
2704
52
6084
78
6400
80
8281
91
5476
74
3364
58
43890
584
72
Q1 = 58 + (2.25 − 2)(66 − 58) = 60
• ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ﺍﻷﻋﻠﻰ .
ﻣﻮﻗﻊ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ (n+ 1)/(3/4)= (8+ 1) (3/4)= 6.75 :
ﺇﺫﺍ
Q3 = 80 + (6.75 − 6)(85 − 80) = 83.75
• ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ) ﺍﻟﺮﺑﻴﻊ ﺍﻟﺜﺎﱐ (
Med (Q2 ) = 76
ﺇﺫﺍ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ ﺍﻟﺮﺑﻴﻌﻲ ﻫﻮ :
) (Q3 − Q2 ) − (Q2 − Q1 ) (83 .75 − 76 ) − (76 − 60
= αq
=
) (83 .75 − 60
) (Q3 − Q1
ﺇﺫﺍ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺩﺭﺟﺎﺕ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻣﻠﺘﻮﻱ ﺟﻬﺔ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ .
3/5ﺍﻟﺘﻔﺮﻃﺢ
− 8 .25
= − 0 .35
23 .75
=
Kurtosis
ﻋﻨﺪ ﲤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﰲ ﺷﻜﻞ ﻣﻨﺤﲎ ﺗﻜﺮﺍﺭﻱ ،ﻗﺪ ﻳﻜﻮﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﳌـﻨﺤﲎ ﻣﻨﺒـﺴﻂ ،ﺃﻭ
ﻣﺪﺑﺐ ،ﻓﻌ ﻨﺪﻣﺎ ﻳﺘﺮﻛﺰ ﻋﺪﺩ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺑﺎﻟﻘﺮﺏ ﻣﻦ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﳌﻨﺤﲎ ،ﻭﻳﻘﻞ ﰲ ﻃﺮﻓﻴ ﻪ ،ﻳﻜﻮﻥ ﺍﳌﻨﺤﲎ
ﻣﺪﺑﺒﺎ ،ﻭﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺘﺮﻛﺰ ﻋﺪﺩ ﺃﻛﱪ ﻋﻠﻰ ﻃﺮﰲ ﺍﳌﻨﺤﲎ ،ﻭﻳﻘﻞ ﺑﺎﻟﻘﺮﺏ ﻣﻦ ﺍﳌﻨﺘﺼﻒ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﳌﻨﺤﲎ ﻣﻔﺮﻃﺤﺎ ،
ﺃﻭ ﻣﻨﺒﺴﻄﺎ ،ﻭﻳﻈﻬﺮ ﺫﻟﻚ ﻣﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﱄ :
ﻣﻨﺤﲎ ﻣﺪﺑﺐ
ﻣﻨﺤﲎ ﻣﻔﺮﻃﺢ
ﻭ ﳝﻜﻦ ﻗﻴ ﺎﺱ ﺍﻟﺘﻔﺮﻃﺢ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻋﺪﺩ ﻣﻦ ﺍﻟﻄﺮﻕ ،ﻭﻣﻨﻬﺎ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﻌﺰﻭﻡ ،ﺣﻴﺚ ﳛﺴﺐ ﻣﻌﺎﻣﻞ
ﺍﻟﺘﻔﺮﻃﺢ ) (Kﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
73
ﺣﻴﺚ ﺃﻥ ﺍﳌﻘﺪﺍﺭ ∑ ( x − x) 4 nﻫﻮ ﺍﻟﻌﺰﻡ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ﺣﻮﻝ ﺍﻟﻮﺳـﻂ s ،
ﻫـﻮ ﺍﻻﳓـﺮﺍﻑ
ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ .ﻭﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﺘﻔﺮﻃﺢ ﰲ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﻳﺴﺎﻭﻱ ، 3ﻭﻣﻦ ﰒ ﳝﻜﻦ ﻭﺻﻒ ﻣﻨﺤﲎ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﻣـﻦ
ﺣﻴﺚ ﺍﻟﺘﻔﺮﻃﺢ ،ﻭﺍﻟﺘﺪﺑﺐ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
• ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ k=3ﻛﺎﻥ ﻣﻨﺤﲎ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﻣﻌﺘﺪﻻ .
• ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ k>3ﻛﺎﻥ ﻣﻨﺤﲎ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﻣﺪﺑﺒﺎ .
• ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ k<3ﻛﺎﻥ ﻣﻨﺤﲎ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﻣﻨﺒﺴﻄ ﺎ ) ﻣﻔﺮﻃﺤﺎ ( .
ﻭﺑﺎﻟﺘﻄﺒﻴﻖ ﻋﻠﻰ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﳌﺜﺎﻝ ﺭﻗﻢ ) ( 1 -5ﳒﺪ ﺃﻥ :
584
58
74
80
91
x = 73
52
78
85
66
0
-15
1
18
7
5
-21
12
-7
1258
225
1
324
49
25
441
144
49
376246
50625
1
104976
2401
625
194481
20736
2401
x
)( x − x
( x − x) 2
( x − x) 4
ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺃﻋﻼﻩ ﳒﺪ ﺃﻥ :
Σ( x − x ) 2
1258
=
= 13.406
n −1
7
1
1
( x − x) 2 = (376246) = 47030.75
∑
n
8
=s
ﺇﺫﺍ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﺘﻔﺮﻃﺢ ﻫﻮ :
47030.75
47030.75
=
= 1.456
4
)(13.406
)(32299.58
=K
ﺇﺫﺍ ﺷﻜﻞ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﺪﺭﺟﺎﺕ ﻣﻔﺮﻃﺢ .
4/5ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﺃﺧﺮﻯ ﻟﻮﺻﻒ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ
ﻫﻨﺎﻙ ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﺃﺧﺮﻯ ﳝﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﰲ ﻭﺻﻒ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ،ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﺩﺭﺟﺔ ﺗﺸﺘﺖ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ،
ﻭﻣﺪﻯ ﺍﻧﺘﺸﺎﺭﻫﺎ ،ﻭﻣﻦ ﻫﺬﻩ ﺍﳌﻘﺎﻳﻴﺲ ،ﻣﺎ ﻳﻠﻲ :
1/4/5ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺧﺘﻼﻑ
Variation Coefficient
ﺃﺣﺪ ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﳌﺴﺘﺨﺪﻣﺔ ﻟﻘﻴﺎﺱ ﺩﺭﺟﺔ ﺍﻟﺘﺸﺘﺖ ،ﻭﻓﻴﻪ ﳛﺴﺐ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﺸﺘﺖ ﻛﻨﺴﺒﺔ ﻣﺌﻮﻳﺔ ﻣﻦ ﻗﻴﻤﺔ
ﻣﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﱰﻋﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ ،ﻭﻣﻦ ﰒ ﻳﻔﻀﻞ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺧﺘﻼﻑ ﻋﻨﺪ ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﺩﺭﺟﺔ ﺗﺸﺘﺖ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ
ﳎﻤﻮﻋﺘﲔ ﺃﻭ ﺃﻛﺜﺮ ﳐﺘﻠﻔﺔ ﳍﺎ ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻗﻴﺎﺱ ﳐﺘﻠﻔﺔ ،ﺑﺪﻻ ﻣﻦ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ،ﺃﻭ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﻟﺮﺑﻴﻌﻲ ،
74
ﻷﻥ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺧﺘﻼﻑ ﻳﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻐﲑﺍﺕ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﰲ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﻋﻦ ﻣﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﱰﻋﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ ،ﺑﻴﻨﻤﺎ ﻳﻌﺘﻤﺪ
ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﺃﻭ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﻟﺮﺑﻴﻌﻲ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻐﲑﺍﺕ ﺍﳌﻄﻠﻘﺔ ﻟﻠﻘﻴﻢ ،ﻓﻌﻨﺪ ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﺩﺭﺟﺔ ﺗﺸﺘﺖ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ
ﺍﻷﻃﻮﺍﻝ ﺑﺎﻟﺴﻨﺘﻤﺘﺮ ،ﻭ ﺑﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻷﻭﺯﺍﻥ ﺑﺎﻟﻜﻴﻠﻮﺟﺮﺍﻡ ،ﻻ ﳝﻜﻦ ﺍﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﰲ ﻫﺬﻩ
ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ،ﻭﺇﳕﺎ ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺧﺘﻼﻑ ،ﻭﻣﻦ ﰒ ﻳﻄﻠﻖ ﻋﻠﻴﻪ ﲟﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺧﺘﻼﻑ ﺍﻟﻨ ﺴﱯ ،ﻭﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﺑﻌﺾ
ﻫﺬﻩ ﺍﳌﻌﺎﻣﻼﺕ.
• ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺧﺘﻼﻑ ﺍﻟﻨﺴﱯ
ﻭﳛﺴﺐ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺧﺘﻼﻑ ﺍﻟﻨﺴﱯ ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:
• ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺧﺘﻼﻑ ﺍﻟﺮﺑﻴﻌﻲ
ﻭﳛﺴﺐ ﻫﺬﺍ ﺍﳌﻌﺎﻣﻞ ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:
ﻣﺜﺎﻝ )( 2 -5
ﰎ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﳎﻤﻮﻋﺘﲔ ﻣﻦ ﺍﻷﻏﻨﺎﻡ ﺍﻟﻨﺎﻣﻴﺔ ﰲ ﺃﺣﺪ ﺍﳌﺰﺍﺭﻉ ،ﻭﰎ ﺍ ﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻋﻠﻴﻘﺔ ﻣﻌﻴﻨﺔ ﻟﺘﺴﻤﲔ
ﺍﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﻭﱃ ،ﺑﻴﻨﻤﺎ ﰎ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻋﻠﻴﻘﺔ ﺃﺧﺮﻯ ﻟﺘﺴﻤﲔ ﺍﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ،ﻭﺑﻌﺪ ﻓﺘﺮﺓ ﺯﻣﻨﻴﺔ ﰎ ﲨﻊ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ
ﻋﻦ ﺃﻭﺯﺍﻥ ﺍﻤﻮﻋﺘﲔ ﺑﺎﻟﻜﻴﻠﻮﺟﺮﺍﻡ ،ﻭﰎ ﺍﳊﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﺍﳌﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ .
ﺍﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ
ﺍﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﻭﱃ
198
173
25
23
ﺍﳌﻘﺎﻳﻴﺲ
=x
=s
ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﺩﺭﺟﺔ ﺗﺸﺘﺖ ﺍﻤﻮﻋﺘﲔ:
ﺍﳊـــﻞ :
• ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺧﺘﻼﻑ ﺍﻟﻨﺴﱯ ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﻭﱃ:
23 ×100 = 13.3%
v.c1 = s ×100 = 173
x
• ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺧﺘﻼﻑ ﺍﻟﻨﺴﱯ ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ :
25 ×100 = 12.8%
v.c2 = s ×100 = 195
x
75
ﻳﻼﺣﻆ ﺃﻥ ﺩﺭﺟﺔ ﺗﺸﺘﺖ ﺃﻭﺯﺍﻥ ﺍ ﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺃﻗﻞ ﻣﻦ ﺩﺭﺟﺔ ﺗﺸﺘﺖ ﺃﻭﺯﺍﻥ ﺍﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﻭﱃ .
2/4/5ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻣﺪﻯ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ
ﳝﻜﻦ ﻗﻴﺎﺱ ﺩﺭﺟﺔ ﺗﺸﺘﺖ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺗﻘﺪﻳﺮ ﺍﳌﺪﻯ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﻘﻊ ﺩﺍﺧﻠﻪ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴـﺎﺭﻱ
ﻭﻫﻮ :
ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﳌﺪﻯ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﻘﻊ ﻓﻴﻪ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﺻﻐﲑ ﺩﻝ ﺫﻟﻚ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﺗﺸﺘﺖ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺻﻐﲑ،
ﺃﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﳌﺪﻯ ﻛﺒﲑ ﺩﻝ ﺫﻟﻚ ﻋﻠﻰ ﻭﺟﻮﺩ ﺗﺸﺘﺖ ﻛﺒﲑ ﰲ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ،ﻭﺇﺫﺍ ﻭﻗﻊ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﺧﺎﺭﺝ
ﺍﳌﺪﻯ ﺩﻝ ﺫﻟﻚ ﻋﻠﻰ ﻭﺟﻮﺩ ﻗﻴﻢ ﺷﺎﺫﺓ .
3/4/5ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻳﺔ
Standardized degree
ﺗﻘﻴﺲ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻳﺔ ﻟﻘﻴﻤﺔ ﻣﻌﻴﻨﺔ ﻋﺪﺩ ﻭﺣﺪﺍﺕ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﺍﻟﱵ ﺗﺰﻳﺪ ﺎ ﺗﻘﻞ ﺎ ﻫﺬﻩ
ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﻋﻦ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ،ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ، x1 , x2 ,..., xnﻫﻲ ﻗﻴﻢ ﺍﳌﺸﺎﻫﺪﺍﺕ ،ﻭﻋﺪﺩﻫﺎ ، nﻭﻛﺎﻥ x
ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﳍﺬﻩ ﺍﻟﻘﻴﻢ s ،ﻫﻮ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻳﺔ ﻟﻠﻘﻴﻤـﺔ ، xﻭﻳﺮﻣـﺰ ﳍـﺎ
ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ، zﲢﺴﺐ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﻫﻮ
ﻭﳝﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﰲ ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﻗﻴﻤﺘﲔ ﺃﻭ ﺃﻛﺜﺮ ﳐﺘﻠﻔﺔ ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﻭﺣﺪﺍﺕ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ .
ﻣﺜــﺎﻝ ) ( 3 -5
ﰲ ﺍﳌﺜﺎﻝ ) ( 2 -5ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﺇﺫﺍ ﰎ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﺃﺣﺪ ﺍﻷﻏﻨﺎﻡ ﻣﻦ ﺍﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﻭﱃ ﺑﻌﺪ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺍﻟﱪﻧـﺎﻣﺞ ،
ﻭﻭﺟﺪ ﺃﻥ ﻭﺯﻧﻪ 178ﻛﻴﻠﻮﺟﺮﺍﻡ ،ﻭﺑﺎﳌﺜﻞ ﺃﺣﺪ ﺍﻷﻏﻨﺎﻡ ﻣﻦ ﺍﻤﻮﻋـﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴـﺔ ،ﻭﻭﺟـﺪ ﺃﻥ ﻭﺯﻧـﻪ 180
ﻛﻴﻠﻮﺟﺮﺍﻡ ،ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ ﻫﺬﻳﻦ ﺍﻟﻘﻴﻤﺘﲔ ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﺃﳘﻴﺔ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﰲ ﺍﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﱵ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻴﻬﺎ .
ﺍﳊــﻞ
ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﳌﺘﺎﺣﺔ ﻋﻦ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻤﻮﻋﺘﲔ ﻫﻲ:
ﺍﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟ ﺜﺎﻧﻴﺔ
ﺍﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﻭﱃ
198
173
25
23
=x
=s
76
180
ﺍﻟﻘﻴﻤ ﺔ .
178
ﻟ ﻠﻤﻘﺎﺭﻧﺔ ﺑﲔ ﺍﻟﻮﺣﺪﺗﲔ ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﺃ ﳘﻴﺔ ﻭﺯﻥ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﰲ ﺍﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﱵ ﺗ ﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻴﻬﺎ ،ﻳـﺘﻢ ﺣـﺴﺎﺏ
ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻳﺔ ﻟﻮﺯﻥ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ،ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ) . ( 10 -5
• ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻳﺔ ﻟﻮﺯﻥ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﳌﺴﺤﻮﺑﺔ ﻣﻦ ﺍﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﻭﱃ ) ( 178 Kg.ﻫﻲ :
= 0 . 22
178 − 173
23
=
x− x
s
= z
• ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻳﺔ ﻟﻮﺯﻥ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﳌﺴﺤﻮﺑﺔ ﻣﻦ ﺍﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ) ( 180 Kg.ﻫﻲ :
= − 0 . 75
180 − 198
25
=
x− x
s
= z
• ﳒﺪ ﺃﻥ ﺍﻟﻮﺯﻥ 178ﻛﻴﻠﻮﺟﺮﺍﻡ ﻳﺰﻳﺪ ﻋﻦ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﺑـ 0.22ﺍﳓﺮﺍﻑ ﻣﻌﻴﺎﺭ ﻱ ،ﺑﻴﻨﻤﺎ ﳒﺪ ﺃﻥ
ﺍﻟﻮﺯﻥ 180ﻛﻴﻠﻮﺟﺮﺍﻡ ﻳﻘﻞ ﻋﻦ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﺑـ 0.75ﺍﳓﺮﺍﻑ ﻣﻌﻴﺎﺭﻱ .ﻭﻣﻦ ﰒ ﺍﻟﻮﺯﻥ ﺍﻷﻭﻝ
ﺃﳘﻴﺘﻪ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﺃﻋﻠﻰ ﻣﻦ ﺍﻟﻮﺯﻥ ﺍﻟﺜﺎﱐ .
4/4/5ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﳌﺸﺎﻫﺪﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ، x1 , x2 ,..., xn :ﻭﻛـﺎﻥ x
ﺍﳌﺸﺎﻫﺪﺍﺕ s ،ﻫﻮ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﳍﺎ ،ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻨﺤﲎ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﻫﺬﻩ ﺍﳌﺸﺎﻫﺪﺍﺕ ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ،ﺇﺫﺍ ﲢﻘﻖ ﺍﻵﰐ :
• 68%ﺗﻘﺮﻳﺒﺎ ﻣﻦ ﻗﻴﻢ ﻫﺬﻩ ﺍﳌﺸﺎﻫﺪﺍﺕ ﺗﺘﺮﺍﻭﺡ ﺑﲔ . x ± s
• 95%ﺗﻘﺮﻳﺒﺎ ﻣﻦ ﻗﻴﻢ ﻫﺬﻩ ﺍﳌﺸﺎﻫﺪﺍﺕ ﺗﺘﺮﺍﻭﺡ ﺑﲔ . x ± 2s
• 99%ﺗﻘﺮﻳﺒﺎ ﻣﻦ ﻗﻴﻢ ﻫﺬﻩ ﺍﳌﺸﺎﻫﺪﺍﺕ ﺗﺘﺮﺍﻭﺡ ﺑﲔ . x ± 3s
ﻫـﻮ ﺍﻟﻮﺳـﻂ ﺍﳊـﺴﺎﰊ ﳍـﺬﻩ
ﻭﳝﻜﻦ ﺑﻴﺎﻥ ﺫﻟﻚ ﻣﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﱄ :
ﺷﻜﻞ )(3 -5
ﺷﻜﻞ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﻃﺒﻘﺎ ﻟﻠﻘﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ
5/4/4ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﻨﻈﺮﻳﺔ
ﺗﺴﻤﻰ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﺑﻘﺎﻋﺪﺓ " ﺗﺸﻴﺒﺸﻴﻒ " ،ﻭﻓﻜﺮﺓ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ :ﰲ ﺃﻯ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻌﺎﺕ
ﺍﻟﻨﻈﺮﻳﺔ ،ﻓﺈﻧﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ (1 − 1 k 2 ) %ﻣﻦ ﻗﻴﻢ ﺍﳌﺸﺎﻫﺪﺍﺕ ﺗﻘﻊ ﰲ ﺍﳌﺪﻯ . k > 1 ، x ± ks
ﻭﻃﺒﻘﺎ ﳍﺬﻩ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ،ﻓﺈﻧﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ 75%ﻣﻦ ﻗﻴﻢ ﺍﳌﺸﺎﻫﺪﺍﺕ ﺗﻘﻊ ﰲ ﺍﳌﺪﻯ ، x ± 2sﻋﻠﻰ
ﺍﻷﻗﻞ 89%ﻣﻦ ﻗﻴﻢ ﺍﳌﺸﺎﻫﺪﺍﺕ ﺗﻘﻊ ﰲ ﺍﳌﺪﻯ . x ± 3s
77
6/4/5ﺷﻜﻞ "ﺑﻮﻛﺲ"
Box Plot
ﺷﻜﻞ " ﺑﻮﻛﺲ " ﺍﻟﺒﻴﺎﱐ ﻫﻮ ﺻﻨﺪﻭﻕ ﻳﺸﺒﻪ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ ،ﺑﺪﺍﻳﺔ ﺣﺎﻓﺘﻪ ﺍﻟﻴﺴﺮﻯ ﻫﻮ ﺍﻟﺮﺑ ﻴ ﻊ ﺍﻷﻭﻝ Q 1
ﻭﺎﻳﺔ ﺣﺎﻓﺘﻪ ﺍﻟﻴﻤﲎ ﻫﻮ ﺍﻟﺮﺑ ﻴ ﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ، Q 3ﻭﻳﻘﺴﻢ ﺍﻟﺮﺑﻴ ﻊ ﺍﻟﺜﺎﱐ ) ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ( Medﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ ﺇﱃ ﺟﺰﺃﻳﻦ،
ﻭﳜﺮﺝ ﻣﻦ ﻛﻞ ﺣﺎﻓﺔ ﻣﻦ ﺣﺎﻓﺘﻴﻪ ﺷﻌﲑﺓ ،ﻭﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﱄ ﻳﺒﲔ ﺭﲰﺔ " ﺑﻮﻛﺲ " ﺍﻟﺒﻴﺎﱐ:
ﺷﻜﻞ )(4 -5
ﺭﲰﺔ ﺑﻮﻛﺲ ﺍﻟﺒﻴﺎﱐ
ﻭ ﳝﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺷﻜﻞ " ﺑﻮﻛﺲ " ﺍﻟﺒﻴﺎﱐ ،ﺃﻋﻼﻩ ﰲ ﻭﺻﻒ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﺍﻵﰐ:
-1ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﺍﻟﺘﻤﺎﺛﻞ :ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ Medﻳﻘﻊ ﰲ ﺍﳌﻨﺘﺼﻒ ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﻣ ﻦ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻴﲔ Q 3 ,
Q 1ﻛﺎﻥ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﻣﺘﻤﺎﺛﻼ ،ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ Medﺃﻗﺮﺏ ﺇﱃ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ﺍﻷﻭﻝ Q 1ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ
ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ Q 3ﻛﺎﻥ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﻣﻮﺟﺐ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ ،ﻭﺃﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ Medﺃﻗﺮﺏ ﺇﱃ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
Q 3ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ﺍﻷﻭﻝ Q 1ﻛﺎﻥ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺳﺎﻟﺐ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ .ﻭﻳﻈﻬﺮ ﺫﺍﻟﻚ ﻛﻤﺎ ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﱄ :
ﺷﻜﻞ )(5 -5
ﻭﺻﻒ ﺷﻜﻞ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺭﲰﺔ ﺑﻮﻛﺲ ﺍﻟﺒﻴﺎﱐ
-2ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﺗﺮﻛﺰ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ :ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﺼﻨﺪﻭﻕ Boxﺿﻴﻖ ﺩﻝ ﺫﻟﻚ ﻋﻠﻰ ﺗﺮﻛﺰ ﻧﺴﺒﺔ ﻛﺒﲑﺓ ﻣﻦ
ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺣﻮﻝ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ،ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﺼﻨﺪﻭﻕ ﻭﺍﺳﻊ ﺩﻝ ﺫﻟﻚ ﻋﻠﻰ ﺍﳔﻔﺎﺽ ﻧﺴﺒﺔ ﺗﺮﻛﺰ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺣﻮﻝ
ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ،ﻭﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎ ﱄ ﻳﺒﲔ ﺫﻟﻚ.
ﺷﻜﻞ )(6 -5
ﻭﺻﻒ ﺩﺭﺟﺔ ﺗﺮﻛﺰ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺭﲰﺔ ﺑﻮﻛﺲ ﺍﻟﺒﻴﺎﱐ
-3ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﻭﺟﻮﺩ ﻗﻴﻢ ﺷﺎﺫﺓ :ﺇﺫﺍ ﻭﻗﻌﺖ ﻗﻴﻢ ﺑﻌﺾ ﺍﳌﺸﺎﻫﺪﺍﺕ ﺧﺎﺭﺝ ﺍﳊﺪﻳﻦ ﺍﻷﺩﱏ ﻭﺍﻷﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺫ ،
78
ﻛﺎﻧﺖ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺷﺎﺫﺓ ،ﻭﺗﻈﻬﺮ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﰲ ﺷﻜﻞ ﳒﻮﻡ )*( ،ﻭﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﱄ ﻳﺒﲔ
ﻃﺮﻳﻘﺔ ﻋﺮ ﺽ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﺸﺎﺫﺓ ﺍﻟﺪﻧﻴﺎ ﻭﺍﻟﻌﻠﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺮﺳﻢ .
ﺷﻜﻞ )(7 -5
ﲢﺪﻳﺪ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﺸﺎﺫﺓ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺭﲰﺔ ﺑﻮﻛﺲ ﺍﻟﺒﻴﺎﱐ
ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺣﺴﺎﺏ ﺣﺪﻱ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﺸﺎﺫﺓ
ﳊﺴﺎﺏ ﺍﳊﺪﻳﻦ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻭﺍﻷﺩﱏ ﻟﻠﻘﻴﻢ ﺍﻟﺸﺎﺫﺓ ،ﻳﺘﺒﻊ ﺍﳋﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:
• ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ:
Q = (Q 3 -Q1 )/2
•
ﺣﺴﺎﺏ ﺍ ﳊﺪ ﺍﻷﺩﱏ ﻟﻠﻘﻴﻢ ﺍﻟﺸﺎﺫﺓ ) ، (LowﻭﻫﻮLow = Q1 -3Q :
•
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳊﺪ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻟﻠﻘﻴﻢ ﺍﻟﺸﺎﺫﺓ ) ، (UppﻭﻫﻮUPP = Q 3+ 3Q :
ﻭﺇﺫﺍ ﻭﻗﻌﺖ ﻗﻴﻢ ﺧﺎﺭﺝ ﺍﳊﺪﻳﻦ ﺗﻌﺘﱪ ﻫﺬﻩ ﺍﻟ ﻘﻴﻢ ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟ ﺸﺎﺫﺓ.
ﻣﺜـــﺎﻝ)(4-5
ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﺍﻹﻧﻔﺎﻕ ﺍﻻﺳﺘﻬﻼﻛﻲ ﺑﺎﻷﻟﻒ ﺭﻳﺎﻝ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﺸﻬﺮ ﻟﻌﻴﻨﺔ ﺣﺠﻤﻬﺎ 12ﺃﺳﺮﺓ:
2
7
8
6
11
5
10
9
3
18
10
6
ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ:
-1ﺭﺳﻢ ﺷﻜﻞ " ﺑﻮﻛﺲ" ﺍﻟﺒﻴﺎﱐ
-2ﺍﻛﺘﺐ ﲢﻠﻴﻞ ﻭﺻﻔﻲ ﳍ ﺬﻩ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ.
ﺍﳊــــﻞ
-1ﺭﺳﻢ ﺷﻜﻞ " ﺑﻮﻛﺲ ﺍﻟﺒﻴﺎﱐ "
• ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺗﺼﺎﻋﺪﻳﺎ .
18
11
10
10
9
8
7
6
6
• ﲢﺪﻳﺪ ﺃﻗﻞ ﻭﺃﻋﻠﻰ ﺇﻧﻔﺎﻕ ﺍﺳﺘﻬﻼﻛﻲ ،ﻭﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻴﺎﺕ:
Max = 18
Min = 2
ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ﺍﻷﺩﱏ : Q 1
ﻣﻮﻗﻊ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ (n+ 1)(1/4)= (13/4)= 3.25
ﺇﺫﺍ ﻗﻴﻤﺔ Q1ﻫﻲQ1 = 5 + 0.25(6 − 5) = 5.25 :
ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ : Med
5
3
2
79
ﻣﻮﻗﻊ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ (n+ 1)(1/2)= (13/2)= 6.5
ﺇﺫﺍ ﻗﻴﻤﺔ Medﻫﻲ Med = 7 + 0.5(8 − 7) = 7.5 :
ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ﺍﻷﻋﻠﻰ : Q 3
ﻣﻮﻗﻊ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ (n+1)(3/4)=(13)(3/4)=9.75
ﺇﺫﺍ ﻗﻴﻤﺔ Q3ﻫﻲQ3 = 10 + 0.75(10 − 10) = 10 :
• ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳊﺪﻳﻦ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻭﺍﻷﺩﱏ ﺍﻟﺸﺎﺫ .
ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﻟﺮﺑﻴﻌﻲ Q = (10 − 5.25) / 2 = 2.375 :
ﺍﳊﺪ ﺍﻷﺩﱏ ﻟﻠﻘﻴﻢ ﺍﻟﺸﺎﺫﺓ:
Low = Q1 − 3Q = 5.25 − 3(2.375) = −1.875
ﺍﳊﺪ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻟﻠﻘﻴﻢ ﺍﻟﺸﺎﺫﺓ :
Upp = Q3 + 3Q = 10 + 3(2.375) = 17.125
• ﺭﺳﻢ ﺷﻜﻞ " ﺑﻮﻛ ﺲ"
-2ﲢﻠﻴﻞ ﻭﺻﻔﻲ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃﻋﻼﻩ:
• ﺩﺭﺟﺔ ﺍﻟﺘﻤﺎﺛﻞ :ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﻗﺮﻳﺐ ﺟﺪﺍ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﻟﻮﻗﻮﻉ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﰲ ﺍﳌﻨﺘﺼﻒ .
• ﺗﺮﻛﺰ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ :ﺣﻮﺍﱄ 60%ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺗﺘﺮﻛﺰ ﺣﻮﻝ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ.
• ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﺸﺎﺫﺓ :ﺗﻮﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺷﺎﺫﺓ ﻋﻠﻴﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ .18
ﻭﳝﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺷﻜﻞ " ﺑﻮﻛﺲ " ﺍﻟﺒﻴﺎﱐ ﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ﳎﻤﻮﻋﺘ ﲔ ﺃﻭ ﺃﻛﺜﺮ .
80
ﺍﻟﻔﺼــــﻞ ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ
ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ ﻭﺍﻻﳓﺪﺍﺭ ﺍﳋﻄﻲ ﺍﻟﺒﺴﻴﻂ
1/6ﻣﻘـــﺪﻣﺔ
ﰲ ﺍﻟﻔﺼ ﻮﻝ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﰎ ﻋﺮﺽ ﺑﻌﺾ ﺍﳌﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﻟﻮﺻﻔﻴﺔ ،ﻣﺜﻞ ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﻟﱰﻋﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ،
ﻭﺍﻟﺘﺸﺘﺖ ،ﻭﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ ﻭﺍﻟﺘﻔﺮﻃﺢ ،ﻭﻏﲑﻫﺎ ﻣﻦ ﺍﳌﻘﺎﻳﻴﺲ ﺍﻷﺧﺮﻯ ﻭﺍﻟﱵ ﳝﻜﻦ ﻣﻦ ﺧﻼﳍﺎ ﻭﺻﻒ ﺷﻜﻞ
ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﱵ ﰎ ﲨﻌﻬﺎ ﻋﻦ ﻣﺘﻐﲑ ﻭﺍﺣﺪ ،ﻭﻧﻨﺘﻘﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ ﻣﺘﻐﲑ ﻭﺍﺣﺪ ﺇﱃ ﺍﻟﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ ﻣﺘﻐﲑﻳﻦ
ﺃﻭ ﺃﻛﺜﺮ ،ﻭﻳﺘﻨﺎﻭﻝ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﻭﲢﻠﻴﻞ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﲔ ﻣﺘﻐﲑﻳﻦ ،ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺑﻌﺾ ﻃﺮﻕ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻞ
ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻲ ﻣﺜﻞ ﲢﻠﻴﻞ ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ ،ﻭﺍﻻﳓﺪﺍﺭ ﺍﳋﻄﻲ ﺍﻟﺒﺴﻴﻂ ،ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻫﺘﻤﺎﻡ ﺍﻟﺒﺎﺣﺚ ﻫﻮ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﲔ
ﻣﺘﻐﲑﻳﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﻟﺬﻟﻚ ﺃﺳﻠﻮﺏ ﲢﻠﻴﻞ ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ ،ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻫﺘﻤﺎﻣﻪ ﺑﺪﺭﺍﺳﺔ ﺃﺛﺮ ﺃﺣﺪ ﺍﳌﺘﻐﲑﻳﻦ ﻋﻠﻰ ﺍﻵﺧﺮ
ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﻟﺬﻟﻚ ﺃﺳﻠﻮﺏ ﲢﻠﻴﻞ ﺍﻻﳓﺪﺍﺭ ،ﻭﻣﻦ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ:
-1ﺍﻹﻧﻔﺎﻕ ،ﻭﺍﻟﺪﺧﻞ ﺍﻟﻌﺎﺋﻠﻲ.
-2ﺳﻌﺮ ﺍﻟﺴﻠﻌﺔ ،ﻭﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﳌﻄﻠﻮﺑﺔ ﻣﻨﻬﺎ.
-3ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﺍﻟﺰﻣﻨﻴﺔ ﻟﺘﺨﺰﻳﻦ ﺍﳋﺒﺰ ،ﻭﻋﻤﻖ ﻃﺮﺍﻭﺓ ﺍﳋﺒﺰ.
-4ﺗﻘﺪﻳﺮﺍﺕ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﰲ ﻣﻘﺮﺭ ﺍﻹﺣﺼﺎﺀ ،ﻭﺗﻘﺪﻳﺮﺍﻢ ﰲ ﻣﻘﺮﺭ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ.
-5ﻛﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﺴﻤﺎﺩ ﺍﳌﺴﺘﺨﺪﻣﺔ ،ﻭﻛﻤﻴﺔ ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ ﻣﻦ ﳏﺼﻮﻝ ﻣﻌﲔ ﰎ ﺗﺴﻤﻴﺪﻩ ﺬﺍ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﻣﻦ ﺍﻟﺴﻤﺎﺩ.
-6ﻋﺪﺩ ﻣﺮﺍﺕ ﳑﺎﺭﺳﺔ ﻧﻮﻉ ﻣﻌﲔ ﻣﻦ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﺔ ﺍﻟﺒﺪﻧﻴﺔ ،ﻭﻣﺴﺘﻮﻯ ﺍﻟﻜﻠﺴﺘﺮﻭﻝ ﰲ ﺍﻟﺪﻡ.
-7ﻭﺯﻥ ﺍﳉﺴﻢ ،ﻭﺿﻐﻂ ﺍﻟﺪﻡ.
ﻭﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ﰲ ﺍﺎﻝ ﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻘﻲ ﻛﺜﲑﺓ ،ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﳌﺘﻐﲑﻳﻦ )( y , x
،ﻭﰎ ﲨﻊ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ
ﻋﻦ ﺃﺯﻭﺍﺝ ﻗﻴﻢ ﻫﺬﻳﻦ ﺍﳌﺘﻐﲑﻳﻦ ،ﻭﰎ ﲤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ ﻓﻴﻤﺎ ﻳﺴﻤﻰ ﺑﺸﻜﻞ ﺍﻻﻧﺘﺸﺎﺭ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻨﻬﺎ ﺗﺄﺧﺬ
ﺃﺷﻜﺎﻻ ﳐﺘﻠﻔﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻮ ﺍﻟﺘﺎﱄ :
ﺷﻜﻞ )(1 -6
ﺷﻜﻞ ﺍﻻﻧﺘﺸﺎﺭ ﻟﺒﻴﺎﻥ ﻧﻮﻉ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﲔ y , x
2/6ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ ﺍﳋﻄﻰ ﺍﻟﺒﺴﻴﻂ
Simple Correlation
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻐﺮﺽ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻞ ﻫﻮ ﲢﺪﻳﺪ ﻧﻮﻉ ﻭﻗﻮﺓ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﲔ ﻣﺘﻐﲑﻳﻦ ،ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﲢﻠﻴﻞ ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ
،ﻭﺃﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻐﺮﺽ ﻫﻮ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﻭﲢﻠﻴﻞ ﺃﺛﺮ ﺃﺣﺪ ﺍﳌﺘﻐﲑﻳﻦ ﻋﻠﻰ ﺍﻵﺧﺮ ،ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﲢﻠﻴﻞ ﺍﻻﳓﺪﺍﺭ ،ﻭﰲ
81
ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻔﺼﻞ ﻳﺘﻢ ﻋﺮﺽ ﺃﺳﻠﻮﺏ ﲢﻠﻴﻞ ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ ﺍﳋﻄﻲ ﺍﻟﺒﺴﻴﻂ ،ﺃﻱ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻓﺘﺮﺍﺽ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﲔ
ﺍﳌﺘﻐﲑﻳﻦ ﺗﺄﺧﺬ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﳋﻄﻲ ،ﻭﺳﻮﻑ ﳚﺮﻯ ﺣﺴﺎﺑﻪ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ،ﻭﺍﻟﺒﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﻟﻮﺻﻔﻴﺔ
ﺍﳌﻘﺎﺳﺔ ﲟﻌﻴﺎﺭ ﺗﺮﺗﻴﱯ .
1/2/6ﺍﻟﻐﺮﺽ ﻣﻦ ﲢﻠﻴﻞ ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ ﺍﳋﻄﻰ ﺍﻟﺒﺴﻴﻂ
ﺍﻟﻐﺮﺽ ﻣﻦ ﲢﻠﻴﻞ ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ ﺍﳋﻄﻲ ﺍﻟﺒﺴﻴﻂ ﻫﻮ ﲢﺪﻳﺪ ﻧﻮﻉ ﻭﻗﻮﺓ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﲔ ﻣﺘﻐﲑﻳﻦ ،ﻭﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﰲ
ﺣﺎﻟﺔ ﺍﺘﻤﻊ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) ρﺭﻭ ( ،ﻭﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ، rﻭﺣﻴﺚ ﺃﻧﻨﺎ ﰲ ﻛﺜﲑ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﺍﺣﻲ ﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻘﻴﺔ
ﻧﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﺴﺤﻮﺑﺔ ﻣﻦ ﺍﺘﻤﻊ ،ﺳﻮﻑ ﺘﻢ ﲝﺴﺎﺏ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ ﰲ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ rﻛﺘﻘﺪﻳﺮ
ﳌﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ ﰲ ﺍﺘﻤﻊ ،ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺘ ﺤﺪﻳﺪ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﻠﻐﺮﺽ ﻣﻦ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ ،ﳒﺪ ﺃﻧﻪ ﻳﺮﻛﺰ ﻋﻠﻰ ﻧﻘﻄﺘﲔ
ﳘﺎ:
•
ﻧﻮﻉ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ:ـ
ﻭﺗﺄﺧﺬ ﺛﻼﺙ ﺃﻧﻮﺍﻉ ﺣﺴﺐ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ:
-1ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ ﺳﺎﻟﺒﺔ ) (r < 0ﺗﻮﺟﺪ ﻋﻼﻗﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ ﺑﲔ ﺍﳌﺘﻐﲑﻳﻦ ،ﲟﻌﲎ ﺃﻥ
ﺯﻳﺎﺩﺓ ﺃﺣﺪ ﺍﳌﺘﻐﲑﻳﻦ ﻳﺼﺎﺣﺒﻪ ﺍﳔﻔﺎﺽ ﰲ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﺜﺎﱐ ،ﻭﺍﻟﻌﻜﺲ.
-2ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ ﻣﻮﺟﺒﺔ ) (r > 0ﺗﻮﺟﺪ ﻋﻼﻗﺔ ﻃﺮﺩﻳﺔ ﺑﲔ ﺍﳌﺘﻐﲑﻳﻦ ،ﲟﻌﲎ ﺃﻥ
ﺯﻳﺎﺩﺓ ﺃﺣﺪ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﻳﻦ ﻳ ﺼﺎﺣﺒﻪ ﺯﻳﺎﺩﺓ ﰲ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﺜﺎﱐ ،ﻭﺍﻟﻌﻜﺲ .
-3ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﺻﻔﺮﺍ ) ( r = 0ﺩﻝ ﺫﻟﻚ ﻋﻠﻰ ﺍﻧﻌﺪﺍﻡ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﲔ ﺍﳌﺘﻐﲑﻳﻦ .
• ﻗﻮﺓ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ:ـ
ﻭﳝﻜﻦ ﺍﳊﻜﻢ ﻋﻠﻰ ﻗﻮﺓ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﺩﺭﺟﺔ ﻗﺮﺎ ﺃﻭ ﺑﻌﺪﻫﺎ ﻋﻦ ) ، (±1ﺣﻴﺚ
ﺃﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ ﺗﻘﻊ ﰲ ﺍﳌﺪﻯ) ، ( -1 < r < 1ﻭﻗﺪ ﺻﻨﻒ ﺑﻌﺾ ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻴﲔ ﺩﺭﺟﺎﺕ
ﻟﻘﻮﺓ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﳝﻜﻦ ﲤﺜﻴﻠﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﱄ :
ﺷﻜﻞ )(2 -6
ﺩﺭﺟﺎﺕ ﻗﻮﺓ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ
2/2/6ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ ﺍﳋﻄﻰ ﺍﻟﺒﺴﻴﻂ " ﻟﺒﲑﺳﻮﻥ"
ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﲨﻊ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻋﻦ ﻣﺘﻐﲑﻳﻦ ﻛﻤﻴﲔ )x
Pearson
، ( y ,ﳝﻜﻦ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ،ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ
ﻃﺮﻳﻘﺔ "ﺑﲑﺳﻮﻥ " ، Pearsonﻭﻣﻦ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ :ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﲔ ﺍﻟﻮﺯﻥ ﻭﺍﻟﻄﻮﻝ ،ﻭ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﲔ
ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ ﻭﺍﻟﺘﻜﻠﻔﺔ ،ﻭ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﲔ ﺍﻹﻧﻔﺎﻕ ﺍﻻﺳﺘﻬﻼﻛﻲ ﻭﺍﻟﺪﺧﻞ ،ﻭ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﱵ ﺣﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﺎ
ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻭﻋﺪﺩ ﺳﺎﻋﺎﺕ ﺍﻻﺳﺘﺬﻛﺎﺭ ،ﻭﻫ ﻜﺬﺍ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ﻛﺜﲑﺓ .
82
ﻭﳊﺴﺎﺏ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ ﰲ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ،ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﺻﻴﻐﺔ " ﺑﲑﺳﻮﻥ " ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﺣﻴﺚ ﺃﻥ :
) : S xy = ∑ ( x − x)( y − y) (n − 1ﻫﻮ ﺍﻟﺘﻐﺎﻳﺮ ﺑﲔ )x
)(n − 1
2
)(n − 1
2
)∑ ( x − x
)∑ ( y − y
,
،(y
= : S xﻫﻮ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻘﻴﻢ )، (x
= : S yﻫﻮ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻘﻴﻢ ). ( y
ﻭﳝﻜﻦ ﺍﺧﺘﺼﺎﺭ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻮ ﺍﻟﺘﺎﱄ :
ﻣﺜــﺎﻝ )(1-6
ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﱰﺭﻋﺔ ﺑ ﺎﻷﻋﻼﻑ ﺍﳋﻀﺮﺍﺀ ﺑﺎﻷﻟﻒ ﻫﻜﺘﺎﺭ ،ﻭﺇﲨﺎﱄ ﺇﻧﺘﺎﺝ ﺍﻟﻠﺤﻮﻡ ﺑﺎﻷﻟﻒ ﻃﻦ،
ﺧﻼﻝ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﻣﻦ 1995ﺣﱴ ﻋﺎﻡ . 2002
2002
2001
2000
1999
1998
1997
1996
1995
ﺍﻟﺴﻨﺔ
217
240
214
233
289
297
313
305
ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ
747
719
699
635
607
662
603
592
ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ
ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ :ﺣﺴﺎﺏ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ ﺑﲔ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﻭﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ،ﻭﻣﺎ ﻫﻮ ﻣﺪﻟﻮﻟﻪ ؟
ﺍﳊــﻞ
ﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ ) (xﻫﻲ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﱰﺭﻋﺔ ( y) ،ﻫﻲ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ،ﻭﳊﺴﺎﺏ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ
ﺑﲔ )x
•
,
( yﻳﺘﻢ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ) ، ( 2 -6ﻭﺫﻟﻚ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻮ ﺍﻟﺘﺎﱄ:
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ،ﻭﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ), x
.(y
x
y
x = ∑ = 2108 = 263.5 , y = ∑ = 5264 = 658
n
8
n
8
• ﺣﺴﺎﺏ ﺍ ﺎﻣﻴﻊ
83
)y − y ( y − y) 2 ( x − x)( y − y
x − x ( x − x) 2
-66
-55
4
-51
-23
41
61
89
0
41.5
49.5
33.5
25.5
-30.5
-49.5
-23.5
-46.5
0
-2739
-2722.5
134
-1300.5
701.5
-2029.5
-1433.5
-4138.5
-13528
,
4356
3025
16
2601
529
1681
3721
7921
23850
1722.25
2450.25
1122.25
650.25
930.25
2450.25
552.25
2162.25
12040
y
x
592
603
662
607
635
699
719
747
5264
305
313
297
289
233
214
240
217
2108
∑ ( x − x) 2 = 12040 , ∑ ( y − y) 2 = 23850
∑ ( x − x)( y − y) = −13528
ﺇﺫﺍ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﻫﻲ:
− 13528
)∑ ( x − x)( y − y
=
12040 23850
∑ ( x − x) 2 ∑ ( y − y) 2
− 13528
− 13528
=
= −0.798
(109.727)(154.434) 16945.619
=r
=
• ﻳﻮﺟﺪ ﺍﺭﺗﺒﺎﻁ ﻋﻜﺴﻲ ﻗﻮﻱ ﺑﲔ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﱰﺭﻋﺔ ،ﻭﻛﻤﻴﺔ ﺇﻧﺘﺎﺝ ﺍﻟﻠﺤﻮﻡ.
ﺗﺒﺴﻴﻂ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﳊﺴﺎﺑﻴﺔ:
ﰲ ﺑﻌﺾ ﺍﻷﺣﻴﺎﻥ ،ﻳﻜﻮﻥ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺻﻴﻐﺔ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ) ( 2 -6ﰲ ﻏﺎﻳﺔ ﺍﻟﺼﻌﻮﺑﺔ ،ﺧﺎﺻﺔ ﺇﺫﺍ ﻻﺯﻡ
ﺍ ﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﳊ ﺴﺎﺑﻴﺔ ﻗﻴﻤﺎ ﻛﺴﺮﻳﺔ ،ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﺫﻟﻚ ﳝﻜﻦ ﺗﺒﺴﻴﻂ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ) ( 2 -6ﺇﱃ ﺻﻴﻐﺔ ﺃﺳﻬﻞ ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ
ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﻭﻟﻴﺲ ﻋﻠﻰ ﺍﳓﺮﺍﻓﺎﺕ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﻋﻦ ﻭﺳﻄﻬﺎ ﺍﳊﺴﺎﰊ ،ﻭﻫﺬﻩ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﻫﻲ:
ﻭﺑﺎﻟﺘﻄﺒﻴﻖ ﻋﻠﻰ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﳌﺜﺎﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ،ﻳﺘﺒﻊ ﺍﻵﰐ :
• ﺣﺴﺎﺏ ﺍﺎﻣﻴﻊ:
ﺍﺎﻣﻴﻊ ﺍﳌﻄﻠﻮﺑﺔ
∑ x = 2108 , ∑ y = 5264
∑ xy = 1373536
y2
350464
363609
438244
x2
93025
97969
88209
xy
180560
188739
196614
y
x
592
603
662
305
313
297
84
368449
403225
488601
516961
558009
3487562
∑ x2 = 567498
∑ y2 = 3487562
83521
54289
45796
57600
47089
567498
175423
147955
149586
172560
162099
1373536
607
635
699
719
747
5264
289
233
214
240
217
2108
• ﺣﺴﺎﺏ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ :
ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﺎﻣﻴﻊ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ،ﻭﺑﺎﻟﺘﻄﺒﻴﻖ ﻋﻠﻰ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ) ( 3 -6ﺃﻋﻼﻩ ،ﳒﺪ ﺃﻥ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ ﻗﻴﻤﺘﻪ
ﻫﻲ:
∑x ∑y
n
∑ xy −
(∑ x) 2
(∑ y) 2
2
y −
−
∑ n
n
)(2108)(5264
8
x2
∑
1373536 −
2
2
) 567498 − ( 2108) 3487562 − (5264
8
8
− 13528
− 13528
=
= −0.798
(12040)(23850) 16945.619
=r
=
=
ﻭﻫﻲ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ:
3/2/6ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﺭﺗﺒﺎﻁ ﺍﻟﺮﺗﺐ )ﺍﺳﺒﲑﻣﺎﻥ(
Spearman
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻈﺎﻫﺮﺓ ﳏﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﺔ ﲢﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ ﻣﺘﻐﲑﻳﻦ ﻭﺻﻔﻴﲔ ﺗﺮﺗﻴﺒﲔ ،ﻭﻣﺜﺎﻝ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ﻗﻴﺎﺱ
ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﲔ ﺗﻘﺪﻳﺮﺍﺕ ﺍﻟﻄﻠﺒﺔ ﰲ ﻣﺎﺩﺗﲔ ،ﺃﻭ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﲔ ﺩﺭﺟﺔ ﺗﻔﻀﻴﻞ ﺍﳌﺴﺘﻬﻠﻚ ﻟﺴﻠﻌﺔ ﻣﻌﻴﻨﺔ ،ﻭﻣﺴﺘﻮﻯ
ﺍﻟﺪﺧﻞ ،ﻓﺈﻧﻪ ﳝﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻃﺮﻳﻘﺔ "ﺑﲑﺳﻮﻥ" ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﰲ ﺣﺴﺎﺏ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﺭﺗﺒﺎﻁ ﻳﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﺭﺗﺐ
ﻣﺴﺘﻮﻳﺎﺕ ﺍﳌﺘﻐﲑﻳﻦ ﻛﺒﺪﻳﻞ ﻟﻠﻘﻴﻢ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ ،ﻭﻳﻄﻠﻖ ﻋﻠﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﳌﻌﺎﻣﻞ " ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﺭﺗﺒﺎﻁ ﺍﺳﺒﲑﻣﺎﻥ "
، Spearmanﻭﻳﻌﱪ ﻋﻨﻪ ﺑﺎﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﻫﻲ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﲔ ﺭﺗﺐ ﻣﺴﺘﻮﻳﺎﺕ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻷﻭﻝ ، xﻭﺭﺗﺐ ﻣﺴﺘﻮﻳﺎﺕ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﺜﺎﱐ ، y
ﺣﻴﺚ ﺃﻥ d
ﺃ ﻱ ﺃﻥ . d = Rx − Ry :
ﻣﺜـــﺎﻝ ) ( 2 -6
ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﺗﻘﺪﻳﺮﺍﺕ 10ﻃﻼﺏ ﰲ ﻣﺎﺩﰐ ﺍﻹﺣﺼﺎﺀ ،ﻭﺍﻻﻗﺘﺼﺎﺩ :
85
ﺏ
+
ﺏ
+
ﺏ
ﺃ
ﺟـ
ﺏ
ﺏ
ﺏ
+
+
ﺟـ
+
ﺏ
ﺏ
+
ﺃ
ﺩ
+
ﺟـ
ﺩ
ﺟـ
ﺟـ
ﺩ
+
ﺃ
ﺃ
+
ﺗﻘﺪﻳﺮﺍﺕ ﺇﺣﺼﺎﺀ
ﺗﻘﺪﻳﺮﺍﺕ ﺍﻗﺘﺼﺎﺩ
ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ :
-1ﺍﺣﺴﺐ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ ﺑﲔ ﺗﻘﺪﻳﺮﺍﺕ ﺍﻟﻄﻠﺒﺔ ﰲ ﺍﳌﻘﺮﺭﻳﻦ .
-2ﻭﻣﺎ ﻫﻮ ﻣﺪﻟﻮﻟﻪ ؟
ﺍﳊـــﻞ
-1ﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ xﻫﻲ ﺗﻘﺪﻳﺮﺍﺕ ﺍﻹﺣﺼﺎﺀy ،
ﻫﻲ ﺗﻘﺪﻳﺮﺍﺕ ﺍﻻﻗﺘﺼﺎﺩ ،ﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎﺏ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺭﺗﺒـﺎﻁ
ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ) ، ( 4 -6ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺈﺗﺒﺎﻉ ﺍﻵﰐ :
•
2
ﺇﺫﺍ ﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻤﻮﻉ∑ d :
ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
∑ d 2 = 44.5
• ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ ﻫﻮ:
d2
d
ﺭﺗﺐ y
ﺭﺗﺐ x
1
1
2.5
2
1
2
2.5
-2
1
-4
-1
1
2
ﺃ
10
7.5
ﺩ
ﺟـ
8
8
2
5
3
5
8
5
10
9
4
7.5
1
6
4
4
ﺟـ
ﺩ
ﺟـ
ﺩ
ﺃ
ﺏ
ﺏ
ﺟـ
6.25
6∑ d 2
)n(n 2 −1
r = 1−
)6(44.5
267
= 1−
2
990
)10(10 − 1
= 1 − 0.2697 = 0.7303
= 1−
4
1
1
6.25
4
1
16
1
44.5
y
x
+
ﺃ
ﺏ
+
ﺃ
+
+
+
+
+
ﺏ
ﺏ
ﺟـ
ﺏ
ﺏ
ﺏ
+
+
-2ﻣﺪﻟﻮﻝ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ :
ﲟﺎ ﺃﻥ r = 0.703
،ﻭﻳﺪﻝ ﺫﻟﻚ ﻋﻠﻰ ﻭﺟﻮﺩ ﺍﺭﺗﺒﺎﻁ ﻃﺮﺩﻱ ﻗﻮﻱ ﺑﲔ ﺗﻘﺪﻳﺮﺍﺕ ﺍ ﻟﻄﺎﻟـﺐ ﰲ
ﻣﺎﺩﺓ ﺍﻹﺣﺼﺎﺀ ،ﻭﻣﺎﺩﺓ ﺍﻻﻗﺘﺼﺎﺩ .
ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ -:ﳝﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺻﻴﻐﺔ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﺭﺗﺒﺎﻁ " ﺍﺳﺒﲑﻣﺎﻥ " ﰲ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻻﺭﺗﺒﺎﻁ ﺑﲔ ﻣﺘﻐﲑﻳﻦ ﻛﻤـﻴﲔ،
ﺣﻴﺚ ﻳﺘﻢ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺭﺗﺐ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﱵ ﻳﺄﺧﺬﻫﺎ ﺍﳌﺘﻐﲑ ،ﻭﻧﺘﺮﻙ ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ ﺍﻟﻘﻴﺎﻡ ﲝﺴﺎﺏ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﺭﺗﺒﺎﻁ ﺍﻟﺮﺗـﺐ
ﺑﲔ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﻭﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﰲ ﻣﺜﺎﻝ ) ( 1 -5ﺍﻟ ﺴﺎﺑﻖ ،ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺃﻥ ﻳﻘﻮﻡ ﺑﺘﻔﺴﲑ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ) :ﻣﻌﺎﻭﻧﺔ = 148 :
2
∑d
86
(
3/6ﺍﻻﳓﺪﺍﺭ ﺍﳋﻄﻰ ﺍﻟﺒﺴﻴﻂ
Simple Regression
ﺇﻥ ﺍﻟﻐﺮﺽ ﻣﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺃﺳﻠﻮﺏ ﲢﻠﻴﻞ ﺍﻻﳓﺪﺍﺭ ﺍﳋﻄﻲ ﺍﻟﺒﺴﻴﻂ ،ﻫﻮ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﻭﲢﻠﻴﻞ ﺃﺛﺮ ﻣـﺘﻐﲑ
ﻛﻤﻲ ﻋﻠﻰ ﻣﺘﻐﲑ ﻛﻤﻲ ﺁﺧﺮ ،ﻭﻣﻦ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ :
• ﺩﺭ ﺍﺳﺔ ﺃﺛﺮ ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻟﺴﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺇﻧﺘﺎﺟﻴﺔ ﺍﻟﺪﻭﱎ .
• ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺃﺛﺮ ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻜﻠﻔﺔ .
• ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺃﺛﺮ ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻟﱪﻭﺗﲔ ﺍﻟﱵ ﻳﺘﻨﺎﻭﳍﺎ ﺍﻷﺑﻘﺎﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ ﰲ ﺍﻟﻮﺯﻥ .
• ﺃﺛﺮ ﺍﻟﺪﺧﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻹﻧﻔﺎﻕ ﺍﻻﺳﺘﻬﻼﻛﻲ .
ﻭﻫﻜﺬﺍ ﻫﻨﺎﻙ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﰲ ﻛﺜﲑ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﺍﺣﻲ ﺍﻻﻗﺘﺼﺎﺩﻳﺔ ،ﻭﺍﻟﺰﺭﺍﻋﻴﺔ ،ﻭﺍﻟﺘﺠﺎﺭﻳﺔ ،ﻭﺍﻟﻌﻠﻮﻡ ﺍﻟـﺴﻠ ﻮﻛﻴﺔ،
ﻭﻏﲑﻫﺎ ﻣﻦ ﺍﺎﻻﺕ ﺍﻷﺧﺮﻯ .
1/3/6ﳕﻮﺫﺝ ﺍﻻﳓﺪﺍﺭ ﺍﳋﻄﻲ
ﰲ ﲢﻠﻴﻞ ﺍﻻﳓﺪﺍﺭ ﺍﻟﺒﺴﻴﻂ ،ﳒﺪ ﺃﻥ ﺍﻟﺒﺎﺣﺚ ﻳﻬﺘﻢ ﺑﺪﺭﺍﺳﺔ ﺃﺛﺮ ﺃﺣﺪ ﺍﳌﺘﻐﲑﻳﻦ ﻭﻳﺴﻤﻰ ﺑﺎﳌﺘﻐﲑ
ﺍﳌﺴﺘﻘﻞ ﺃﻭ ﺍﳌﺘﻨﺒﺄ ﻣﻨﻪ ،ﻋﻠﻰ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﻭﻳﺴﻤﻰ ﺑﺎﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﺘﺎﺑﻊ ﺃﻭ ﺍﳌﺘﻨﺒﺄ ﺑﻪ ،ﻭﻣﻦ ﰒ ﳝﻜﻦ ﻋﺮﺽ ﳕﻮﺫﺝ
ﺍﻻﳓﺪ ﺍﺭ ﺍﳋﻄﻲ ﰲ ﺷﻜﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺧﻄﻴﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﱃ ،ﺗﻌﻜﺲ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﺘﺎﺑﻊ ﻛﺪﺍﻟﺔ ﰲ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﳌﺴﺘﻘﻞ
ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ:
ﺣﻴﺚ ﺃﻥ :
: yﻫﻮ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﺘﺎﺑﻊ ) ﺍﻟﺬﻱ ﻳﺘﺄﺛﺮ(
: xﻫﻮ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﳌﺴﺘﻘﻞ ) ﺍﻟﺬﻱ ﻳﺆﺛﺮ (
: β 0ﻫﻮ ﺍﳉﺰﺀ ﺍﳌﻘﻄﻮﻉ ﻣﻦ ﺍﶈﻮﺭ ﺍﻟﺮﺃﺳﻲ ، yﻭﻫﻮ ﻳﻌﻜﺲ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﺘﺎﺑﻊ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻧﻌﺪﺍﻡ ﻗﻴﻤﺔ
ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﳌﺴﺘﻘﻞ ، xﺃ ﻱ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ x = 0
ﺑﻮﺣﺪﺓ ﻭﺍﺣﺪﺓ.
: β1ﻣﻴﻞ ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ) ، (β 0 + β1 xﻭﻳﻌﻜﺲ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﺘﻐﲑ ﰲ yﺇﺫﺍ ﺗﻐﲑﺕ x
: eﻫﻮ ﺍﳋﻄﺄ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ ،ﻭﺍﻟﺬﻱ ﻳﻌﱪ ﻋﻦ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﲔ ﺍﻟﻘﻴﻤـﺔ ﺍﻟﻔﻌﻠﻴـﺔ ، yﻭﺍﻟﻘﻴﻤـﺔ ﺍﳌﻘـﺪﺭﺓ
ˆ = β 0 + β1 x
، yﺃ ﻱ ﺃﻥ ، e = y − (β 0 + β1 x) :ﻭﳝﻜﻦ ﺗﻮﺿﻴﺢ ﻫﺬﺍ ﺍﳋﻄﺄ ﻋﻠـﻰ
ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﱄ ﻟﻨﻘﻂ ﺍﻻﻧﺘﺸﺎﺭ .
87
2/3/6ﺗﻘﺪﻳﺮ ﳕﻮﺫﺝ ﺍﻻﳓﺪﺍﺭ ﺍﳋﻄﻲ ﺍﻟﺒﺴﻴﻂ
ﳝﻜﻦ ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﺍﻻﳓﺪﺍﺭ ) ( β1 , β 0ﰲ ﺍﻟﻨﻤﻮﺫﺝ ) ( 5 -6ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﳌﺮﺑﻌـﺎﺕ
ﺍﻟــﺼﻐﺮﻯ ،ﻭﻫــﺬﺍ ﺍﻟﺘﻘــﺪﻳﺮ ﻫــﻮ ﺍﻟــﺬﻱ ﳚﻌــﻞ ﳎﻤــﻮﻉ ﻣﺮﺑﻌــﺎﺕ ﺍﻷﺧﻄــ ﺎﺀ ﺍﻟﻌــﺸﻮﺍﺋﻴﺔ
2
2
))∑ e = ∑ ( y − (β 0 + β1 x
ﺃﻗﻞ ﻣﺎ ﳝﻜﻦ ،ﻭ ﳛﺴﺐ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘﻘﺪﻳﺮ ﺑﺎﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﺣﻴﺚ ﺃﻥ xﻫﻮ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻘﻴﻢ y ، x
ﺍﳌﻘ ﺪﺭﺓ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ ﺍﻟﺘﺎﺑﻊ ﻫﻮ ، yˆ = βˆ0 + βˆ1 x :ﻭﻳﻄﻠﻖ ﻋﻠﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘﻘﺪﻳﺮ " ﺗﻘـﺪﻳﺮ ﻣﻌﺎﺩﻟـﺔ ﺍﳓـﺪﺍﺭ y
ﻋﻠﻰ . x
ﻫﻮ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻘﻴﻢ ، yﻭ ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤـﺔ
ﻣﺜـﺎﻝ ) ( 3 -6
ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﻋﻦ ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻟﱪﻭﺗﲔ ﺍﻟﻴﻮﻣﻲ ﺑﺎﳉﺮﺍﻡ ﺍﻟﱵ ﳛﺘﺎﺟﻬﺎ ﺍﻟﻌﺠﻞ ﺍﻟﺮﺿﻴﻊ ،ﻭﻣﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ
ﰲ ﻭﺯﻥ ﺍﻟﻌﺠﻞ ﺑﺎﻟﻜ ﺠﻢ ،ﻭﺫﻟﻚ ﻟﻌﻴﻨﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﺠﻮﻝ ﺍﻟﺮﺿﻴﻌﺔ ﺣﺠﻤﻬﺎ . 10
70
20
59
16
50
15
46
19
25
13
20
13
15
12
14
12
11
10
10
10
ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻟﱪﻭﺗﲔ
ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ ﰲ ﺍﻟﻮﺯﻥ
ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ :
-1ﺍﺭﺳﻢ ﻧﻘﻂ ﺍﻻﻧﺘﺸﺎﺭ ،ﻭﻣﺎ ﻫﻮ ﺗﻮﻗﻌﺎﺗﻚ ﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ؟
-2ﻗﺪﺭ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳓﺪﺍﺭ ﺍﻟﻮﺯﻥ ﻋﻠﻰ ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻟﱪﻭﺗﲔ .
-3ﻓﺴ ﺮ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﳓﺪﺍﺭ .
-4ﻣﺎ ﻫﻮ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ ﰲ ﺍﻟﻮﺯﻥ ﻋﻨﺪ ﺇﻋﻄﺎﺀ ﺍﻟﻌﺠﻞ 50ﺟﺮﺍﻡ ﻣﻦ ﺍﻟﱪﻭﺗﲔ ؟ ﻭﻣﺎ ﻫﻮ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺍﳋﻄﺄ
ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ؟
-5ﺍﺭﺳﻢ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﳓﺪﺍﺭ ﻋﻠﻰ ﻧﻘﻂ ﺍﻻﻧﺘﺸﺎﺭ ﰲ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ) . ( 1
ﺍﳊــﻞ
88
-1ﺭﺳﻢ ﻧﻘﻂ ﺍﻻﻧﺘﺸﺎﺭ :
ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ y
ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻟﱪﻭﺗﲔ x
ﻣﻦ ﺍﳌﺘﻮﻗﻊ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﱪﻭﺗﲔ ﺃﺛﺮ ﻃﺮﺩﻱ ) ﺇﳚﺎﰊ ( ﻋﻠﻰ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ ﰲ ﺍﻟﻮﺯﻥ .
-2ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﳓﺪﺍﺭ .
ﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ xﻫﻲ ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻟﱪﻭﺗﲔy ،
ﻫﻲ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ ﰲ ﺍﻟﻮﺯﻥ ،ﳝﻜﻦ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺘﲔ ﰲ ) -6
، ( 6ﻭﻣﻦ ﰒ ﻳﺘﻢ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﺎﻣﻴﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﺍﺎﻣﻴﻊ ﺍﳌﻄﻠﻮﺑﺔ
x2
xy
∑ x = 320
∑ y = 140
∑ xy = 5111
∑ x2 = 14664
100
121
196
225
400
625
2116
2500
3481
4900
ﺇﺫﺍ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ :
x
x = ∑ = 320 = 32
n
10
x
y = ∑ = 140 = 14
n
10
ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻟﱪﻭﺗﲔ
ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ ﰲ ﺍﻟﻮﺯﻥ
y
x
100
110
168
180
260
325
874
750
944
1400
10
10
12
12
13
13
19
15
16
20
10
11
14
15
20
25
46
50
59
70
5111 14664
140
320
• ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﻭﱃ ﰲ ) ( 6 -6ﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎﺏ βˆ1ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
)n xy − x y (10)(5111) − (320)(140
= = ∑ 2 ∑ ∑2
2
)n∑ x − (∑ x
)(10)(14664) − (320
6310
= 0.1426
44240
=
• ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﰲ ) ( 6 -6ﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎﺏ βˆ0ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
= y − βˆ1 x = 14 − (0.1426)(32) = 9.4368
• ﺇ ﺫﺍ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﳓﺪﺍﺭ ﺍﳌﻘﺪﺭﺓ ،ﻫﻲ :
βˆ0
βˆ1
89
yˆ = 9.44 + 0.143x
-3ﺗﻔﺴﲑ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ :
• ﺍﻟﺜﺎﺑﺖ : βˆ0 = 9.44ﻳﺪﻝ ﻋﻠﻰ ﺃﻧﻪ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﻋﺪﻡ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﱪﻭﺗﲔ ﻗﻲ ﺍﻟﺘﻐﺬﻳـﺔ ،ﻓـﺈﻥ
ﺍﻟﻮﺯﻥ ﻳﺰﻳﺪ 9.44ﻛﺠﻢ .
• ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﳓﺪﺍﺭ : βˆ1 = 0.143ﻳﺪﻝ ﻋﻠﻰ ﺃﻧﻪ ﻛﻠﻤﺎ ﺯﺍﺩﺕ ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻟﱪﻭ ﺗﲔ ﺟﺮﺍﻡ ﻭﺍﺣـﺪ،
ﺣﺪﺙ ﺯﻳﺎﺩﺓ ﰲ ﻭﺯﻥ ﺍﻟﻌﺠﻞ ﲟﻘﺪﺍﺭ 0.143ﻛﺠﻢ ،ﺃﻯ ﺯﻳﺎﺩﺓ ﻣﻘﺪﺍﺭﻫﺎ 143ﺟﺮﺍﻡ .
-4ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ ﰲ ﺍﻟﻮﺯﻥ ﻋﻨﺪ x = 50
ﻫﻮ :
yˆ = 9.44 + 0.143(50) = 16.59
ﻭﺃﻣﺎ ﻭﻣﻘﺪﺍﺭ ﺍﳋﻄﺄ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ ﻫﻮ :
eˆx=50 = yx=50 − yˆ x=50 = 15 − 16.59 = −1.59
-5ﺭﺳﻢ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﳓﺪﺍﺭ ﻋﻠﻰ ﻧﻘﻂ ﺍﻻﻧ ﺘﺸﺎﺭ .
ﳝﻜﻦ ﺭﺳﻢ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻢ ﻧﻘﻄﺘﲔ ﻋﻠﻰ ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ .
10
10.87
50
16.59
x
ˆy
ﺇﺫﺍ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﳓﺪﺍﺭ ﻫﻲ :
y
x
90
ﺍﻟﻔﺼــﻞ ﺍﻟﺴﺎﺑﻊ
ﺍﻻﺣﺘﻤـﺎﻻﺕ ﻭﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺎ
Probabilities and its Applications
1/7ﻣﻘــﺪﻣﺔ
ﻛﻠﻤﺔ " ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ " ﻫﻲ ﻛﻠﻤﺔ ﻳﻨﻄﻖ ﺎ ﺍﻟﻜﺜﲑ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﺎﺱ ،ﻓﺒﻌﺾ ﺧﱪﺍﺀ ﺍﻷﺭﺻﺎﺩ ﺍﳉﻮﻳﺔ ﻳﻘﻮﻟﻮﻥ ﻣﻦ
ﺍﶈﺘﻤﻞ ﺳﻘﻮﻁ ﺃﻣﻄﺎﺭ ﺍﻟﻴﻮﻡ ،ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﰲ ﺩﺭﺟﺎﺕ ﺍﳊﺮﺍﺭﺓ ،ﻭﺑﻌﺾ ﺧ ﱪﺍﺀ ﺍﻟﺒﻮﺭﺻﺔ ﻳﻘﻮﻟﻮﻥ
ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻷﺳﻬﻢ ﺍﳌﺘﺪﺍﻭﻟﺔ ﰲ ﺳﻮﻕ ﺍﳌﺎﻝ ﻟﺸﺮﻛﺔ ﻣﻌﻴﻨﺔ ،ﺧﻼﻝ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻴﻮﻡ ،ﻭﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﳒﺎﺡ
ﻃﺎﻟﺐ ،ﻭﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺇﺻﺎﺑﺔ ﻧﻮﻉ ﻣﻌﲔ ﻣﻦ ﺍﻟﻔﺎﻛﻬﺔ ﺑﻨﻮﻉ ﻣﻦ ﺍﻟﺒﻜﺘﺮﻳﺎ ،ﻭﻫﻜﺬﺍ ،ﻳﻜﺜﺮ ﻧﻄﻖ ﺍﻷﻓﺮﺍﺩ ﺎ
ﻭﺭﲟﺎ ﳚﻬﻠﻮﻥ ﻣﻌﻨﺎﻫﺎ .ﻓﻤﺎﺫﺍ ﺗﻌﲏ ﻛﻠﻤﺔ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ؟
ﻳﻘﺼﺪ ﺬﻩ ﺍﻟﻜ ﻠﻤﺔ ﻓﺮﺻﺔ ﺣﺪﻭﺙ ﺃﻭ ﻭﻗﻮﻉ ﺣﺎﺩﺛﺔ ﻣﻌﻴﻨﺔ ،ﻭﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ ﰲ ﻛﺜﲑ ﻣﻦ
ﺍﻟﻨﻮﺍﺣﻲ ﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻘﻴﺔ ،ﻣﺜﻞ ﺍﺎﻻﺕ ﺍﻻﻗﺘﺼﺎﺩﻳﺔ ،ﻭﺍﻟﺘﺠﺎﺭﻳﺔ ،ﻭﺍﻟﺰﺭﺍﻋﻴﺔ ،ﻭﺍﻟﻄﺒﻴﺔ ،ﻭﺍﻟﺴﻠﻮﻛﻴﺔ ،ﻭﻏﲑﻫﺎ،
ﺧﺎﺻﺔ ﻋﻨﺪ ﺍﲣﺎﺫ ﺍﻟﻘﺮﺍﺭ ﰲ ﺩﺭﺍﺳﺎﺕ ﺍﳉﺪﻭﻯ ،ﻭﺍﻟﺘﻨﺒﺆ ﺑﺴﻠﻮﻙ ﺍﻟﻈﻮﺍﻫﺮ ﺍﳌﺨﺘﻠﻔﺔ ،ﻭﻟﻜﻲ ﳝﻜﻦ ﻓﻬﻢ
ﻣﻮﺿﻮﻉ ﺍﻻﺣﺘ ﻤﺎﻝ ،ﻭﺃﳘﻴﺘﻪ ﰲ ﺍﻟﻨﻮﺍﺣﻲ ﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻘﻴﺔ ،ﻧﻘﻮﻡ ﺑﻌﺮﺽ ﺑﻌﺾ ﺍﳌﻔﺎﻫﻴﻢ ﺍﳋﺎﺻﺔ ﺑﺎﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ .
2/7ﺑﻌﺾ ﺍﳌﻔﺎﻫﻴﻢ ﺍﳋﺎﺻﺔ ﺑﺎﻻﺣﺘﻤﺎﻝ
• ﺍﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻴﺔ
Randomized Experiment
ﻫﻲ ﺃﻱ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺗﺘﻢ ﳝﻜﻦ ﲢﺪﻳﺪ ﻛﻞ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﳌﻤﻜﻨﺔ ﳍﺎ ،ﻭﻟﻜﻦ ﻻ ﳝﻜﻦ ﻣﺴﺒﻘﺎ ﲢﺪﻳﺪ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﱵ
ﺳﺘﻈﻬﺮ ﺃﻭ ﲢﺪﺙ ،ﻭﻣﺜﺎﻝ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ﻋﻨﺪ ﺇﻟﻘﺎﺀ ﻗﻄﻌﺔ ﻋﻤﻠﺔ ﻣﻌﺪﻧﻴﺔ ﻣﺮﺓ ﻭﺍﺣﺪﺓ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﳌﻤﻜﻨﺔ ﳍﺎ
ﻧﺘﻴﺠﺘﺎﻥ ﳘﺎ " :ﻇﻬﻮﺭ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ " ﻭﻳﺮﻣﺰ ﳍﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ، Hﺃﻭ " ﻇﻬﻮﺭ ﺍﻟﻜﺘﺎﺑﺔ " ﻭﻳﺮﻣﺰ ﳍﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ، Tﺃﻱ ﺃﻥ
ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﳌﻤﻜﻨﺔ ﻫﻲ :
} ، {H , Tﻭﻗﺒﻞ ﺇﻟﻘﺎﺀ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ،ﻻ ﳝﻜﻦ ﲢﺪﻳﺪ ﺃﻱ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺘﲔ ﺳﻮﻑ
ﺗ ﻈﻬﺮ .
• ﻓﺮﺍﻍ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ
Sample Space
ﻫﻲ ﳎﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﳌﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﺘﺠﺮﺑﺔ ،ﻭﻳﺮﻣﺰ ﳍﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ، Sﻭﻳﺮﻣﺰ ﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﳌﻜﻮﻧﺔ ﻟﻔﺮﺍﻍ
ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) ، n(Sﻭﻣﻦ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ :
-1ﻋﻨﺪ ﺇﻟﻘﺎﺀ ﻗﻄﻌﺔ ﻋﻤﻠﺔ ﻏﲑ ﻣﺘﺤﻴﺰﺓ ﻣﺮﺓ ﻭﺍﺣﺪﺓ ،ﳒﺪ ﺃﻥ ﻓﺮﺍﻍ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﻫﻮ ، S:{H , T } :
ﻭﻋﺪﺩ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﻫﻲ . n( S ) = 2 :
91
-2ﻋﻨﺪ ﺇﻟﻘﺎﺀ ﻗﻄﻌﺔ ﻋﻤﻠﺔ ﻏﲑ ﻣﺘﺤﻴﺰﺓ ﻣﺮﺗﲔ ) ﺇﻟﻘﺎﺀ ﻗﻄﻌﺘﲔ ﻣﺮﺓ ﻭﺍﺣﺪﺓ ( ،ﻓﺈﻥ ﻓﺮﺍﻍ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﳝﻜﻦ
ﺍﳊﺼﻮﻝ ﻋﻠﻴﻪ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺷﺠﺮﺓ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
ﺃﻱ ﺃﻥ n( S) = 4
-3ﻋﻨﺪ ﺭﻣﻲ ﺯﻫﺮﺓ ﻧﺮﺩ ﻏﲑ ﻣﺘﺤﻴﺰﺓ ﻣﺮﺓ ﻭﺍﺣﺪﺓ ،ﻓﺈﻥ ﻓﺮﺍ ﻍ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﻫﻮ ﳎﻤﻮﻋﺔ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ﺍﻟﱵ
ﺗﻈﻬﺮ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻮﺟﻪ ،ﻭﻫﻲ ، S:{1, 2, 3, 4, 5, 6} :ﺃﻱ ﺃﻥ . n( S ) = 6 :
-4ﻋﻨﺪ ﺇﻟﻘﺎﺀ ﻗﻄﻌﺔ ﻋﻤﻠﺔ ﻏﲑ ﻣﺘﺤﻴﺰﺓ ﻋﺪﺩ ﻣﻦ ﺍﳌﺮﺍﺕ ﺣﱴ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﻣﺮﺓ ﻭﺍﺣﺪﺓ ،ﳒﺪ
ﺃﻥ ﺍﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻫﻲ ﻋﺪﺩ ﻣﻦ ﺍﶈﺎﻭﻻﺕ ﻳﺘﻢ ﺇﻳﻘﺎﻓﻬﺎ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮ ﺭﺓ ﻣﺮﺓ ﻭﺍﺣﺪﺓ ،ﺇﺫﺍ
ﻓﺮﺍﻍ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﻫﻮ :
} ، S:{H, TH, TTH, TTTH,…….ﻭﻳﻜﻮﻥ . n(S ) = ∞ :
-5ﻋﻨﺪ ﺳﺤﺐ ﻛﺮﺗﲔ ﺑﺪﻭﻥ ﺇﺭﺟﺎﻉ ﻣﻦ ﻛﻴﺲ ﺑﻪ ﲬﺲ ﻛﺮﺍﺕ ﲪﺮﺍﺀ ) ، (redﺛﻼﺙ ﻛﺮﺍﺕ ﺯﺭﻗﺎﺀ
) ، (blueﻭﻛﺮﺗﺎﻥ ﺧﻀﺮﺍﺀ ) ، (greenﳒﺪ ﺃﻥ ﻓﺮﺍﻍ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﻫﻮ :
ﺃﻱ ﺃﻥ ) ، n( S ) = (10 × 9) = 90 :ﻷﺎ ﺣﺎﻻﺕ ﻏﲑ ﻣﺘﺰﻧﺔ (.
-6ﻋﻨﺪ ﻓﺮﺯ ﺻﻨﺪﻭﻕ ﺑﻪ ﲬﺲ ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻣﻦ ﺳﻠﻌﺔ ﻣﻌﻴﻨﺔ ،ﻳﻜﻮﻥ ﻓﺮﺍﻍ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻮﺣـﺪﺍﺕ
ﺍﳌﻌﻴﺒﺔ ﻫﻮ .........ﻭﺍﺟﺐ ﻣﱰﱄ
• ﺍﳊﺎﺩﺙ
Event
ﻫﻮ ﻓﺌﺔ ﺟﺰﺋﻴﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﳌﻜﻮﻧﺔ ﻟﻔﺮﺍﻍ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ،ﻭﻳﺮﻣﺰ ﻟﻠﺤﺎﺩﺙ ﲝﺮﻑ ﻣﻦ ﺍﳊﺮﻭﻑ ﺍﳍﺠﺎﺋﻴـﺔ
] ، […,C ,B ,Aﻭﻳ ﻨﻘﺴﻢ ﺍﳊﺎﺩﺙ ﺇﱄ ﻧﻮﻋﲔ ﳘﺎ :
-1
ﺣﺎﺩﺙ ﺑﺴﻴﻂ : Simple Eventﻭﻫﻮ ﺍﻟﺬﻱ ﳛﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﺘـﺎﺋﺞ
ﺍﳌﻜﻮﻧﺔ ﻟﻔﺮﺍﻍ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ .
92
-2
ﺣﺎﺩﺙ ﻣﺮﻛﺐ : Component Eventﻭﻳﺸﻤﻞ ﻧﺘﻴﺠﺘﲔ ﺃﻭ ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﳌﻜﻮﻧﺔ
ﻟﻔﺮﺍﻍ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ،ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﳊﺎﺩﺙ ﺍﳌﺮﻛﺐ ﳝﻜﻦ ﺗﻘﺴﻴﻤﻪ ﺇﱃ ﺣﻮﺍﺩﺙ ﺑﺴﻴﻄﺔ .
ﻭﻳﺮﻣﺰ ﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﳌﻜﻮﻧﺔ ﻟﻠﺤﺎﺩﺙ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) ..., n( B) , n( Aﻭﻫﻜﺬﺍ .
ﻓﻌﻨﺪ ﺇﻟﻘﺎﺀ ﻗﻄﻌﺔ ﻋﻤﻠﺔ ﻏﲑ ﻣﺘﺤﻴﺰﺓ ﻣﺮﺗﲔ ،ﻭﻋﺮﻑ ﺍﳊﺎﺩﺙ Aﺑﺄﻧﻪ ﻇﻬﻮﺭ ﺍﻟـﺼﻮﺭﺓ ﻣـﺮﺗﲔ ،
ﻭﺍﳊﺎﺩﺙ Bﻇﻬﻮﺭ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﻣﺮﺓ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ،ﳒﺪ ﺃﻥ ﻓﺮﺍﻍ ﺍﻟﻌﻴﻨـﺔ ﰲ ﻫـﺬﻩ ﺍﳊﺎﻟـﺔ ﻫـﻲ
} ، S:{HH, HT, TH, TTﻭﺑ ﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺤﺎﺩﺙ Aﻓﻬﻮ ﺣﺎﺩﺙ ﺑﺴﻴﻂ ،ﻳﺸﻤﻞ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ
ﻫﻲ } ، A:{HHﺃﻱ ﺃﻥ ، n(A)=1ﺃﻣﺎ ﺍﳊﺎﺩﺙ Bﻓﻬﻮ ﺣﺎﺩﺙ ﻣﺮﻛﺐ ﻳﺸﻤﻞ ﺛﻼﺙ ﻧﺘﺎﺋﺞ ﻫﻲ
} ، B:{HT, TH, HHﺃﻱ ﺃﻥ ، n(B)=3ﻭﻫﺬﺍ ﺍﳊﺎﺩﺙ ﳝﻜﻦ ﺗﻘﺴﻴﻤﻪ ﺇﱃ ﺃﺣﺪﺍﺙ ﺑﺴﻴﻄﺔ .
• ﺍﻻﲢﺎﺩ ) ∪ (
Union
ﻳﻌﱪ ﺍﲢ ﺎﺩ ﺍﳊﺎﺩﺛﺎﻥ B , Aﻋﻦ ﻭﻗﻮﻉ ﺃﺣﺪﻫﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ،ﻭﲟﻌﲎ ﺁﺧﺮ ﻭﻗﻮﻉ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻭ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﺃﻭ
(
)
ﻛﻼﳘﺎ ،ﻭﻳﻌﱪ ﻋﻦ ﺫﻟﻚ ﺭﻳﺎﺿﻴﺎ ) ( A∪ Bﺃﻭ ، A or Bﻭﳝﻜﻦ ﺍﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑـﺸﻜﻞ " ﻓـﻦ "
Ven. Diagramﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
ﺷﻜﻞ ) ( 1 -7
ﻭﻣﺜﺎﻝ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ،ﻋﻨﺪ ﺇﻟﻘﺎﺀ ﺯﻫﺮﺓ ﻧﺮﺩ ﻣﺘﺰﻧﺔ ﻣﺮﺓ ﻭﺍﺣﺪﺓ ،ﻭﻋﺮﻑ ﺍﳊﺎﺩﺙ Aﺑﺄﻧﻪ ﻇﻬـﻮﺭ
ﻭﺟﻪ ﻳﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ، 3ﻭﺍﳊﺎﺩﺙ Bﺑﺄﻧﻪ ﻇﻬﻮﺭ ﻋﺪﺩ ﻓﺮﺩﻱ ،ﻳﻼﺣﻆ ﺃﻥ :
} ، B:{1,3,5}, A:{3,6}, S:{1,2,3,4,5,6ﻭﻳﻜـﻮﻥ ﺍﲢـﺎﺩ ﺍﳊﺎﺩﺛـﺎﻥ B , Aﻫـﻮ :
} ، (A∪ B): {1,3,5,6ﻭﻳﻌﱪ ﻋﻦ ﺫﻟﻚ ﰲ ﺷﻜﻞ Venﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
• ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ) ∩ (
}(A∪ B): {1,3,5,6
Intersection
ﻳﻌﱪ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﳊﺎﺩﺛﺎﻥ B , Aﻋﻦ ﻭﻗﻮﻉ ﺍﻻﺛﻨﺎﻥ ﰲ ﺁﻥ ﻭﺍﺣﺪ ،ﻭﻳﺸﻤﻞ ﻛ ﻞ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﳌﺸﺘﺮﻛﺔ
ﺑﲔ ﺍﳊﺎﺩﺛﲔ ،ﻭﻳﻌﱪ ﻋﻦ ﺫﻟﻚ ﺭﻳﺎﺿﻴﺎ
" ﻓﻦ " ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
)( A∩ B
ﺃﻭ )(A and B
،ﻭﻳﻈ ﻬﺮ ﺫﻟﻚ ﰲ ﺷـﻜﻞ
93
ﺷﻜﻞ ) ( 2 -7
ﻓﻔﻲ ﺍﳌﺜﺎﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ،ﳒﺪ ﺃﻥ
• ﺍﻷﺣﺪﺍﺙ ﺍﳌﺘﻨﺎﻓﻴﺔ
}(A∩ B): {3
.
Mutually Exclusive evens
ﻳﻘﺎﻝ ﺃﻥ ﺍﳊﺎﺩﺛﺎﻥ B, Aﻣﺘﻨﺎﻓﻴﺎﻥ ،ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻭﻗﻮﻉ ﺃﺣﺪﻫﺎ ﻳﻨﻔﻲ ﻭﻗﻮﻉ ﺍﳊﺪﺙ ﺍﻵﺧـﺮ ،ﲟﻌـﲎ
ﺍﺳ ﺘﺤﺎﻟﺔ ﻭﻗﻮﻋﻬﻤﺎ ﰲ ﺁﻥ ﻭﺍﺣﺪ ،ﻭﻣﻦ ﰒ ﻳ ﻜﻮﻥ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﳊﺎﺩﺛﺎﻥ ﺍﳌﺘﻨﺎﻓﻴﺎﻥ ﻫﻲ ﺍﻟ ﻔﺌﺔ ﺍﳋ ﺎﻟﻴﺔ
ﻭﻳﺮﻣﺰ ﳍﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ φﺃﻱ ﺃﻥ ، A∩ B = φﻭﳝﻜﻦ ﲤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺑﺸﻜﻞ " ﻓﻦ " ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
ﺷﻜﻞ ) ( 3 -7
ﻻ ﺗﻮﺟﺪ ﻧﺘﺎﺋﺞ ﻣﺸﺘﺮﻛﺔ ( A∩ B) = φ
• ﺍﳊﺎﺩﺙ ﺍﳌﻜﻤﻞ
Compliment Event
ﺍﳊﺎ ﺩﺙ ﺍﳌﻜﻤﻞ ﻟﻠﺤﺎﺩﺙ Aﻫﻮ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﻨﻔﻲ ﻭﻗﻮﻋﻪ ،ﲟﻌﲎ ﺁﺧﺮ ﻫﻮ ﺍﳊﺎﺩﺙ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﺸﻤﻞ ﻛـﻞ
ﻧﺘﺎﺋﺞ ﺍﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺑﺎﺳﺘﺜﻨﺎﺀ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﳌﻜﻮﻧﺔ ﻟﻠﺤﺎﺩﺙ ، Aﻭﻳﺮﻣﺰ ﻟﻠﺤﺎﺩﺙ ﺍﳌﻜﻤﻞ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ، Aﻭﻣﻦ ﰒ
ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ :
A ∪ A = S , A ∩ A = φﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﺒﲔ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﱄ :
ﺷﻜﻞ ) ( 4 -7
ﻣﺜــﺎﻝ ) ( 1 -7
ﺃﻟﻘﻴﺖ ﻗﻄﻌﺔ ﻋﻤﻠﺔ ﻏﲑ ﻣﺘﺤﻴﺰﺓ ﺛﻼﺙ ﻣﺮﺍﺕ ،ﻭﻋﺮﻓﺖ ﺍﻷﺣﺪﺍﺙ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﺍﳊﺎﺩﺙ Aﻇﻬﻮﺭ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﻣﺮﺗﲔ .
ﺍﳊﺎﺩﺙ Bﻇﻬﻮﺭ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﻣﺮﺓ ﻭﺍﺣﺪﺓ .
ﺍﳊﺎﺩﺙ Cﻇﻬﻮﺭ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﰲ ﺍﻟﺮﻣﻴﺔ ﺍﻷﻭﱃ .
ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ :
94
: ﺇﳚﺎﺩ ﺍﻷﺣﺪﺍﺙ ﺍﳋﺎﺻﺔ ﺑﺎﻻﲢﺎﺩ-1
A∪B , A∪C , B∪C , A∪B∪C
: ﺇﳚﺎﺩ ﺍﻷﺣﺪﺍ ﺙ ﺍﳋﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺘﻘﺎﻃﻌﺎﺕ-2
A∩B , A∩C , B∩C , A∩B∩C
B ﺃﻭﺟﺪ ﺍﳊﺎﺩﺙ-3
ﺍﳊـــﻞ
: • ﻓﺮﺍﻍ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﳍﺬﻩ ﺍﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻫ ﻮ
n( S ) = 8
: • ﻭﺃﻣﺎ ﺍﻷﺣﺪﺍﺙ ﻫﻲ
A: {HHT,HTH,THH}, B: {HTT,THT,TTH}, C: {HHH,HHT,HTH,HTT}
n( A) = 3
n( B) = 3
n( C ) = 4
: ﺍﻷﺣﺪﺍﺙ ﺍﳋﺎﺻﺔ ﺑﺎﻻﲢﺎﺩ-1
( A∪ B) : {HHT, HTH , THH , HTT, THT, TTH } , n( A ∪ B) = 6
( A∪ C ) : {HHT, HTH , THH , HHH, HTT} , n( A ∪ C ) = 5
(B ∪ C ) : {HHH, HHT, HTH, HTT, THT, TTH} , n( B ∪ C ) = 6
( A∪ B ∪ C ) : {HHH, HHT, HTH , HTT, THT, TTH , THH}, n( A ∪ B ∪ C ) = 7
: ﺍﻷﺣﺪﺍﺙ ﺍﳋﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺘﻘﺎﻃﻊ-2
( A ∩ B) : φ , n( A ∩ B) = 0
( A∩ C ) : {HHT , HTH } , n( A ∩ C ) = 2
(B ∩ C ) : {HTT} , n( B ∩ C ) = 1
( A ∩ B ∩ C ) : φ , n( A ∩ B ∩ C ) = 0
(B ) : {HHH , HHT , HTH , THH , TTT} n( B ) = 5
: B ﺇﳚﺎﺩ-3
,
ﻃﺮﻕ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ3/7
95
ﻳﻌﺘﻤﺪ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﺎﺣﻴﺔ ﺍﻟﻨﻈﺮﻳﺔ ﻋ ﻠﻰ ﺃﺳﺲ ﻭﻗﻮﺍﻋﺪ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ،ﻭﻳﻌﺘﱪ ﻫـﺬﺍ
ﺍﻟﻨﻮﻉ ﻣﻦ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﻨﺼﺮ ﺍﻷﺳﺎﺳﻲ ﰲ ﺍﻻﺳﺘﺪﻻﻝ ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻲ ،ﻭﻟﻜﻦ ﰲ ﺍﺎﻝ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﱯ ﺗﻌﺘﻤﺪ
ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﻟﻔﻌﻠﻴﺔ ﳌﺸﺎﻫﺪﺍﺕ ﺍﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ،ﻭﻋﻠﻰ ﺗﻜﺮﺍﺭ ﺍﳊﺎﺩﺙ ﳏﻞ ﺍﻻﻫﺘﻤﺎﻡ ،ﻓﺈﺫﺍ ﺭﻣﺰﻧﺎ
ﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﻭﻗﻮﻉ ﺍﳊﺎﺩﺙ Aﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) ، P (Aﻓﺈﻥ ﻃﺮ ﻳ ﻘ ﺔ ﺣﺴﺎﺏ ﻫﺬﺍ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﺗﺘﺤﺪﺩ ﻭﻓﻘـﺎ ﻟﻨـﻮﻉ
ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ،ﻭﳘﺎ ﻧﻮﻋﺎﻥ :
•
ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ
ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﱯ : Empirical probabilityﻭﻳﻌﱪ ﻋﻨﻪ ﺑﺎﻟﺘﻜﺮﺍﺭ ﺍﻟﻨﺴﱯ ،ﻭﳛـﺴﺐ
ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﺣﻴﺚ ﺃﻥ n :ﻫﻮ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﺍﺕ ) ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪﺍﺕ ( : f(A) ،ﻫﻮ ﺗﻜﺮﺍﺭ ﺍﳊﺎﺩﺙ
،A
ﻓﺈﺫﺍ ﰎ ﺇﻟﻘﺎﺀ ﻗﻄﻌﺔ ﻋﻤﻠﺔ ﻏﲑ ﻣﺘﺤﻴﺰﺓ 500ﻣﺮﺓ ،ﻭﰎ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻋﺪﺩ ﻣﺮﺍﺕ ﻇﻬـﻮﺭ ﻛـﻞ ﻭﺟـﻪ،
ﻭﳋﺼﺖ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ :
SUM
T
H
500
240
260
ﺍﻟﻮﺟﻪ )(F a ce
ﻋﺪﺩ ﻣﺮﺍﺕ ﻇﻬﻮﺭ ﺍﻟﻮﺟﻪ
ﻭ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﻇﻬﻮﺭ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ، Hﳝﻜﻦ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺭﻗـﻢ ) ، ( 1 -7ﻭﺍﻟـﱵ
ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭ ﺍﻟﻨﺴﱯ ،ﺃﻱ ﺃﻥ :
f ( H ) 260
=
= 0.52
n
500
•
ﺍ ﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﻟﻨﻈﺮﻱ
= ) P (H
: Theoretical Probabilityﻭﻫﻮ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﻌﺘﻤﺪ ﰲ ﺣﺴﺎﺑﻪ ﻋﻠﻰ ﺃﺳﺲ
ﻭﻗﻮﺍﻋﺪ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ،ﻭﺍﻟﱵ ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﰲ ﲢﺪﻳﺪ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﳌﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﺘﺠﺮﺑﺔ ،ﻭﻋـﺪﺩ ﺍﻟﻨﺘـﺎﺋﺞ
ﺍﳌﻤﻜﻨﺔ ﻟﻮﻗﻮﻉ ﺍﳊﺎﺩﺙ ،ﻭﻣﻦ ﰒ ﳛﺴﺐ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﻣﻦ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ،ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﺣﻴﺚ ﺃﻥ n (S) :ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﳌﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﺘﺠﺮﺑﺔ n (A) ،ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻨﺘـﺎﺋﺞ ﺍﳌﻤﻜﻨـﺔ ﻟﻮﻗـﻮﻉ
ﺍﳊﺎﺩﺙ ، Aﻓﻌﻨﺪ ﺇﻟﻘﺎﺀ ﻗﻄﻌﺔ ﻋﻤﻠﺔ ﻏﲑ ﻣﺘﺤﻴﺰﺓ ﻣﺮﺓ ﻭﺍﺣﺪﺓ ،ﳒﺪ ﺃﻥ ﻓﺮﺍﻍ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﻫﻮ S: {H, T} :
،ﺃﻱ ﺃﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﳌﻤﻜﻨﺔ ﻫﻲ ، n (S) =(2) 1 = 2 :ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﳊﺎﺩﺙ Aﻫﻮ ﻇﻬﻮﺭ ﺻﻮﺭﺓ ،
ﳒﺪ ﺃﻥ } ، A: {Hﺃﻱ ﺃﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﳌﻜﻮﻧﺔ ﻟﻠﺤﺎﺩﺙ Aﻫﻲ ، n( A) = 1 :ﻭﻳﻜﻮﻥ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﻭﻗﻮﻉ
96
ﺍﳊﺎﺩﺙ Aﻫﻮ :
n ( A) 1
= = 0 .5
n(S ) 2
•
= )P ( A
ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﲔ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﱯ ﻭ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﻟﻨﻈﺮﻱ :
ﻋﻨـﺪ ﺯﻳـﺎﺩﺓ ﻋـﺪﺩ
ﺍﶈﺎﻭﻻﺕ nﻳﻘﺘﺮﺏ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﱯ ﻣﻦ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﻟﻨﻈﺮﻱ ،ﺃﻱ ﺃﻥ :
ﻓﻌﻨﺪ ﺯﻳﺎﺩﺓ ﻋﺪﺩ ﻣﺮﺍﺕ ﺭﻣﻲ ﻗﻄﻌﺔ ﺍﻟﻌﻤﻠﺔ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭ ﺍﻟﻨﺴﱯ ﻟﻠﺼﻮﺭﺓ ﺳﻮﻑ ﻳﻘﺘﺮﺏ ﻣﻦ
ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ) ، (0.5ﻭﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﻟﻨﻈﺮﻱ ﻟﻈﻬﻮﺭ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﻋﻨﺪ ﺭﻣﻲ ﻗﻄﻌﺔ ﺍﻟﻌﻤﻠﺔ ﻣﺮﺓ ﻭﺍﺣﺪﺓ .
•
ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﳌﺘﺸﺎﺔ :
ﺇﺫﺍ ﺃﺟﺮﻳﺖ ﲡﺮﺑﺔ ،ﻭﻛﺎﻧﺖ ﻛﻞ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﳌﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﺘﺠﺮﺑﺔ ﳍﺎ ﻧﻔﺲ
ﺍﻟﻔﺮﺻﺔ ﰲ ﺍﻟﻈﻬﻮﺭ ،ﲟﻌﲎ ﺃﻥ ﻛﻞ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﳍﺎ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﻫﻮ ) ) ، (1 n( Sﺗﺴﻤﻰ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺑﺎﻟﻨﺘﺎﺋﺞ
ﺍﳌﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺃﻭ ﺍﳌﺘﺸﺎﺔ ،ﻓﻌﻨﺪ ﺇﻟﻘﺎﺀ ﺯﻫﺮﺓ ﻧﺮﺩ ﻣﺘﺰﻧﺔ ﻣﺮﺓ ﻭﺍﺣﺪﺓ ،ﳒـﺪ ﺃﻥ ﻓـﺮﺍﻍ ﺍﻟﻌﻴﻨـﺔ ﻫـﻮ
} ، S:{1,2,3,4,5,6ﻭﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﻛﻞ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻫﻮ ) ، (1/6ﻭﻋﻨﺪ ﺇﻟﻘﺎ ﺀ ﺍﻟﺰﻫﺮﺓ ﻣﺮﺗﲔ ﳒﺪ ﺃﻥ ﻋﺪﺩ
ﻧﺘﺎﺋﺞ ﻓﺮﺍﻍ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﻫﻮ n (S) =6 2 =36 :ﻧﺘﻴﺠﺔ ،ﻭﻫﻲ :
6
)(1,6
)(2,6
)(3,6
)(4,6
)(5,6
)(6,6
5
)(1,5
)(2,5
)(3,5
)(4,5
)(5,5
)(6,5
4
)(1,4
)(2,4
)(3,4
)(4,4
)(5,4
)(6,4
3
)(1,3
)(2,3
)(3,3
)(4,3
)(5,3
)(6,3
2
)(1,2
)(2,2
)(3,2
)(4,2
)(5,2
)(6,2
1
)(1,1
)(2,1
)(3,1
)(4,1
)(5,1
)(6,1
1
2
3
4
5
6
ﻭﻫﺬﻩ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ،ﻭﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﻛﻞ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻫﻮ ). (1/36
•
ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﻏﲑ ﺍﳌﺘﻤﺎﺛﻠﺔ :
ﻫﻲ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﻟﱵ ﲢﺪﺙ ﻋﻨﺪ ﺗﻜﺮﺍﺭ ﳏﺎﻭﻟﺔ ،ﲝﻴﺚ ﺃﻥ ﺍﺣﺘﻤـﺎﻻﺕ
ﻧﺘﺎﺋﺞ ﻛﻞ ﳏﺎﻭﻟﺔ ﻏﲑ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ،ﻭﻣﻦ ﰒ ﻻ ﺗﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﺣﺘﻤﺎﻻﺕ ﻧﺘﺎﺋﺞ ﺍﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ،ﻓﻌﻨﺪ ﺳﺤﺐ ﻛﺮﺗﲔ
ﻣﻊ ﺍﻹﺭﺟﺎﻉ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻋﺸﻮﺍﺋﻴﺔ ﻣﻦ ﻛﻴﺲ ﺑﻪ ﺛﻼﺙ ﻛﺮﺍﺕ ﲪﺮﺍﺀ ) ، (Rﻭﻛﺮﺗﺎﻥ ﲢﻤـﻼﻥ ﺍﻟﻠـﻮﻥ
ﺍﻷﺑﻴﺾ ) ، (Wﳒﺪ ﺃﻧﻪ ﰲ ﻛﻞ ﺳﺤﺐ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﻇﻬﻮﺭ ﻛﺮﺓ ﲪﺮﺍﺀ ﻫﻮ ، 3/5ﻭﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﻇﻬﻮﺭ
ﻛﺮﺓ ﺑﻴﻀﺎﺀ ﻫﻮ
ﻛﺮﺗﲔ ﻫﻮ :
، 2/5ﻭﻣﻦ ﰒ ﻳﻜﻮﻥ ﻧﺘﺎﺋﺞ ﻓﺮﺍﻍ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ،ﻭﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﻛﻞ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺳﺤﺐ
97
ﻳﻼﺣﻆ ﺃﻥ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﻛﻞ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﳜﺘﻠﻒ ﻋﻦ ) ، (1 4ﻓﻬﺬﻩ ﺍﳊﺎﻻﺕ ﻏﲑ ﻣﺘﺰﻧﺔ .
4/7ﺑﻌﺾ ﻗﻮﺍﻧﲔ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ
Probability Laws
ﻫﻨﺎﻙ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻘﻮﺍﻧﲔ ﺍﻟﱵ ﳝﻜﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻬﺎ ﳊﺴﺎﺏ ﺍﻻ ﺣﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﳌﺨﺘﻠﻔﺔ ،ﻭﻫﻲ :
•
ﻗﺎﻧﻮﻥ ﲨﻊ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ
Addition Law
ﺇﺫﺍ ﻛ ﺎﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﳊﺎﺩﺛﺎﻥ ، B , Aﻓﺈﻥ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ) ، P(A∪Bﳝﻜﻦ ﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
)n( A∪ B
) n( S
)n( A) + n( B) − n( A∩ B
=
) n( S
)n( A) n( B) n( A∩ B
=
+
−
) n( S ) n ( S
) n( S
)= P ( A) + P ( B) − P ( A∩ B
= )P ( A∪ B
ﺇﺫﺍ :
ﻭﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺛﻼﺙ ﺃﺣﺪﺍﺙ ، C , B , Aﳝﻜﻦ ﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﲢﺎﺩ ) ، P ( A ∪ B ∪ Cﻭﻫﻲ :
ﻭﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻷﺣﺪﺍﺙ ﻣﺘﻨﺎﻓﻴﺔ ،ﻓﺈﻥ ﺍﺣﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻌﺎﺕ ﺗﺴﺎﻭﻱ ﺃﺻﻔﺎﺭ ،ﻭﻳﻜﻮﻥ :
98
ﻣﺜــﺎﻝ ) ( 2 -7
ﻋﻨﺪ ﺇﻟﻘﺎﺀ ﺯﻫﺮﺓ ﻧﺮﺩ ﻏﲑ ﻣﺘﺤﻴﺰﺓ ﻣﺮﺗﲔ ،ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ :
-1ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﻇﻬﻮﺭ ﻭﺟﻬﲔ ﻣﺘﺸﺎﲔ .
-2ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﻇﻬﻮﺭ ﻭﺟﻬﲔ ﳎﻤﻮﻉ ﻧﻘﺎﻃﻬﻤﺎ . 10
-3ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﻇﻬﻮﺭ ﻭﺟﻬﲔ ﻣﺘﺸﺎﲔ ﺃﻭ ﳎﻤﻮﻉ ﻧﻘﺎﻃﻬﻤﺎ . 10
-4ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﻇﻬﻮﺭ ﻭﺟﻬﲔ ﳎﻤﻮﻉ ﻧﻘﺎﻃﻬﻤﺎ 7ﺃﻭ . 10
ﺍﳊــــﻞ :
ﻧﺘﺎﺋﺞ ﻓﺮﺍﻍ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﻫﻲ :
6
)(1,6
)(2,6
)(3,6
)(4,6
)(5,6
)(6,6
5
)(1,5
)(2,5
)(3,5
)(4,5
)(5,5
)(6,5
S
3
4
)(1,3) (1,4
)(2,3) (2,4
)(3,3) (3,4
)(4,3) (4,4
)(5,3) (5,4
)(6,3) (6,4
n (S) = 36
2
)(1,2
)(2,2
)(3,2
)(4,2
)(5,2
)(6,2
1
)(1,1
)(2,1
)(3,1
)(4,1
)(5,1
)(6,1
1
2
3
4
5
6
-1ﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﺍﳊﺎﺩﺙ Aﻫﻮ ﺣﺎﺩﺙ ﻇﻬﻮﺭ ﻭﺟﻬﲔ ﻣﺘﺸﺎﲔ ،ﻓﺈﻥ :
A: {(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6.6)}, n (A)= 6
ﻭﻳﻜﻮﻥ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﻇﻬﻮﺭ ﻭﺟﻬﲔ ﻣﺘﺸﺎﲔ ﻫﻮ :
n( A) 6 1
=
=
n( S) 36 6
= )P ( A
-2ﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﺍﳊﺎﺩﺙ Bﻫﻮ ﺣﺎﺩﺙ ﻇﻬ ﻮﺭ ﻭﺟﻬﲔ ﳎﻤﻮﻉ ﻧﻘﺎﻃﻬﻤﺎ ، 10ﻓﺈﻥ :
B: {(4,6) (5,5) (6,4)}, n (B) = 3
ﻭﻳﻜﻮﻥ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﻇﻬﻮﺭ ﻭﺟﻬﲔ ﻣﺘﺸﺎﲔ ﻫﻮ :
n( B) 3 1
=
=
n( S ) 36 12
= )P ( B
-3ﳊﺴﺎﺏ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﻇﻬﻮﺭ ﻭﺟﻬﲔ ﻣﺘﺸﺎﲔ ﺃﻭ ) (orﳎﻤﻮﻉ ﻧﻘﺎﻃﻬﻤﺎ ، 10ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ) -7
، ( 3ﺣﻴﺚ ﺃﻥ :
P (B) = 1
12
,
P ( A) = 1
6
ﻭﺃﻣﺎ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ) ( A∩ Bﻓﻴﻌﱪ ﻋﻦ ﻇﻬﻮﺭ ﻭﺟﻬﲔ ﻣﺘﺸﺎﲔ ﻭ ﳎﻤﻮﻋﻬﻤﺎ 10ﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎﺑﻪ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
99
( A∩ B) : {(5,5)} , n( A∩ B) = 1
n( A ∩ B) 1
= )P ( A ∩ B
=
36
ﻭﻣﻦ ﰒ :
) n( S
) P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B
1
1
1
8
2
+
−
=
=
6 12 36 36 9
=
-4ﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﺍﳊﺎﺩﺙ Cﻫﻮ ﺣﺎﺩﺙ ﻇﻬﻮﺭ ﻭﺟﻬﲔ ﳎﻤﻮﻉ ﻧﻘﺎﻃﻬﻤﺎ ، 7ﻭﺍﳊﺎﺩﺙ Bﻫـﻮ ﺣـﺎﺩﺙ
ﻇﻬﻮﺭ ﻭﺟﻬﲔ ﳎﻤﻮﻉ ﻧﻘﺎﻃﻬﻤﺎ ، 10ﳒﺪ ﺃﻥ :
})B: {(4,6) (5,5) (6,4)} , C: {(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1
n (B) = 3
n (C) = 6
،
P ( B ) = 3 36
P ( C ) = 6 36
ﻳﻼﺣ ﻆ ﺃﻥ ﺍﳊﺎﺩﺛﲔ C, Bﺣﺎﺩﺛﲔ ﻣﺘﻨﺎﻓﻴﲔ ،ﻟﺬﺍ ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ) ( 5 -7ﰲ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ
ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
3
6
+
36 36
= ) P ( B ∪ C ) = P ( B) + P (C
9
1
=
36 4
•
ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﻟﺸﺮﻃﻲ
=
Conditional probability
ﻳﺴﺘﻨﺪ ﻫﺬﺍ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﻋﻠﻰ ﻓﺮﺻﺔ ﻭﻗﻮﻉ ﺣﺎﺩﺙ ،ﺇﺫﺍ ﺗﻮﺍﻓﺮﺕ ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻋﻦ ﻭﻗﻮﻉ ﺣﺎﺩﺙ ﺁﺧﺮ
ﻟﻪ ﻋﻼﻗﺔ ﺑﺎ ﳊﺎﺩﺙ ﺍﻷﻭﻝ ،ﻛﺎﺣﺘﻤﺎﻝ ﳒﺎﺡ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﰲ ﻣﺎﺩﺓ ﺍﻹﺣﺼﺎﺀ ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻢ ﺃﻧﻪ ﻣﻦ ﺍﻟﻨـﺎﺟﺤﲔ ﰲ
ﻣﺎﺩﺓ ﺍﻻﻗﺘﺼﺎﺩ ،ﻭﻛﺎﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﳌﺰﺭﻋ ﺔ ﻟﻨﻮﻉ ﻣﻌﲔ ﻣﻦ ﺍﻟﺴﻤﺎﺩ ،ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻢ ﺃﻧﻪ ﻳﻘـﻮﻡ ﺑﺰﺭﺍﻋـﺔ
ﳏﺼﻮﻝ ﻣﻌﲔ ،ﻭﻛﺎﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﺍﳋﺮﳚﻲ ﻳﻌﻤﻞ ﺑﺎﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﳋﺎﺹ ،ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻢ ﺃﻧﻪ ﳑﻦ ﲣﺮﺟﻮﺍ ﻣﻦ ﻗﺴﻢ ﻣﻌﲔ
ﻣﻦ ﺃﻗﺴﺎﻡ ﻛﻠﻴﺔ ﺍﻟﺰﺭﺍﻋﺔ ،ﻭﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ﻛﺜﲑﺓ .
ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﳊﺎﺩﺙ Βﺣﺎﺩﺙ ﻣﻌﻠﻮﻡ ،ﻭﺍﳊﺎﺩﺙ Αﺣﺎﺩﺙ ﺁﺧﺮ ﻳﺮﺍﺩ ﺣـﺴﺎﺏ ﺍﺣﺘﻤـﺎﻝ
ﻭﻗﻮﻋﻪ ،ﲟﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﺍﳊﺎﺩﺙ ، Βﻓﺈﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﳛﺴﺐ ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﻭﻳﻌﺮﻑ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ) p( A | Bﺑﻘﺎﻧﻮﻥ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﻟﺸﺮﻃﻲ ،ﻭﻳﻘﺮ ﺃ " ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﻭﻗﻮﻉ ﺍﳊﺎﺩﺙ A
ﲟﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﺍﳊﺎﺩﺙ ، " Bﺃﻭ ﻳﻘﺮﺃ " ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﻭﻗﻮﻉ ﺍﳊﺎﺩﺙ Aﺑﺸﺮﻁ ﻭﻗﻮﻉ ﺍﳊﺎﺩﺙ ، " Bﻛﻤﺎ ﳝﻜـﻦ
ﺣﺴﺎ ﺏ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﻭﻗﻮﻉ ﺍﳊﺎﺩﺙ Bﲟﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﺍﳊﺎﺩﺙ ، Aﻭﺫﻟﻚ ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
100
ﻭﻣﻦ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ) ( 7 -7 ) ، ( 6 -7ﻳﻼﺣﻆ ﺃﻥ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﻟﺸﺮﻃﻲ ﻫﻮ ﻧﺴﺒﺔ ﺣﺎﺩﺙ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﺑﲔ
ﺇﱃ ﺍﳊﺎﺩﺙ ﺍﳌﻌﻠﻮﻡ ،ﺣﻴﺚ ﺃﻥ :
ﻣﺜــﺎﻝ ) ( 3 -7
ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺗﻜﺮﺍﺭﻱ ﻟﻌﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮﺍﺋﻴﺔ ﺣﺠﻤﻬﺎ 100ﻣﻦ ﺧﺮﳚﻲ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﺎﻣﲔ ﺍﳌﺎﺿﻴﲔ،
ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺘﺨﺼﺺ ،ﻭﻧﻮﻉ ﺍﳌﻬﻨﺔ :
ﻋﻤﻞ ﺣﺮ
Sum
30
35
35
100
ﻗﻄﺎﻉ ﺧﺎﺹ
10
10
13
33
ﻋﻤﻞ ﺣﻜﻮﻣﻲ
15
8
12
35
5
17
10
32
ﺍﳌﻬﻨﺔ
ﺍﻟﺘﺨﺼﺺ
ﺍﻗﺘﺼﺎﺩ ﺯﺭﺍﻋﻲ
ﻋﻠﻮﻡ ﺃﻏﺬﻳﺔ
ﻋﻠﻮﻡ ﺗﺮﺑﺔ
Sum
ﻓﺈﺫﺍ ﺍﺧﺘﲑ ﺃﺣﺪ ﺍﳋﺮﳚﲔ ﺑﻄﺮ ﻳﻘﺔ ﻋﺸﻮﺍﺋﻴﺔ ،ﺍﺣﺴﺐ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
-1ﻣﺎ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻦ ﺧﺮﳚﻲ ﻗﺴﻢ ﺍﻻﻗﺘﺼﺎﺩ ﻭ ﻳﻌﻤﻞ ﺑﺎﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﳋﺎﺹ .
-2ﻣﺎ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﳑﻦ ﻳﻌﻤﻠﻮﻥ ﺑﺎﳊﻜﻮﻣﺔ ﺃﻭ ﻣﻦ ﺧﺮﳚﻲ ﻗﺴﻢ ﻋﻠﻮﻡ ﺍﻷﻏﺬﻳﺔ .
-3ﻣﺎ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻦ ﺧﺮﳚﻲ ﻗﺴﻢ ﻋﻠﻮﻡ ﺍﻷﻏﺬﻳﺔ ﺃﻭ ﻣﻦ ﻗﺴﻢ ﻋﻠﻮﻡ ﺍﻟﺘﺮﺑﺔ .
-4ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻢ ﺃﻥ ﺍﻟﻔﺮﺩ ﻣﻦ ﺧ ﺮﳚﻲ ﻗﺴﻢ ﻋﻮﻡ ﺍﻷﻏﺬﻳﺔ ،ﻣﺎ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﳑﻦ ﻳﻌﻤﻠﻮﻥ ﻋﻤﻼ ﺣﺮﺍ .
ﺍﳊ ﻞ :
ﺃﻭﻻ :ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻨﻮﻉ ﺍﳌﻬﻨﺔ ﺑﺎﻟﺮﻣﻮ ، Aﻭﻟﻨﻮﻉ ﺍﻟﺘﺨﺼﺺ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ، Bﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﺒﲔ ﺑﺎﳉﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﺎﱄ :
Sum
ﻋﻤﻞ ﺣﺮ
ﻗﻄﺎﻉ ﺧﺎﺹ
ﻋﻤﻞ ﺣﻜﻮﻣﻲ
A3
A2
A1
ﺍ ﳌﻬﻨﺔ
ﺍﻟﺘﺨﺼﺺ
30
10
5
15
B1
ﺍﻗﺘﺼﺎﺩ ﺯﺭﺍﻋﻲ
35
10
17
8
35
13
10
12
B2
B3
ﻋﻠﻮﻡ ﺃﻏﺬﻳﺔ
100
33
32
35
ﻋﻠﻮﻡ ﺗﺮﺑﺔ
Sum
ﺛﺎﻧﻴﺎ :ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭ ﰲ ﻛﻞ ﺧﻠﻴﺔ ﻳﻌﱪ ﻋﻦ ﻋﺪﺩ ﺍﳋﺮﳚ ﲔ ﺍﻟﺬﻳﻦ ﻳﻨﺘﻤﻮﻥ ﻟﻘﺴﻢ ﻣﻌﲔ ﻭ ﻳﻌﻤﻠﻮﻥ ﰲ ﻣﻬﻨﺔ
ﻣﻌﻴﻨﺔ ،ﺃﻱ ﻳﻌﱪ ﻋﻦ ﻋﺪﺩ ﺗﻜﺮﺍﺭ ﺍﺕ ﺣﻮﺍﺩﺙ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﺍﳌﻤﻜﻨﺔ . A∩ B
101
-1ﺣﺴﺎﺏ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻦ ﺧﺮﳚﻲ ﻗﺴﻢ ﺍﻻﻗﺘﺼﺎﺩ ﻭ ﻳﻌﻤﻞ ﺑﺎﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﳋﺎﺹ .
f ( B1 ∩ A2 ) 5
=
= 0.05
n
100
= ) P ( B1 ∩ A2
-2ﺣﺴﺎﺏ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﳑﻦ ﻳﻌﻤﻠﻮﻥ ﺑﺎﳊﻜﻮﻣﺔ ﺃﻭ ﻣﻦ ﺧﺮﳚﻲ ﻗﺴﻢ ﻋﻠﻮﻡ ﺍﻷﻏﺬﻳﺔ .
) P ( A1 ∪ B2 ) = p( A1 ) + P ( B2 ) − P ( A1 ∩ B2
35
35
8
62
=
+
−
=
= 0.62
100 100 100 100
-3ﺣﺴﺎﺏ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻦ ﺧﺮﳚﻲ ﻗﺴﻢ ﻋﻠﻮﻡ ﺍﻷﻏﺬﻳﺔ ﺃﻭ ﻣﻦ ﻗﺴﻢ ﻋﻠﻮﻡ ﺍﻟﺘﺮﺑﺔ .
ﻫﺬﺍﻥ ﺣﺎﺩﺛﺎﻥ ﻣﺘﻨﺎﻓﻴﺎﻥ ،ﻷﻥ ﲣﺮﺝ ﺍﻟﻔﺮﺩ ﻣﻦ ﺃﺣﺪ ﺍﻷﻗﺴﺎﻡ ﻳﻨﻔﻲ ﲣﺮﺟﻪ ﻣﻦ ﺍﻷﻗﺴﺎﻡ ﺍﻵﺧﺮ ﻯ ،
ﻭﲟﻌﲎ ﺁﺧﺮ ﺍﺳﺘﺤﺎﻟﺔ ﺃﻥ ﺍﻟﻔﺮﺩ ﲣﺮﺝ ﻣﻦ ﻗﺴﻤﲔ ﰲ ﺁﻥ ﻭﺍﺣﺪ ،ﻟﺬﺍ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﲢﺎﺩﳘﺎ ﻫﻮ :
) P ( B2 ∪ B3 ) = p ( B2 ) + P ( B3
35
35
70
+
=
= 0.70
100 100 100
=
-4ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻢ ﺃﻥ ﺍﻟﻔﺮﺩ ﻣﻦ ﺧﺮﳚﻲ ﻗﺴﻢ ﻋﻮﻡ ﺍﻷﻏﺬﻳﺔ ،ﻣﺎ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﳑﻦ ﻳﻌﻤﻠﻮﻥ ﻋﻤﻼ ﺣﺮﺍ،
ﻫﺬﺍ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺷﺮﻃﻲ ،ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﻫﻨﺎ " ﺣﺴﺎﺏ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﺍﻟﻔﺮﺩ ﳑﻦ ﻳﻌﻤﻠﻮﻥ ﻋﻤﻼ ﺣﺮﺍ A3ﺑﺸﺮﻁ
ﺃﻧﻪ ﻣﻦ ﺧﺮﳚﻲ ﻗﺴﻢ ﻋﻠﻮ ﻡ ﺃﻏﺬﻳﺔ ، B2ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﻫﻮ :
10
p( A3 ∩ B2 ) 100 10
=
= ) p( A3 | B2
=
) p ( B2
35 35
100
ﻭﺍﺟﺐ ﻣﱰﱄ:
ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﺎﱄ ﻳﺒﲔ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻮﺣﺪﺍﺕ ﺍﻟﺴﻠﻴﻤﺔ ،ﻭﺍﻟﺘﺎﻟﻔﺔ ﻣﻦ ﺍﳋﺒﺰ ﺍﻟﻌﺮﰊ ﺑﻌﺪ ﺛﻼﺙ ﺃﻳﺎﻡ ﻣﻦ ﺗﺎﺭﻳﺦ
ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ ﰲ ﺃﺣﺪ ﻣﺮﺍﻛﺰ ﺍﻟﺘﻤﻮﻳﻦ ﺍﻟﱵ ﺗﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ ﺛﻼﺙ ﳐﺎﺑﺰ ﻫﻲ . (C , B , A) :
ﳐﺒﺰ A
ﳐﺒﺰ B
ﳐﺒﺰ C
ﺍﻹﲨﺎﱄ
ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻮﺣﺪﺍﺕ ﺍﻟﺴﻠﻴﻤﺔ
36
60
54
150
ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻮﺣﺪﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻔﺔ
24
63
33
120
ﺇﺫﺍ ﺍﺧﺘﲑﺕ ﻭﺣﺪﺓ ﻣﻦ ﺍﳋﺒﺰ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻋﺸﻮﺍﺋﻴﺔ ،ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺍﻵﰐ :
-1ﻣﺎ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ﻣﻦ ﺇﻧﺘﺎﺝ ﺍﳌﺨﺒﺰ B؟
-2ﻣﺎ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ﺗﺎﻟﻔﺔ ؟
-3ﺇﺫﺍ ﻛﺎ ﻧﺖ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺳﻠﻴﻤﺔ ،ﻣﺎ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ﻣﻦ ﺇﻧﺘﺎﺝ ﺍﳌﺨﺒﺰ C؟
-4ﻣﺎ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻣﻦ ﺇﻧﺘﺎﺝ ﺍﳌﺨﺒﺰ Aﺃﻭ ﺗﻜﻮﻥ ﺗﺎﻟﻔﺔ ؟
-5ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻣﻦ ﺇﻧﺘﺎﺝ ﺍﳌﺨﺒﺰ ، Aﻣﺎ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ﺗﺎﻟﻔﺔ ؟
ﺍﻹﲨﺎﱄ
60
123
87
270
102
•
ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺿﺮﺏ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ
Probability Multiplying Law
ﻭﻳﻌﻜﺲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻘﺎﻧﻮﻥ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﻭﻗﻮ ﻉ ﺍﻷﺣﺪﺍﺙ ﻣﻌﺎ ،ﺃﻱ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻌﺎﺕ ،ﻓﺈﺫﺍ ﻛـﺎﻥ ، B , A
ﺣﺎﺩﺛﺎﻥ ﳝﻜﻦ ﻭﻗﻮﻋﻬﻤﺎ ﻣﻌﺎ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻻ ﺣﺘﻤﺎﻝ ) P ( A ∩ Bﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎﺑﻪ ﻛ ﺤﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺍﺣﺘﻤﺎﻟﲔ ،ﳘﺎ :
ﻣﺜــﺎﻝ ) ( 4 -7
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻧﺴﺒﺔ ﻣﺰﺍﺭﻉ ﺍﳋﻀﺮﻭﺍﺕ ﺍﻟﱵ ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﺃﺳﻠﻮﺏ ﻣﻌﲔ ﻟﻠﺘﺴﻤﻴﺪ ، 60%ﻭﺇﺫﺍ ﻛـﺎﻥ
ﻧﺴﺒﺔ ﺍﳌﺒ ﻴﻌﺎﺕ ﻣﻦ ﺇﻧﺘﺎﺝ ﺍﳋﻀﺮﻭﺍﺕ ﺍﳌﺴﻤﺪ ، 70%ﺑﻴﻨﻤﺎ ﻧﺴﺒﺔ ﺍﳌﺒﻴﻌﺎﺕ ﻣﻦ ﺍﳋﻀﺮﻭﺍﺕ ﻏـﲑ ﺍﳌـﺴﻤﺪ ﺓ
، 80%ﺇﺫﺍ ﺍﺧﺘﲑﺕ ﺃﺣﺪ ﺍﳌﺰﺍﺭﻉ ﺍﻟﱵ ﺗﻨﺘﺞ ﺍﳋﻀﺮﻭﺍﺕ ﻋﺸﻮﺍﺋﻴﺎ ،ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺍﻵﰐ :
-1ﻣﺎ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﻫﺬﻩ ﺍﳌﺰﺭﻋﺔ ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﺃﺳﻠﻮﺏ ﺍﻟﺘﺴﻤﻴﺪ؟
-2ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻢ ﺃﻥ ﻫﺬﻩ ﺍﳌﺰﺭﻋﺔ ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﺃﺳﻠﻮﺏ ﺍﻟﺘﺴﻤﻴﺪ ،ﻣﺎ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﺗ ﺒﻴﻊ ﺇﻧﺘﺎﺟﻬﺎ ؟
-3ﻣﺎ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﻫﺬﻩ ﺍﳌﺰﺭﻋﺔ ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﺃﺳﻠﻮﺏ ﺍﻟﺘﺴﻤﻴﺪ ﻭﺗﺒﻴﻊ ﺇﻧﺘﺎﺟﻬﺎ ؟
-4ﻣﺎ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﻫﺬﻩ ﺍﳌﺰﺭﻋﺔ ﳑﻦ ﻻ ﻳ ﺴﺘﺨﺪﻣ ﻮﻥ ﺃﺳﻠﻮﺏ ﺍﻟﺘﺴﻤﻴﺪ ﻭ ﺗﺒﻴﻊ ﺇﻧﺘﺎﺟﻬﺎ ؟
ﺍﳊــﻞ
ﺇﺫﺍ ﻓﺤﺼﻨﺎ ﺣﺎﻝ ﺍﳌﺰﺭﻋﺔ ﺍﳌﺴﺤﻮﺑﺔ ،ﳒﺪ ﺃﻧﻨﺎ ﻧﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ ﻧﺘﻴﺠﺘﲔ ﻣﺘﻌﺎﻗﺒﺘﲔ ﳘﺎ :
ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻷﻭﱄ ﻭﳍﺎ ﺣﺎﻟﺘ ﺎﻥ } :ﺍﳌﺰﺭﻋﺔ ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﺘﺴﻤﻴﺪ ) (A1ﺃﻭ ﺍﳌﺰﺭﻋﺔ ﻻ ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ) { (A2
ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻭﳍﺎ ﺣﺎﻟﺘﺎﻥ } :ﺍﳌﺰﺭﻋﺔ ﺗﺒﻴﻊ ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ ) ، (B1ﺃﻭ ﺍﳌﺰﺭﻋﺔ ﻻ ﺗﺒﻴﻊ ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ ) { (B2
ﻟﺬﺍ ﳝﻜﻦ ﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ﺷﺠﺮﺓ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ ﻟﻠﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ :
ﻭﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻻﺣﺘ ﻤﺎﻻﺕ :
-1ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﺍﳌﺰﺭﻋﺔ ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﺃﺳﻠﻮﺏ ﺍﻟﺘﺴﻤﻴﺪ ﻫﻮ :
P ( A1 ) = 0.6
103
-2ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻢ ﺃﻥ ﻫﺬﻩ ﺍﳌﺰﺭﻋﺔ ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﺃﺳﻠﻮﺏ ﺍﻟﺘﺴﻤﻴﺪ ،ﻓﺈﻥ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﺗﺒﻴﻊ ﺇﻧﺘﺎﺟﻬﺎ ﻫﻮ :
P (B1 A1 ) = 0.7
-3ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﻫﺬﻩ ﺍﳌﺰﺭﻋﺔ ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﺃﺳﻠﻮﺏ ﺍﻟﺘﺴﻤﻴﺪ ﻭﺗﺒﻴﻊ ﺇﻧﺘﺎﺟﻬﺎ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻦ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﻭﻗﻮﻉ ﺣﺎﺩ ﺛﺘﺎﻥ
ﻣﻌﺎ ) ، (B1 and A1ﻟﺬﺍ ﳛﺴﺐ ﻫﺬﺍ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ) ( 8 -7ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
) P ( A1 ∩ B1 ) = P ( A1 ) P (B1 A1
= (0.6 )(0.7 ) = 0.42
-4ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﺍﳌﺰﺭﻋﺔ ﻻ ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﺃﺳﻠﻮﺏ ﺍﻟﺘﺴﻤﻴﺪ ﻭﺗﺒﻴﻊ ﺇﻧﺘﺎﺟﻬﺎ ﻫﻮ :
) P ( A2 ∩ B1 ) = P ( A2 ) P (B1 A2
= (0.4)(0.8) = 0.32
•
ﺍﻷﺣﺪﺍﺙ ﺍﳌﺴﺘﻘﻠﺔ
Independent Events
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﳊﺎﺩﺛﺘﺎﻥ B , Aﳝﻜﻦ ﻭﻗﻮﻋﻬﻤﺎ ﻣﻌﺎ ،ﻭﻟﻜﻦ ﻭﻗﻮﻉ ﺃﺣﺪﳘﺎ ﻟﻴﺲ ﻟﻪ ﻋﻼﻗﺔ ﺑﻮﻗﻮﻉ ﺃﻭ ﻋﺪﻡ
ﻭﻗﻮﻉ ﺍﳊﺎﺩﺙ ﺍﻵﺧﺮ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ) P ( A ∩ Bﳝﻜﻦ ﺍﻟﺘﻌﺒﲑ ﻋﻨﻪ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ :
ﻭﰲ ﻫﺬﻩ ﺍﳊﺎﻟﺔ ﻳﻘﺎﻝ ﺃﻥ ﺍﳊﺎﺛﺘﺎﻥ B , Aﻣﺴﺘﻘﻠﺘﺎﻥ .
ﻣﺜـــﺎﻝ ) ( 5 -7
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻧﺴﺒﺔ ﺍﳌﺰﺍﺭﻉ ﺍﻟﱵ ﺗﻨﺘﺞ ﺧﻀﺮﻭﺍﺕ ، 60%ﻭﻧﺴﺒﺔ ﺍﳌﺰﺍﺭﻉ ﺍﻟﱵ ﺗﻨﺘﺞ ﻓﺎﻛ ﻬـ ﻪ ، 75%
ﻭﻧﺴﺒﺔ ﺍﳌﺰﺍﺭﻉ ﺍﻟﱵ ﺗﻨﺘﺞ ﺍﳋﻀﺮﻭﺍﺕ ﻭ ﺍﻟﻔﺎﻛﻬﺔ ، 50%ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻵﰐ :
-1ﻣﺎ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﻣﺰﺭﻋﺔ ﻣﺎ ﺗﻨﺘﺞ ﻓﺎﻛﻬﺔ ﺃﻭ ﺧﻀﺮﻭﺍﺕ؟
-2ﻣﺎ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻻ ﺗﻨﺘﺞ ﺍﳌﺰﺭﻋﺔ ﺍﻟﻔﺎﻛﻬﺔ ؟
-3ﻫﻞ ﺍﻧﺘﺎﺝ ﺍﳌﺰﺭﻋﺔ ﻟﻠﻔﺎﻛﻬﺔ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﻋﻦ ﺇﻧﺘﺎﺟﻬﺎ ﻟﻠﺨﻀﺮﻭﺍﺕ؟
ﺍﳊـﻞ :
ﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ Aﺣ ﺎﺩﺙ ﻳﻌﱪ ﻋﻦ " ﺍﳌﺰﺭﻋﺔ ﺗﻨﺘﺞ ﺧﻀﺮﻭﺍﺕ " B ،ﻫﻮ ﺣﺎﺩﺙ ﻳﻌﱪ ﻋﻦ " ﺍﳌﺰ ﺭﻋﺔ
ﺗﻨﺘﺞ ﻓﺎﻛﻬﺔ " ،ﻓﺈﻥ :
P ( A) = 0.6 , P ( B) = 0.75 , P ( A ∩ B) = 0.5
ﻭﻳﻜﻮﻥ :
-1ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﻣﺰﺭﻋﺔ ﻣﺎ ﺗﻨﺘﺞ ﻓﺎﻛﻬﺔ ﺃﻭ ﺧﻀﺮﻭﺍﺕ ﻫﻮ :
)P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B) − P ( A ∩ B
= (0.6 ) + (0.75) − 0.5 = 0.85
104
-2ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻻ ﺗﻨﺘﺞ ﺍﳌﺰﺭﻋﺔ ﺍﻟﻔﺎﻛﻬﺔ ﻫ ﻮ :
P ( B ) = 1 − P ( B) = 1 − 0.75 = 0.25
-3ﳌﻌﺮﻓﺔ ﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺇﻧﺘﺎﺝ ﺍﳌﺰﺭﻋﺔ ﻟﻠﻔﺎﻛﻬﺔ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﻋﻦ ﺇﻧﺘﺎﺟﻬﺎ ﻟﻠﺨﻀﺮﻭﺍﺕ ﳝﻜﻦ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ) -7
(9
P ( A) P ( B) = (0.6)(0.75) = 0.45
,
P ( A ∩ B) = 0.5
ﻭﺣﻴﺚ ﺃﻥ ، P ( A ∩ B) ≠ P ( A) P ( B) :ﻓﺈﻥ ﺇﻧﺘﺎﺝ ﺍﳌﺰﺭﻋﺔ ﻟﻠﻔﺎﻛﻬﺔ ) ، (Aﻏﲑ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﻋﻦ ﺇﻧﺘﺎﺟﻬﺎ
ﻟﻠﺨﻀﺮﻭﺍﺕ ). (B
ﻣﺜـــﺎﻝ ) ( 6 -7
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﳊﺎﺩﺛﺎﻥ B , Aﺣﺎﺩﺛﺎﻥ ﻣـ ﺴﺘﻘﻼﻥ ،ﻭﻛـﺎﻥ
P( B) = 0.5 , P ( A) = 0.6
ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ). P ( A ∪ B
ﺍﳊـــﻞ :
ﲟﺎ ﺃﻥ ﺍﳊﺎﺩﺛﺎﻥ B, Aﻣﺴﺘﻘﻼﻥ ،ﺇﺫﺍ :
)P ( A ∩ B) = P ( A) P ( B
= (0.6)(0.5) = 0.3
ﻭﻳﻜﻮﻥ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ) P ( A ∪ Bﻫﻮ:
)P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B) − P ( A ∩ B
= 0.6 + 0.5 − 0.3 = 0.8
،ﻓﺄﻭﺟـﺪ
105
ﺍﻟﻔﺼـــﻞ ﺍﻟﺜﺎﻣﻦ
ﺍﳌﺘﻐﲑﺍﺕ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻴﺔ ﻭﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻌﺎﺕ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ
Random Variables and Probability Distributions
1/8ﻣﻘــﺪﻣﺔ
ﻳﻬﺘﻢ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺑﺪﺭﺍﺳﺔ ﺍﳌﺘﻐﲑﺍﺕ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻴﺔ ،ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ ،ﻭﺃﻧﻮﺍﻋﻬـﺎ ،ﻭﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻌـﺎﺕ
ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﳍﺎ ،ﻭﺧﺼﺎﺋﺺ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻌﺎﺕ ،ﻭﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻌﺎﺕ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑﺍﺕ ﺍﻟﻌﺸﻮ ﺍﺋﻴﺔ ﺍﳋﺎﺻﺔ .
2/8ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ
: Random Variable
ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ ﻫﻮ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﺄﺧﺬ ﻗﻴﻤﺎ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﳐﺘﻠﻔﺔ ﺗﻌﱪ ﻋﻦ ﻧﺘﺎﺋﺞ ﻓﺮﺍﻍ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ،ﻭﻣﻦ ﰒ ﳎـﺎﻝ
ﻫﺬﺍ ﺍﳌﺘﻐﲑ ،ﻳﺸﻤﻞ ﻛﻞ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﳌﻤﻜﻨﺔ ﻟﻪ ،ﻭﻳﻜﻮﻥ ﻟﻜﻞ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﱵ ﻳﺄﺧﺬﻫﺎ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﻣﻌﲔ،
ﻭﻳﻨﻘﺴﻢ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌﺸ ﻮﺍﺋﻲ ﺇﱃ ﻗﺴﻤﲔ ﳘﺎ :
-1ﺍﳌﺘﻐﲑﺍﺕ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻴﺔ ﺍﳌﻨﻔﺼﻠﺔ Discrete Random Variables
-2ﺍﳌﺘﻐﲑﺍﺕ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻴﺔ ﺍﳌﺘﺼﻠﺔ ) ﺍﳌﺴﺘﻤﺮﺓ ( Continuous Random Variables
3/8ﺍﳌﺘﻐﲑﺍﺕ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻴﺔ ﺍﳌﻨﻔﺼﻠﺔ
ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ ﺍﳌﻨﻔﺼﻞ ﻫﻮ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﺄﺧﺬ ﻗﻴﻢ ﺑﻴﻨﻴﺔ ،ﻭﻣﺘﺒﺎﻋﺪﺓ ،ﻭﻳﺮﻣﺰ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍ ﺋﻲ ﺑﺸﻜﻞ ﻋﺎﻡ
ﲝﺮﻑ ﻣﻦ ﺍﳊﺮﻭﻑ ﺍﻷﲜﺪﻳﺔ ﺍﻟﻜﺒﲑﺓ X, Y, Z,….ﻭﻳﺮﻣﺰ ﻟﻠﻘﻴﻢ ﺍﻟﱵ ﻳﺄﺧﺬﻫﺎ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺑـﺎﳊﺮﻭﻑ ﺍﻷﲜﺪﻳـﺔ
ﺍﻟﺼﻐﲑﺓ ، x, y, z, … ،ﻭﻣﻦ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﻫﺬﻩ ﺍﳌﺘﻐﲑﺍﺕ :
-1ﻋﺪﺩ ﺍﻷﻭﻻﺩ ﺍﻟﺬﻛﻮﺭ ﰲ ﺍﻷﺳﺮﺓ ﺍﳌﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ ﺃﺭﺑﻊ ﺃﻭﻻﺩ . X: {x= 0,1,2,3,4} ، X
-2ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻌﻤﻼﺀ ﺍﻟﺬﻳﻦ ﻳﺘﻢ ﺇﺎﺀ ﺧﺪﻣﺘ ﻬﻢ ﺍﻟﺒﻨﻜﻴﺔ ﻛﻞ 10ﺩﻗﺎﺋﻖ . Y: {y= 0,1,2,3,….} ، Y
-3ﻋﺪﺩ ﻣﺮﺍﺕ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻧﻮﻉ ﻣﻌﲔ ﻣﻦ ﺍﻷﲰﺪﺓ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﺪﻭﺭﺓ ﺍﻟﺰﺭﺍﻋﻴﺔ .
-4ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻮﺣﺪﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻔﺔ ﻣﻦ ﺇﻧﺘﺎﺝ ﻣﺰﺭﻋﺔ ﻣﻌﻴﻨﺔ ﺗﻨﺘﺞ 200ﻭﺣﺪﺓ ﻛﻞ ﻣﻮﺳﻢ .
-5ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻮﺣﺪﺍﺕ ﺍﻟﱵ ﺗﺴﺘﻬﻠﻜﻬﺎ ﺍﻷﺳﺮﺓ ﻣﻦ ﺳﻠﻌﺔ ﻣﻌﻴﻨﺔ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﺸﻬﺮ .
ﻭﻫﻜﺬﺍ .....ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﻛﺜﲑﺓ
1 /3 /8ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﱄ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ ﺍﳌﻨﻔﺼﻞ
ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﱄ ،ﻫﻮ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﺒﲔ ﺍﺣﺘﻤﺎﻻﺕ ﺣﺪﻭﺙ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﱵ ﳝﻜﻦ ﻳﺄﺧﺬﻫﺎ ﺍﳌﺘﻐﲑ ،ﻭﺍﻟﱵ ﺗـﺮﺗﺒﻂ
ﺑ ﺎﺣﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﳌ ﻤﻜﻨﺔ ﰲ ﻓﺮﺍﻍ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ،ﻭﲟﻌﲎ ﺁﺧﺮ ﻫﻮ ﺍﻟﺘﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﻟﻨﺴﱯ ﻟﻠﻘﻴﻢ ﺍﻟﱵ ﳝﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﺄﺧﺬﻫﺎ
ﺍﳌﺘﻐﲑ .
ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﳌﺘﻐ ﲑ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ ﺍﳌﻨﻔـﺼﻞ Xﻳﺄﺧـﺬ ﺍﻟﻘـﻴﻢ ، X : {x = x1 , x2 ,..., xn } ،ﻭﻛـﺎﻥ
106
) P ( X = xi ) = f ( xiﻫﻮ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ ﻳﺄﺧﺬ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ، xiﻓﺈﻧﻪ ،ﳝﻜـﻦ ﺗﻜـﻮﻳﻦ
ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﱄ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ ، Xﻭﻫﻮ ﺟﺪﻭﻝ ﻣﻜﻮﻥ ﻣﻦ ﻋﻤﻮﺩﻳﻦ ،ﺍﻷﻭﻝ ﺑﻪ ﺍﻟ ﻘـﻴﻢ
ﺍﳌﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠ ﻤـﺘﻐﲑ } ، X : {x = x1 , x2 ,..., xnﻭﺍﻟﺜـﺎﱐ ﺑـﻪ ﺍﻟﻘـﻴﻢ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴـﺔ ﳍـﺬﺍ ﺍﳌـﺘﻐﲑ
) ، P ( X = xi ) = f ( xiﺃﻱ ﺃﻥ :
ﺟﺪﻭﻝ )(1 -8
ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﱄ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ ﺍﳌﻨﻔﺼﻞ
ﻭﺗﺴﻤﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ) f ( xiﺑﺪﺍﻟﺔ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ،ﻭﻣﻦ ﺧﺼﺎﺋﺺ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ :
ﻣﺜــ ﺎﻝ )(1 -8
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﻦ ﺍﳌﻌﻠﻮﻡ ﺃﻥ ﻧﺴﺒﺔ ﻣﺒﻴﻌﺎﺕ ﺃﺣﺪ ﺍﳌﺮﺍﻛﺰ ﺍﻟﺘﺠﺎﺭﻳﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﻔﺎﺡ ﺍﻷﻣﺮﻳﻜﻲ ، 0.60ﺑﻴﻨﻤﺎ
ﻳﻜﻮﻥ ﻧﺴﺒﺔ ﻣﺒﻴﻌﺎﺗﻪ ﻣﻦ ﺍﻷﻧﻮﺍﻉ ﺍﻷﺧﺮﻯ ﻟﻠﺘﻔﺎﺡ ، 0.40ﺍﺷﺘﺮﻯ ﺃﺣﺪ ﺍﻟﻌﻤﻼﺀ ﻋﺒﻮﺗﲔ ،ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ :
-1ﻛﻮﻥ ﻓﺮﺍﻍ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ .
-2ﺇﺫﺍ ﻋﺮﻑ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ Xﺑﺄﻧﻪ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻌﺒﻮﺍﺕ ﺍﳌﺸﺘﺮﺍﺓ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﻔﺎﺡ ﺍﻷﻣﺮﻳﻜﻲ ،ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺍﻵﰐ :
• ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﱄ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ . X
• ﺍﺭﺳﻢ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﳍﺬﺍ ﺍﳌﺘﻐﲑ .
• ﻛﻮﻥ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﱄ ﺍﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ .
•
ﺍﳊــ ﻞ :
ﻣﺎ ﻫﻮ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ )P ( X ≤ 1.5) ، P ( X = 1.5) ، P ( X ≤ 1) ، P ( X = 1
• ﺣﺪﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ،ﻭﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺒﻮﺍﺕ ﺍﳌﺸﺘﺮﺍ ﺓ .
ﺗﻜﻮﻳﻦ ﻓﺮﺍﻍ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ :
ﺍﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻫﻨﺎ ﻫﻮ ﺷﺮﺍﺀ ﻭﺣﺪﺗﲔ ﻣﻦ ﻋﺒﻮﺍﺕ ﺍﻟﺘﻔﺎﺡ ،ﻭﻣﻦ ﰒ ﻓﺮﺍﻍ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﻳﺘﻜﻮﻥ ﻣﻦ ﺃﺭﺑﻊ ﻧﺘﺎﺋﺞ ،ﻫﻲ :
107
•
ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﱄ ﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺒﻮﺍﺕ ﺍﳌﺸﺘﺮﺍﺓ ﻣﻦ ﺍﻟﺘ ﻔﺎﺡ ﺍﻷﻣﺮﻳﻜﻲ X
ﻣﻦ ﺍﳌﻌﻠﻮﻡ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﻤﻴﻞ ﺍﺷﺘﺮﻯ ﻋﺒﻮﺗﲔ ،ﻭﺃﻥ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻌﺒﻮﺍﺕ ﺍﳌﺸﺘﺮﺍﺓ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﻔـﺎﺡ
ﺍﻷﻣﺮﻳﻜﻲ ،ﻟﺬﺍ ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﳌﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ ﻫﻲ :
x= 0ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻌﺒﻮﺗﲔ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﺍﻵﺧﺮ ،ﺃﻯ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ) ﺁﺧﺮ ،ﺁﺧ ﺮ (
x= 1ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺃﺣﺪ ﺍﻟﻌﺒﻮﺗﲔ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﺍﻷﻣﺮﻳﻜﻲ ،ﺃﻱ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ) ﺁﺧﺮ ،ﺃﻣﺮﻳﻜـﻲ (
ﺃﻭ ) ﺃﻣﺮﻳﻜﻲ ،ﺁﺧﺮ (
x= 2ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻌﺒﻮﺗﲔ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﺍﻷﻣﺮﻳﻜﻲ ،ﺃﻱ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ) ﺃﻣﺮﻳﻜﻲ ،ﺃﻣﺮﻳﻜﻲ (
ﻭﻣﻦ ﰒ ﻳﺄﺧﺬ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﻘﻴﻢ ، X: {x= 0,1,2} :ﻭﻳﺮﺗﺒﻂ ﺍﺣﺘﻤﺎﻻﺕ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺑﺎﺣﺘﻤﺎﻻﺕ ﻧﺘﺎﺋﺞ
ﺍﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺍﳌﻨﺎﻇﺮﺓ ﳍﺎ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﺒﲔ ﺃﻋﻼﻩ ،ﻭﻣﻦ ﰒ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﱄ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ Xﻫﻮ :
ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﱄ ﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺒﻮﺍﺕ ﺍﳌﺸﺘﺮﺍ ﺓ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﻔﺎﺡ ﺍﻷﻣﺮﻳﻜﻲ
) f ( xi
xi
0.16
0.48
0.36
1
0
1
2
Σ
• ﺭﺳﻢ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ): f(x
• ﺗﻜﻮﻳﻦ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﱄ ﺍﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ :
ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ ،ﻫﻮ ﺟﺪﻭﻝ ﻳﺸﻤﻞ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻨﺎﲡﺔ ﻣﻦ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ) ، P ( X ≤ xﻭﻳﺮﻣﺰ
108
ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) ، F (xﺃﻱ ﺃﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﱄ ﺍﻟﺘﺠ ﻤﻴﻌﻲ ﺗﺄﺧﺬ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﻭﻣﻦ ﰒ ﳝﻜﻦ ﺗﻜﻮﻳﻦ ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﱄ ﺍﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ ﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻮﺣﺪﺍﺕ ﺍﳌـﺸﺘﺮﺍﺓ ﻣـﻦ ﺍﻟﺘﻔـﺎﺡ
ﺍﻷﻣﺮﻳﻜﻲ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﱄ ،ﻭﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ ﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺒﻮﺍﺕ ﺍﳌﺸﺘﺮﺍﻩ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﻔﺎﺡ ﺍﻷﻣﺮﻳﻜﻲ
) f ( xi
) F ( xi
F (0) = P ( X ≤ 0) = 0.16
0.16
0
F (1) = P ( X ≤ 1) = 0.16 + 0.48 = 0.64
0.48
1
F (2) = P ( X ≤ 2) = 0.64 + 0.36 = 1.00
0.36
2
1
•
xi
Σ
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ P ( X ≤ 1.5) ، P ( X = 1.5) ، P ( X ≤ 1) ، P ( X = 1) -:
P ( X = 1) = f (1) = 0.48
P ( X ≤ 1) = F (1) = 0.64
P ( X = 1.5) = f (1.5) = 0
P ( X ≤ 1.5) = F (1.5) = F (1) = 0.64
• ﲢﺪﻳﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ،ﻭﺍﳌﻨﻮﺍﻝ .
ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ -:ﺭﺗﺒﺔ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻫﻮ ، 0.50ﺇﺫﺍ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ Mﻫﻮ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﱵ ﲢﻘﻖ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ :
، P ( X ≤ M ) = F ( M ) = 0.50ﻭﻫﺬﺍ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﻳﻘﻊ ﺑﲔ ﺍﻟ ﻘﻴﻤﺘﲔ ) (1,0ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﺒﲔ ﺑﺎﻟﺮﺳﻢ
ﺍﻟﺘﺎﱄ :
) F ( xi
xi
0.16
0
F ( M ) = 0.50
ﺇﺫﺍ ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﻫﻲ :
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ :
0.5 − 0.16
× (1 − 0) = 0.71
0.64 − 0.16
M
0.64
1
1.00
2
M = 0+
ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ = Modeﺍﻟﻘﻴﻤﺔ xiﺍﳌﻨﺎﻇﺮﺓ ﻷﻛﱪ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ .
ﺇﺫﺍ ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ﻫﻮ :
Mode = 1ﺣﻴﺚ ﺃﻧﻪ ﻳﻨﺎﻇﺮ ﺃﻛﱪ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﻫﻲ . f (1) = 0.48 :
109
2 /3 /8ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻭﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ ﺍﳌﻨﻔﺼﻞ
ﺃ -ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻠﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) µﻣﻴﻮ ( ،ﻭﳛﺴﺐ ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﺏ -ﻭﺃﻣﺎ ﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻭﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑ ﺎﻟﺮﻣﺰ ) σ 2ﺳﻴﺠﻤﺎ ( ،ﻓﻴﺤﺴﺐ ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﻣﺜـﺎﻝ )(2-8
ﰲ ﺍﳌﺜﺎﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﺍﺣﺴﺐ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ :
ﺃ -ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺒﻮﺍﺕ ﺍﳌﺸﺘﺮﺍﺓ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﺍﻷﻣﺮﻳﻜﻲ :
ﺏ -ﺍﺣﺴﺐ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺒﻮﺍﺕ ﺍﳌﺸﺘﺮﺍﺓ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﺍﻷﻣﺮﻳﻜﻲ .
ﺕ -ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺧﺘﻼﻑ ﺍ ﻟﻨﺴﱯ :
ﺍﳊـ ﻞ
ﺃ -ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻌﺒﻮﺍﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﺍﻷﻣﺮﻳﻜﻲ :
ﳊﺴﺎﺏ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻭﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻳﺘﻢ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ) ( 4 -8 ) ، ( 3 -8ﻭﻫﺬﺍ ﻳﺘﻄﻠـﺐ
ﺗﻜﻮﻳﻦ ﺟﺪﻭﻝ ﻳﺸﻤﻞ ﺍﺎﻣﻴﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
) f ( xi
∑x
2
i
، ∑ xi f ( xi ) ,ﻭﺫﻟﻚ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
) xi2 f ( xi
) xi f ( xi
) f ( xi
xi
0
0.48
1.44
1.92
0
0.48
0.72
1.20
0.16
0.48
0.36
1
0
1
2
ﺇﺫﺍ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻫﻮ :
Σ
µ = ∑ xi f ( xi ) = 1.20
ﺏ -ﻭﳊﺴﺎﺏ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﳚﺐ ﺃﻭﻻ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻭﻫﻮ :
σ 2 = ∑ xi2 f ( xi ) − µ 2 = 1.92 − (1.20) 2 = 0.48
ﺇﺫﺍ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﻫﻲ:
σ = σ 2 = 0.48 = 0.693
ﺕ -ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺧﺘﻼﻑ ﺍﻟﻨﺴﱯ ﻫﻮ :
110
σ
0.693
= × 100
× 100 = 57.7
1.2
µ
= C.V
ﻭﺍﺟﺐ ﻣﱰﱄ -:
ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﱄ ﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻮﺣﺪﺍﺕ ﺍﻟﱵ ﺗﺴﺘﻬﻠﻜﻬﺎ ﺍﻷﺳﺮﺓ ﻣﻦ ﺃﺣﺪ ﻣﺴﺎﺣﻴﻖ ﺍﻟﻨﻈﺎﻓـﺔ
ﺧﻼﻝ ﺍﻟﺸﻬﺮ ، X
}X : {x = 0,1,2,3,4,5
5
4
0.02
0.05
3
2
0.25 0.23
1
0
0.15 0.30
) xﻋﺪﺩ ﺍﻟﻮﺣﺪﺍﺕ ﺍﻟﱵ ﺗﺴﺘﻬﻠﻜﻬﺎ ﺍﻷﺳﺮﺓ (
)f (x
ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ :
-1ﺣﺪﺩ ﻧﻮﻉ ﻫﺬﺍ ﺍﳌﺘﻐﲑ ) ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻮﺣﺪﺍﺕ ﺍﻟﱵ ﺗﺴﺘﻬﻠﻜﻬﺎ ﺍﻷﺳﺮﺓ (
-2ﺍﺣﺴﺐ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﻭﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻭﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ﻭﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍ ﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻮﺣﺪﺍﺕ ﺍﳌﺴﺘﻬﻠﻜﺔ .
-3ﻛﻮﻥ ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ ) F (xﰒ ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻵﰐ :
ﺃ -ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻷﺳﺮ ﺍﻟﱵ ﻳﻘﻞ ﺍﺳﺘﻬﻼﻛﻬﺎ ﻋﻦ ﻭﺣﺪﺗﲔ
ﺏ -ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻷﺳﺮ ﺍﻟﱵ ﻳﺰﻳﺪ ﺍﺳﺘﻬﻼﻛﻬﺎ ﻋﻦ 3ﻭﺣﺪﺍﺕ
ﺕ -ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ 500ﺃﺳﺮﺓ ،ﻓﻤﺎ ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺳﺮ ﺍﳌﺘﻮﻗﻊ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﺳﺘﻬﻼﻛﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ
3ﻭﺣﺪﺍﺕ؟
-4ﺍﺣﺴﺐ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ ،ﻭﻛﺬﻟﻚ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺧﺘﻼﻑ ﺍﻟﻨﺴﱯ ،ﻭﻋﻠﻖ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ .
4/8ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻌﺎﺕ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﺍﳌﻨﻔﺼﻠﺔ ﺍﳋﺎﺻﺔ
ﰲ ﻛﺜﲑ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻮﺍﺣﻲ ﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻘﻴﺔ ،ﺗﺘﺒﻊ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻈﻮﺍﻫﺮ ﺗﻮﺯﻳﻌﺎﺕ ﺍﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﺧﺎﺻﺔ ،ﻭﻫﻲ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻌﺎﺕ
ﺍﻟﱵ ﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﺣﺘﻤﺎﻻﺕ ﻗﻴﻢ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﻋﻦ ﻃﺮﻳﻖ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺭ ﻳﺎﺿﻴﺔ ،ﺗﺴﻤﻰ ﺑﺪﺍﻟﺔ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ) ، f (xﻭﻫﺬﻩ
ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﳍﺎ ﻣﻌﺎﱂ ﻣﻌﻴﻨﺔ ،ﺗﺴ ﻤﻰ ﲟﻌﺎﱂ ﺍﺘﻤﻊ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﻨﺴﺐ ﻟﻪ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ،ﻭﻫﺬﻩ ﺍﳌﻌﺎﱂ ﻣﺎ ﻫﻲ ﺇﻻ ﺣﻘـﺎﺋﻖ
ﺛﺎﺑﺘﺔ ﳎﻬﻮﻟﺔ ،ﻭ ﻫﻲ ﺍﻷﺳﺎﺱ ﰲ ﺣ ﺴﺎﺏ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﻟﻠﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﱄ ﻟﻠﻤﺠﺘﻤﻊ ﳏﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﺔ .
ﻭﻣﻦ ﺃﻫﻢ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻌﺎﺕ ﺍﻟﱵ ﺳﻴﺘﻢ ﺩﺭﺍﺳﺘﻬﺎ ﰲ ﻫﺬﺍ ﺍﳌﻘﺮﺭ ،ﺗﻮﺯﻳـﻊ ﺛﻨـﺎﺋﻲ ﺍﳊـﺪﻳﻦ ،ﻭﺍﻟﺘﻮﺯﻳـﻊ
ﺍﻟﺒﻮﺍﺳﻮﻥ .
1 /4/8ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺛﻨﺎﺋﻲ ﺍﳊﺪﻳﻦ
The Binomial Distribution
ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﰲ ﺍﳊﺎﻻﺕ ﺍﻟﱵ ﻳﻜﻮﻥ ﻟﻠﻈﺎﻫﺮﺓ ﳏﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﺔ ﻧﺘﻴﺠﺘﺎﻥ ﻓﻘﻂ ﻣﺘﻨﺎﻓﻴﺘﺎﻥ،
ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﳏﻞ ﺍﻻﻫﺘﻤﺎﻡ ﻭﺗﺴﻤﻰ ﲝﺎﻟﺔ ﺍﻟﻨﺠ ﺎﺡ ،ﻭﺍﻷﺧﺮﻯ ﺗﺴﻤﻰ ﲝﺎﻟﺔ ﺍﻟﻔﺸﻞ ،ﻭﻣﻦ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﺫﻟﻚ:
• ﻋﻨﺪ ﺇﻋﻄﺎﺀ ﻣﺮﻳﺾ ﻧﻮﻉ ﻣﻌﲔ ﻣﻦ ﺍﻷﺩﻭﻳﺔ ،ﳍﺎ ﻧﺘﻴﺠﺘﺎﻥ ) :ﺍﺳﺘﺠﺎﺑﺔ ﻟﻠﺪﻭﺍﺀ ،ﺃﻭ ﻋﺪﻡ ﺍﺳﺘﺠﺎﺑﺔ (
• ﻋﻨﺪ ﻓﺤﺺ ﻋﺒﻮﺓ ﺑﺪﺍﺧﻠﻬﺎ ﻧﻮﻉ ﻣﻌﲔ ﻣﻦ ﺍﻟﻔﺎﻛﻬﺔ ،ﳍﺎ ﻧﺘﻴﺠﺘﺎﻥ ) ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺇﻣﺎ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ﺳﻠﻴﻤﺔ ،ﺃﻭ
ﺗﻜﻮﻥ ﻣﻌﻴﺒﺔ(
• ﻋﻨﺪ ﺇﻟﻘﺎﺀ ﻗﻄﻌﺔ ﻋﻤﻠﺔ ،ﳍﺎ ﻧﺘﻴﺠﺘ ﺎﻥ ) ﻇﻬﻮﺭ ﺍﻟﻮﺟﻪ ﺍﻟﺬﻱ ﳛﻤﻞ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ،ﺃﻭ ﺍﻟﻮﺟﻪ ﺍﻟﺬﻱ ﳛﻤﻞ ﺍﻟﻜﺘﺎﺑﺔ(
• ﻧﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﰲ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ) ﳒﺎﺡ ،ﺭﺳﻮﺏ(
111
• ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﳌﺰﺍﺭﻉ ﻟﱪﻧﺎﻣﺞ ﻣﻌﲔ ﰲ ﺍﻟﺰﺭﺍﻋﺔ ) ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ،ﺃﻭ ﻻ ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ (.
ﺷﻜﻞ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﱄ ﺛﻨﺎﺋﻲ ﺍﳊﺪﻳﻦ
ﺇﺫﺍ ﻛﺮﺭﺕ ﳏﺎﻭﻟﺔ nﻣﻦ ﺍﳌﺮﺍﺕ ،ﲝﻴ ﺚ ﺃﻥ ﻛﻞ ﳏﺎﻭﻟﺔ ﳍﺎ ﻧﺘﻴﺠﺘﺎﻥ ﻓﻘﻂ ﻣﺘﻨﺎﻓﻴﺘﺎﻥ ﳘﺎ :
•
ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﳏﻞ ﺍﻻﻫﺘﻤﺎﻡ " ﺣﺎﻟﺔ ﳒﺎﺡ " ﻭﺗﺘﻢ ﺑﺎﺣﺘﻤﺎﻝ ﺛﺎﺑﺖ ﰲ ﻛﻞ ﳏﺎﻭﻟﺔ ﻫﻮ p
•
ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻷﺧﺮﻯ " ﺣﺎﻟﺔ ﻓﺸﻞ " ﻭﺗﺘﻢ ﺑﺎﺣﺘﻤﺎﻝ ﺛﺎﺑﺖ ﺃﻳﻀﺎ ﻫﻮ q = 1 − p
ﻭﺑﺎﻓﺘﺮﺍﺽ ﺃﻥ ﻫﺬﻩ ﺍﶈﺎﻭﻻﺕ ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ ،ﲟﻌﲎ ﺃﻥ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻛﻞ ﳏﺎﻭﻟﺔ ﻟﻴﺲ ﳍ ﺎ ﻋﻼﻗﺔ ﺑﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﶈﺎﻭﻟﺔ ﺍﻷﺧﺮﻯ ،
ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ Xﻳﻌﱪ ﻋﻦ ﻋﺪﺩ ﺣﺎﻻﺕ ﺍﻟﻨﺠﺎﺡ " ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﳏﻞ ﺍﻻﻫﺘﻤـﺎﻡ " ﰲ ﺍﻟــ n
ﳏﺎﻭﻟﺔ ،ﻓـﺈﻥ ﻣـﺪﻱ ﺍﳌـﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌـﺸﻮﺍﺋﻲ Xﻭﺍﻟـﺬﻱ ﻳﻌـ ﱪ ﻋـﻦ ﻋـﺪﺩ ﺣـﺎﻻﺕ ﺍﻟﻨﺠـﺎﺡ ﻫـﻮ :
} ، X : {x = 0,1,2,..., nﻭﻣﻦ ﰒ ﳛﺴﺐ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ) P ( X = x) = f ( xﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﺣﻴﺚ ﺃﻥ ) ( nx
ﻫﻲ ﻋﺪﺩ ﻃﺮﻕ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ xﻣﻦ nﻣﻊ ﺇﳘﺎﻝ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ،ﻭﲢﺴﺐ ﻛﻤﺎ ﻳ ﻠﻲ :
7 = 7 × 6 × 5 = 35 = 7
3 3 × 2 ×1
4
7 = 7 = 1
0 7
ﻣﺜـــﺎﻝ ) ( 3 -8
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﻦ ﺍﳌﻌﻠﻮﻡ ﺃﻥ ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﺸﻔﺎﺀ ﻣﻦ ﻣﺮﺽ ﻣﻌﲔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻧﻮﻉ ﻣﻌﲔ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻘﺎﻗﲑ ﺍﻟﻄﺒﻴﺔ ﻫﻮ
، 0.60ﺇﺫﺍ ﺗﻨﺎﻭﻝ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻌﻘﺎﺭ 5ﻣﺼﺎﺑﲔ ﺬﺍ ﺍﳌﺮﺽ .ﺇﺫﺍ ﻋﺮﻑ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ Xﺑﺄﻧﻪ ﻋﺪﺩ ﺍﻟـﺬﻳﻦ
ﺍﳌﺴﺘﺠﻴﺒﲔ ) ﺣﺎﻻﺕ ﺍﻟﺸﻔﺎﺀ ( ﳍﺬﺍ ﺍﻟﻌﻘﺎﺭ .
ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ :
ﺃ -ﻣﺎ ﻫﻮ ﻧﻮﻉ ﺍﳌﺘﻐﲑ؟
ﺏ -ﺍﻛﺘﺐ ﺷﻜﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ) f (xﳍﺬﺍ ﺍﳌﺘﻐﲑ .
ﺕ -ﺍﺣﺴﺐ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
• ﻣﺎ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﺳﺘﺠﺎﺑﺔ 3ﻣﺮﺿﻰ ﳍﺬﺍ ﺍﻟﻌﻘﺎﺭ ؟
• ﻣﺎ ﻫﻮ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﺳﺘﺠﺎﺑﺔ ﻣﺮﻳﺾ ﻭﺍﺣﺪ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ؟
• ﻣﺎ ﻫﻮ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﺳﺘﺠﺎﺑﺔ 2ﻣﺮﺿﻰ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻛﺜﺮ؟
ﺙ -ﺍﺣﺴﺐ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ،ﻭﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻌﺪﺩ ﺣﺎﻻﺕ ﺍﻻﺳﺘﺠﺎﺑﺔ .
112
ﺍﳊــ ﻞ :
ﺝ -ﺣﺪﺩ ﺷﻜﻞ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ .
ﺃ -ﻋﺪﺩ ﺣﺎﻻﺕ ﺍﻻﺳﺘﺠﺎﺑﺔ Xﻣﺘﻐﲑ ﻛﻤﻲ ﻣﻨﻔﺼﻞ ،ﻭﻣﺪﻯ ﻫﺬﺍ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﰲ ﻫﺬﻩ ﺍﳊﺎﻟﺔ ﻫـﻮ :
}: X : {x = 0,1,2,3,4,5
ﺏ -ﺷﻜﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ :
،n =5
ﺇﺫﺍ :
q = 1 − p = 0.40 ، p = 0.60
f ( x) = nx ( p ) x (q ) n − x
)(
= 5x (0.6) x (0.4) 5 − x , x = 0,1, 2,3, 4,5
ﺕ -ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ :
•
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﺳﺘﺠﺎﺑﺔ 3ﻣﺮﺿﻰ ﳍﺬﺍ ﺍﻟﺪﻭﺍﺀ P ( x = 3) = f (3) :
•
ﺣﺴﺎﺏ ﺍ ﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﺳﺘﺠﺎﺑﺔ ﻣﺮﻳﺾ ﻭﺍﺣﺪ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ P ( x ≥ 1) :
)(
5× 4× 3
= f (3) = 53 (0.6) 3 (0.4) 5−3
× 0.216 × 0.16 = 10 × 0.03456
3 × 2 ×1
= 0.3456
)P ( x ≥ 1) = f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + f (5) = 1 − f (0
) ([
]
= 1 − 50 (0.6) 0 (0.4) 5 = 1 − 1 × 1 × 0.01024 = 0.98976
• ﺣﺴﺎﺏ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﺳﺘﺠﺎﺑﺔ 2ﻣﺮﺿﻰ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻛﺜﺮ : P ( x ≤ 2) :
)P ( x ≤ 2) = f (2) + f (1) + f (0
)(
)(
)(
= 52 (0.6) 2 (0.4) 3 + 15 (0.6)1 (0.4) 4 + 50 (0.6) 0 (0.4) 5
5× 4
5
=
(0.36)(0.064) + (0.6)(0.0256) + 1(1)(0.01024
2 ×1
1
= 0.2304 + 0.0768 + 0.01024 = 0.31744
ﺙ -ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ،ﻭﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻌﺪﺩ ﺣﺎﻻﺕ ﺍﻻﺳﺘﺠﺎﺑﺔ :
• ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ) (µﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺛﻨﺎﺋﻲ ﺍﳊﺪﻳﻦ ﳛﺴﺐ ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ )-8
، ( 3ﻭﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﳝﻜﻦ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﱃ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:
ﺇﺫﺍ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻫﻮ :
µ = np = 5(0.60) = 3
• ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻫﻮ ﺍﳉﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ ﺍﳌﻮﺟﺐ ﻟﻠﺘﺒﺎﻳﻦ ،ﻭﳊﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﰲ
ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺛﻨﺎﺋﻲ ﺍﳊﺪﻳﻦ ﻳﺘﻢ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ) ، ( 4 -8ﻭﻣﻨﻬﺎ ﳝﻜﻦ ﺍﻟﺘﻮﺻﻞ ﺇﱃ
113
ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:
ﺇﺫﺍ ﺗﺒﺎﻳﻦ ﻋﺪﺩ ﺣﺎﻻﺕ ﺍﻻﺳﺘﺠﺎﺑﺔ ﻫﻮ:
σ 2 = npq
= 5(0.60)(0.40) = 1.2
ﻭﻣﻦ ﰒ ﻳﺄﺧﺬ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:
σ = npq
= 1.2 = 1.095
ﻭﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎﺏ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺧﺘﻼﻑ ﺍﻟﻨﺴﱯ ،ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:
σ
1.095
= × 100
× 100 = 36.5%
3
µ
= V.C
ﺝ -ﲢﺪﻳﺪ ﺷﻜﻞ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ :
ﻳ ﺘﺤﺪﺩ ﺷﻜﻞ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺛﻨﺎﺋﻲ ﺍﳊﺪﻳﻦ ﻭﻓﻘﺎ ﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﻟﻨﺠﺎﺡ pﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ
p = 0.5
ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﱄ ﺛﻨﺎﺋﻲ ﺍﳊﺪﻳﻦ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ .
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ
p < 0.5
ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﱄ ﺛﻨﺎﺋﻲ ﺍﳊﺪﻳﻦ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻮﺟﺐ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ .
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ
p > 0.5
ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻻ ﺣﺘﻤﺎﱄ ﺛﻨﺎﺋﻲ ﺍﳊﺪﻳﻦ ﻳﻜﻮﻥ ﺳﺎﻟﺐ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ .
ﻭﺣﻴﺚ ﺃﻥ p = 0.6 > 0.5ﻓﺈﻥ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﻋﺪﺩ ﺣﺎﻻﺕ ﺍﻻﺳﺘﺠﺎﺑﺔ ﺳﺎﻟﺐ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ .
2 /4/8ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺒﻮﺍﺳﻮﱐ
Poisson Distribution
ﻳﻜﺜﺮ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﰲ ﺍﳊﺎﻻﺕ ﺍﻟﱵ ﺗﻘﻊ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻷﺣﺪﺍﺙ ﻭﻓﻘﺎ ﳌﻌﺪﻻﺕ ﺯﻣﻨﻴﺔ ،ﻭﻛﺬﻟﻚ ﰲ
ﺣﺎ ﻟﺔ ﺍﻷﺣﺪﺍﺙ ﻧﺎﺩﺭﺓ ﺍﻟﻮﻗﻮﻉ ،ﻭﻣﻦ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﺫﻟﻚ:
•
ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻮﺣﺪﺍﺕ ﺍﻟﱵ ﺗﺴﺘﻬﻠﻜﻬﺎ ﺍﻷﺳﺮﺓ ﻣﻦ ﺳﻠﻌﺔ ﻣﻌﻴﻨﺔ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﺸﻬﺮ X : {x = 0,1,2,...} .
•
ﻋﺪﺩ ﻣﺮﺍﺕ ﺭﻱ ﻧﻮﻉ ﻣﻌﲔ ﻣﻦ ﺍﶈﺎﺻﻴﻞ ﺍﻟﺰﺭﺍﻋﻴﺔ ﺧﻼﻝ ﺍﳌﻮﺳﻢ X : {x = 0,1,2,...} .
•
ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻌﻤﻼﺀ ﺍﻟﺬﻳﻦ ﻳﺘﻢ ﺧﺪﻣﺘﻬﻢ ﺍﻟﺒﻨﻜﻴﺔ ﻛﻞ 10ﺩﻗﺎﺋﻖ X : {x = 0,1,2,...} .
•
ﻋﺪﺩ ﻣﺮﺍﺕ ﺯﻳﺎﺭﺓ ﺍﳌﺮﻳﺾ ﻟﻠﻄﺒﻴﺐ ﻛﻞ ﺳﻨﺔ X : {x = 0,1,2,...} .
•
ﻋﺪﺩ ﻣﺮﺍﺕ ﺗﻨﺎﻭﻝ ﺍﻷﺳﺮﺓ ﻟﻠﺤﻮﻡ ﺍﳊﻤﺮﺍﺀ ﺧﻼﻝ ﺍﻷﺳﺒﻮﻉ X : {x = 0,1,2,...} .
•
ﻋﺪﺩ ﺃﺧﻄﺎﺀ ﺍﻟﻄﺒﺎﻋﺔ ﻟﻜﻞ ﺻﻔﺤﺔ ﻣﻦ ﺻﻔﺤﺎﺕ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ X : {x = 0,1,2,...} .
ﻭﻫﻜﺬﺍ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﻛﺜﲑﺓ
ﺷﻜﻞ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﱄ ﺍﻟﺒﻮﺍﺳﻮﱐ
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻋﺪﺩ ﻣﺮﺍﺕ ﻭﻗﻮﻉ ﺣﺎﺩﺙ ﻭﻓﻘﺎ ﳌﻌﺪﻝ ﺯﻣﲏ ﻣﻌﲔ ﻫـﻮ ، µﻭﻛـﺎﻥ ﺍﳌـﺘﻐﲑ
ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ Xﻳﻌﱪ ﻋﻦ ﻋﺪﺩ ﻣﺮﺍﺕ ﻭﻗﻮﻉ ﺍﳊﺎﺩﺙ ﻭﻓﻘﺎ ﳍﺬﺍ ﺍﳌﻌﺪﻝ ،ﻓﺈﻥ ﻣﺪﻱ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ Xﻫﻮ:
} ، X : {x = 0,1,2,...ﻭﻫﺬﺍ ﺍﳌـﺪﻯ ﻋﺒـﺎﺭﺓ ﻋـﻦ ﻓﺌـﺔ ﻣﻔﺘﻮﺣـﺔ ﻣـﻦ ﺍﻟـﻴﻤﲔ ،ﻓـﺈﻥ ﺍﻻﺣﺘﻤـﺎﻝ
114
) P ( X = x) = f ( xﻭﺍﻟﺬﻱ ﻳﻌﱪ ﻋﻦ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﻭﻗﻮﻉ ﺍﳊﺎﺩﺙ ﻋﺪﺩ xﻣﻦ ﺍﳌﺮﺍﺕ ﻭﻓﻘﺎ ﳍـﺬﺍ ﺍﳌﻌـﺪﻝ،
ﳛﺴﺐ ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﺣﻴﺚ ﺃﻥ eﻫﻲ ﺃﺳﺎﺱ ﺍﻟﻠﻮﻏﺎﺭﻳﺘﻢ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ،ﻭ ﺗﻮ ﺟﺪ ﰲ ﺑﻌﺾ ﺍﻵﻻﺕ ﺍﳊﺎﺳﺒﺔ ،ﻭﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﻫﻲe = 2.718 :
ﺗﻘﺮﻳﺒﺎ ،ﻭﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎﺏ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﺍﻟﺔ ﺍﳊﺎﺳﺒﺔ ﺑﺎﺗﺒﺎﻉ ﺍﳋﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺸﻤﺎﻝ ﺇﱃ ﺍﻟﻴﻤﲔ :
ﻣﺜﻼ ﺇﳚﺎﺩ e − 1.5
ﻭﺃﻣﺎ ! xﻓﺘﺴﻤﻰ "ﻣﻀﺮﻭﺏ ﺍﻟﻌﺪﺩ " xﻭﻳﺴﺎﻭﻱ x!= x( x − 1)( x − 2)...3 × 2 × 1 :
ﻣﺜــﺎﻝ ) ( 4 -8
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﻦ ﺍﳌﻌﻠﻮﻡ ﺃﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻮﺣﺪﺍﺕ ﺍﻟﱵ ﺗﺴﺘﻬﻠﻜﻬﺎ ﺍﻷﺳﺮﺓ ﻣﻦ ﺳﻠﻌﺔ ﻣﻌﻴﻨﺔ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﺸﻬﺮ ﺗﺘﺒﻊ
ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺑﻮﺍﺳﻮﻥ ﲟﺘﻮﺳﻂ 3ﻭﺣﺪﺍﺕ ﺷﻬﺮﻳﺎ ،ﺇﺫﺍ ﻋﺮﻑ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ Xﺑﺄﻧﻪ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻮﺣـﺪﺍﺕ ﺍ ﻟـﱵ
ﺗﺴﺘﻬﻠﻜﻬﺎ ﺍﻷﺳﺮﺓ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﺸﻬﺮ ﻣﻦ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺴﻠﻌﺔ .
ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ :
ﺃ -ﻣﺎ ﻫﻮ ﻧﻮﻉ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ؟
ﺏ -ﺍﻛﺘﺐ ﺷﻜﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ) f (xﳍﺬﺍ ﺍﳌﺘﻐﲑ .
ﺡ -ﺍﺣﺴﺐ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
• ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﺍﻷ ﺳﺮﺓ ﺗﺴﺘﻬﻠﻚ ﻭﺣﺪﺗﲔ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﺸﻬﺮ؟
• ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﺃﺳﺮﺓ ﻣﺎ ﺗﺴﺘﻬﻠﻚ ﻭﺣﺪﺓ ﻭﺍﺣﺪ ﻋﻠﻰ ﺍﻷ ﻗﻞ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﺸﻬﺮ؟
• ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﺃﺳﺮﺓ ﻣﺎ ﺗﺴﺘﻬﻠﻚ 3ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻛﺜﺮ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﺸﻬﺮ؟
ﺥ -ﺍﺣﺴﺐ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ،ﻭﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻮﺣﺪﺍﺕ ﺍﳌﺴﺘﻬﻠﻜﺔ .
ﺩ -ﺣﺪﺩ ﺷﻜﻞ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ .
ﺍﳊـ ﻞ :
ﺃ -ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻮﺣﺪﺍﺕ ﺍﻟﱵ ﺗﺴﺘﻬﻠﻜﻬﺎ ﺍﻷﺳﺮﺓ Xﻣﺘﻐﲑ ﻛﻤﻲ ﻣﻨﻔﺼﻞ ،ﻭﻣﺪﻯ ﻫﺬﺍ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﰲ ﻫ ﺬﻩ
ﺍﳊﺎﻟﺔ ﻫﻮ : X : {x = 0,1,2,3,...} :
ﺏ -ﺷﻜﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ :
ﲟﺎ ﺃﻥ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻮﺣﺪﺍﺕ ﺍﻟﱵ ﺗﺴﺘﻬﻠﻜﻬﺎ ﺍﻷﺳﺮﺓ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﺸﻬﺮ ﻫﻮ ، µ = 3 :ﺇﺫﺍ
ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﻫﻲ :
115
, x = 0,1, 2,...
e −µ µ x
= )f ( x
!x
e −3 3 x
=
!x
ﺡ -ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ :
•
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﺃﺳﺮﺓ ﻣﺎ ﺗﺴﺘﻬﻠﻚ ﻭﺣﺪﺗﲔ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﺸ ﻬﺮf(2) ،
)e −3 32 0.0498(9
=
= 0.22404
!2
2 ×1
= )f (2
• ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﺃﺳﺮﺓ ﻣﺎ ﺗﺴﺘﻬﻠﻚ ﻭﺣﺪﺓ ﻭﺍﺣﺪ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﺸﻬﺮ ﻫﻮ :
P ( X ≥ 1) = f (1) + f (2) + ....
e −3 30 0.0498
=
= 1 − 0.0498 = 0.9502
!0
1
= 1 − f (0) = 1 −
• ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﺃﺳﺮﺓ ﻣﺎ ﺗﺴﺘﻬﻠﻚ 3ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻛﺜﺮ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﺸﻬﺮ ﻫﻮ :
)P ( X ≤ 3) = f (3) + f (2) + f (1) + f (0
e −3 33 e −3 32 e −3 31 e −3 30 0.0498
+
+
+
!3
!2
!1
!0
1
=
27 9 3 1
= 0.0498 + + + = 0.0498(13) = 0.6474
6 2 1 1
ﺥ -ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ،ﻭﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻌﺪﺩ ﺣﺎﻻﺕ ﺍﻻﺳ ﺘﺠﺎﺑﺔ :
• ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ) (µﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺒﻮﺍﺳﻮﻥ ﻫﻮ ﻣﻌﻠﻤﺔ ﻣﻌﻄﺎﺓ ﻫﻲ:
µ =3
ﰲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ:
ﺃﻱ ﺃﻥ :
σ2 =µ =3
ﻭﻣﻦ ﰒ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻫﻮ:
σ = µ = 3 = 1.732
ﻭﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎﺏ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺧﺘﻼﻑ ﺍﻟﻨﺴﱯ ،ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﱵ ﺳﺒﻖ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﰲ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ،ﻭﻫﻮ:
σ
1.732
= × 100
× 100 = 57.7%
3
µ
ﺩ -ﲢﺪﻳﺪ ﺷﻜﻞ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ :
ﺩﺍﺋﻤﺎ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺒﻮﺍﺳﻮﻥ ﻣﻮﺟﺐ ﺍﻻﻟﺘﻮﺍﺀ .
= V.C
116
5/8ﺍﳌﺘﻐﲑﺍﺕ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻴﺔ ﺍﳌﺴﺘﻤﺮﺓ
Continuous Random Variables
ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ ﺍﳌﺴﺘﻤﺮ ،ﻫﻮ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﺄﺧﺬ ﻗﻴﻤﺎ ﻣﺘﺼﻠﺔ ،ﻭﻳﺄﺧﺬ ﻋﺪﺩ ﻻﺎﺋﻲ ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﳌﻤﻜﻨﺔ ﻟﻪ
ﺩﺍﺧــﻞ ﳎﺎﻟــﻪ ،ﻓــﺈﺫﺍ ﻛــﺎﻥ Xﻣــﺘﻐﲑ ﻋــﺸﻮﺍﺋﻲ ﻣــﺴﺘﻤﺮ ،ﻭﻳﻘــﻊ ﰲ ﺍﳌــﺪﻯ ) ، (a,bﺃﻱ
ﺃﻥ ، { X = x : a < x < b} :ﻓﺈﻥ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ Xﻋﺪﺩ ﻻﺎﺋﻲ ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺗﻘﻊ ﺑﲔ ﺍﳊـﺪﻳﻦ ﺍﻷﺩﱏ ﻭﺍﻷﻋﻠـﻰ
) ، (a,bﻭﻣﻦ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﳌﺘﻐﲑﺍﺕ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﳌﺴﺘﻤﺮﺓ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ :
•
ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻷﻟﺒﺎﻥ ﺍﻟﱵ ﺗﻨﺘﺠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻘﺮﺓ ﰲ ﺍﻟﻴﻮﻡ ﺑﺎﻟﻠﺘﺮ { X = x : 10 < x < 40} :
•
ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﱰﺭﻋﺔ ﺑﺎﻷﻋﻼﻑ ﰲ ﺍﳌﻤﻠﻜﺔ ﺑﺎﻷﻟﻒ ﻫﻜﺘﺎﺭ }{ X = x : 1000 < x < 15000
• ﻓﺘﺮﺓ ﺻﻼﺣﻴﺔ ﺣﻔﻆ ﺍﻟﺪﺟﺎﺝ ﺍﳌﱪﺩ ﺑﺎﻷﻳﺎﻡ{ X = x : 1 < x < 5} ،
•
ﻭﺯﻥ ﺍﳉﺴﻢ ﺑﺎﻟﻜﻴﻠﻮﺟﺮﺍﻡ ﻟﻸﻋﻤﺎﺭ ﻣﻦ ){ X = x : 55 < x < 80} ، (40-30
ﻭﻫﻜﺬﺍ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﻜﻤﻲ ﺍﳌﺴﺘﻤﺮ ﻛﺜﲑﺓ .
1 /5 /8ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﱄ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ ﺍﳌﺴﺘﻤﺮ
Continuous Probability
ﻋﻨﺪ ﲤﺜﻴﻞ ﺑﻴﺎﻧﺎﺕ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﻜﻤﻲ ﺍﳌﺴﺘﻤﺮ ﰲ ﺷﻜﻞ ﻣﺪﺭﺝ ﺗﻜﺮﺍﺭﻱ ﺍﻟﻨﺴﱯ ،ﳒﺪ ﺃﻥ ﺷﻜﻞ ﻫﺬﺍ ﺍﳌﺪﺭﺝ
ﻫﻮ ﺃﻗﺮﺏ ﻭﺻﻒ ﳌﻨﺤﲎ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﱄ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ ﺍﳌﺴﺘﻤﺮ ،ﻭﻛﻠﻤﺎ ﺿﺎﻗﺖ ﺍﻟﻔﺘﺮﺍﺕ ﺑﲔ ﻣﺮﺍﻛﺰ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ،
ﳝﻜﻦ ﺍﳊﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﺭﺳﻢ ﺩﻗﻴﻖ ﻟﻠﻤﻨﺤﲎ ﺍﳋﺎﺹ ﺑﺪﺍﻟﺔ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﳌﺴﺘﻤﺮ ،ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣـﺒﲔ ﺑﺎﻟـﺸﻜﻞ
ﺍﻟﺘﺎﱄ :
ﺷﻜﻞ )(1 -8
ﺷﻜﻞ ﻣﻨﺤﲎ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻻﺣ ﺘﻤﺎﱄ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ ﺍﳌﺴﺘﻤﺮ
117
ﻭﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺃﺳﻔﻞ ﺍﳌﻨﺤﲎ ﺗﻌﱪ ﻋﻦ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ،ﻭﻟﺬﺍ ﺗﺴﺎﻭﻱ ﻫﺬﻩ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻮﺍﺣـﺪ
ـﺎﻝ Probability Distribution
ﺍﻟــﺼﺤﻴﺢ ،ﻭﺗــﺴﻤﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟــﺔ ) f(xﺑﺪﺍﻟــﺔ ﻛﺜﺎﻓــﺔ ﺍﻻﺣﺘﻤـ
) ، Function(p.d.fﻭﺑﻔﺮﺽ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ ﺍﳌﺴﺘﻤﺮ ﻳﻘﻊ ﰲ ﺍﳌ ﺪﻯ ، X = {x : a π x π b} :ﻭﺃﻥ
ﻣﻨﺤﲎ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻳﺄﺧﺬ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﻓﺈﻥ ﻣﻦ ﺧﺼﺎﺋﺺ ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ) f (xﻣﺎ ﻳﻠﻲ :
-1ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ) f (xﻣﻮﺟﺒﺔ ﺩﺍﺧﻞ ﺍﳌﺪﻯ ) (a,bﺃﻱ ﺃﻥ x ∈ (a , b) ، f ( x) φ 0 :
-2ﺍﻟﺘ ﻜﺎﻣﻞ ﻋﻠﻰ ﺣﺪﻭﺩ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﻣﻦ ﺍﳊﺪ ﺍﻷﺩﱏ aﺣﱴ ﺍﳊﺪ ﺍﻷﻋﻠـﻰ bﻳﻌـﱪ ﻋـﻦ ﳎﻤـﻮﻉ
ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ،ﻟﺬﺍ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ،ﺃﻱ ﺃﻥ :
ﺣﻴﺚ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻲ ﺃﻋﻼﻩ ﻳﺴﻤﻰ ﺑﺎﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺍﶈﺪﺩ ﻣﻦ x = aﺣﱴ ، x = bﻭﻫﺬﺍ ﻳﻌـﲏ
ﺇﳚﺎﺩ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺃﺳ ﻔﻞ ﺍﳌﻨﺤﲏ ﺑﲔ ). (a , b
-3ﳊﺴﺎﺏ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ ﺍﳌﺴﺘﻤﺮ ﻳﻘﻊ ﰲ ﺍﳌﺪﻯ ) (d,cﺃﻱ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻻﺣﺘﻤـﺎﻝ
) ، p(c < x < dﳚﺐ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺃﺳﻔﻞ ﺍﳌﻨﺤﲏ ﻣﻦ x = cﺣﱴ x = dﻛﻤﺎ ﻫﻲ
ﻣﺒﻴﻨﺔ ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﱐ ﺍﻟﺘﺎﱄ :
118
ﻭﻳﺘﻢ ﺫﻟﻚ ﺑﺈﳚﺎﺩ ﺍﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺍﶈﺪﺩ ﰲ ﻫﺬﺍ ﺍﳌﺪﻯ ،ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
-4ﰲ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﳌﺴﺘﻤﺮ ،ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ) p( x = valueﻣﺴﺎﻭﻳﺎ ﻟﻠﺼﻔﺮ ،ﺃﻱ ﺃﻥ :
ﻭﻟﻜﻲ ﳝﻜﻨﻨﺎ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ ،ﳚﺐ ﻋﺮﺽ ﺑﻌﺾ ﻗﻮﺍﻋﺪ ﺍﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﺟﺪﻭﻝ )(2 -8
ﺑﻌﺾ ﻗﻮﺍﻋﺪ ﺍﻟﺘﻜﺎﻣﻞ
(a + bx) n +1
)b ( n +1
∫ e dx = e
1
∫ (a +bx) dx = log
)( a + bx
integration
) e ( a + bx
n
= ∫ (a + bx) dx
1
b
) ( a + bx
1
b
xn +1
and
n +1
n
= ∫ x dx
∫ e dx = e
1
)∫ x dx = log ( x
x
and
and
x
e
)(1
)(2
)(3
∞
gamma
Γ( n + 1) = ∫ xn e − xdx = n!= n(n − 1)(n − 2)...3 × 2 × 1
Incomplete
gamma
a
n
ai
IΓ(n + 1) = ∫ xne − xdx = n!1 − e − a ∑
i = 0 i!
0
)(5
= B(m + 1, n + 1) = ∫ xn (1 − x) m dx
)(6
)(4
0
Beta
!m!n
!)(m + n + 1
1
0
ﻣﺜـ ﺎﻝ ) ( 5 -8
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻹﻧﻔﺎﻕ ﺍﻟﺸﻬﺮﻱ ﻟﻸﺳﺮﺓ ﺑﺎﻷﻟﻒ ﺭﻳﺎﻝ ﻋﻠﻰ ﺍﳌﻮﺍﺩ ﺍﻟﻐﺬﺍﺋﻴﺔ ﻟﻪ ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺗﺄﺧﺬ
ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
cx(10 − x) , 0 < x < 10
0 otherwise
ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ :
-1ﺣﺴﺎﺏ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺜﺎﺑﺖ c
{ = )f ( x
119
-2ﺍﺣﺴﺐ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﺇﻧﻔﺎﻕ ﺍﻷﺳﺮﺓ ﻳﺘﺮﺍﻭﺡ ﻣﺎ ﺑﲔ ) (8,5ﺃﻟﻒ ﺭﻳﺎﻝ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﺸﻬﺮ .
-3ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ 600ﺃﺳﺮﺓ ،ﻓﻤﺎ ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺳﺮ ﺍﳌﺘﻮﻗﻊ ﺃﻥ ﻳﻘﻞ ﺇﻧﻔﺎﻗﻬﺎ ﻋـﻦ 3ﺁﻻﻑ ﺧـﻼﻝ
ﺍﻟﺸﻬﺮ؟
ﺍﳊـــﻞ
-1ﺣﺴﺎﺏ ﻗﻴﻤﺔ c
ﻣﻦ ﺧﺼﺎﺋﺺ ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ :
x=b
f ( x) dx = 1
∫
x=a
ﺇﺫﺍ
10
x2 x3
∫x= 0cx(10 − x) dx = c x∫= 0(10 x − x ) dx = c 10 2 − 3
0
x =10
x =10
2
10
x3
(1000)
= c 5 x2 − = c (5(100) −
) −0
3 0
3
500
c =1
=
3
c = 3 500 = 0.006
-2ﺣﺴﺎﺏ ﺃﻥ ﺇﻧﻔﺎﻕ ﺍﻷﺳﺮﺓ ﻳﺘﺮﺍﻭﺡ ﺑﲔ ) (8,5ﺃﻟﻒ ﺭﻳﺎﻝ ﺧﻼ ﺍﻟﺸﻬﺮ ﻫﻮ .
8
x =8
x3
p(5 < x < 8) = ∫ 0.006 x(10 − x) dx = 0.0065 x2 −
3 5
x= 5
83
53
])= 0.006 5(8) 2 − − 5(5) 2 − = 0.006[(149.3333) − (83.3333
3
3
= 0.006(66) = 0.396
-3ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ 600ﺃﺳﺮﺓ ،ﻓﺈﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺳﺮ ﺍﳌﺘﻮﻗﻊ ﺃﻥ ﻳﻘﻞ ﺇﻧﻔﺎﻗﻬﺎ ﻋﻦ 3ﺁﻻﻑ ﺧﻼﻝ ﺍﻟـﺸﻬﺮ
ﻫﻮ :
)number of family = 600 p ( x < 3
3
= 600∫ 0.006 x(10 − x)dx
0
3
x3
= 3.6 5 x2 − = 3.6[45 − 9] − 0 = 129.6 ≈ 130
3 0
ﺣﻮﺍﱄ 130ﺃﺳﺮﺓ .
2 /5 /8ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ ﻭﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﰲ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﱄ ﺍﳌﺴﺘﻤﺮ
120
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ) f (xﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ a < x < b ، xﻓﺈﻥ ﺍﻟﺘﻮﻗـﻊ
ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ ) h(xﺗﺄﺧﺬ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﻭﻣﻦ ﰒ ﳝﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﻭﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ .
ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺜﺎﻝ ) ( 5 -8
ﰲ ﺍﳌﺜﺎﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﺃﻭﺟﺪ ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ ﻭﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻭﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺧﺘﻼﻑ ﺍﻟﻨﺴﱯ ﻟﻺﻧﻔﺎﻕ ﺍﻟﺸﻬﺮﻱ .
ﺍﳊـــﻞ
-1ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ
10
10
µ = E ( x) = xf ( x)dx = ∫ x(0.006 x(10 − x) ) = 0.006 ∫ (10 x2 − x3 )dx
0
0
10
x
10000 10000
x
−
= 0.00610 − = 0.006
− (0 )
4 0
4
3
3
1
= 60 = 5
12
4
3
ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺇﻧﻔﺎﻕ ﺍﻷﺳﺮﺓ ﺍﻟﺸﻬﺮﻱ 5ﺁﻻﻑ ﺭﻳﺎﻝ .
-2ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ
σ 2 = E ( x 2 ) − u 2 = E ( x 2 ) − (5) 2
b
10
E ( x ) = ∫ x f ( x) dx = 0.006 ∫ (10 x3 − x4 )dx
2
2
a
0
10
x4 x5
100000 100000
= 0.00610 − = 0.006
−
−0
5
4
4 5 0
1
= 600 = 30
20
ﺇﺫﺍ ﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻫﻮ :
، σ 2 = 30 − 25 = 5ﻭﻣﻦ ﰒ ﻳﺄﺧﺬ ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
σ = var iance = 5 = 2.236
121
-3ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺧﺘﻼﻑ ﺍﻟﻨﺴﱯ
σ
2.236
= × 100
× 100 = 44.72%
5
µ
ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ
= C.V
(C.D.F) Cumulative Distribution Function
ﻳﺮﻣﺰ ﳍﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) (C.D.F)= F(xﻭﲢﺴﺐ ﺑﺈﳚﺎﺩ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ :
ﻭﳝﻜﻦ ﺗﻮﺿﻴﺤﻬﺎ ﺑﻴﺎ ﻧﻴﺎ ﺑﺎﻟﺮﺳﻢ ﺍﻟﺘﺎﱄ :
ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺜﺎﻝ ) ( 5 -8
ﰲ ﺍﳌ ﺜﺎﻝ ) ( 5 -8ﺃﻭﺟﺪ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ ، C.D.Fﰒ ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﻟـﺔ ﳊـﺴﺎﺏ
ﺍﺣ ﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﺇﻧﻔﺎﻕ ﺍﻷﺳﺮﺓ ﻳﻘﻞ ﻋﻦ 5ﺁﻻﻑ ﺟﻨﻴﻪ .
ﺍﳊــﻞ
•
ﺇﳚﺎﺩ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ C.D.F
x
F ( x) = ∫ f ( x) dx
x
x3
−
3 0
•
0
x
x2
= ∫ 0.006 x(10 − x)dx = 0.00610
2
0
x3
= 0.0065 x2 −
3
ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ) ، F (5) = p ( x ≤ 5ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﺒﲔ ﺑﺎﻟﺮﺳﻢ ﺍﻟﺘﺎﱄ :
ﻭﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎﺏ ﻫﺬﺍ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ x = 5ﰲ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ) F(xﺍﻟﱵ ﰎ ﺍﻟﺘﻮﺻﻞ ﺇﻟﻴﻬﺎ ،ﺃﻱ
ﺃﻥ :
122
= )F (5) = P ( x ≤ 5
2 x3
125
= 0.0065 x − = 0.006 125 −
3
3
250
= 0.006
= 0.5
3
ﺃﻱ ﺃﻥ 50%ﻣﻦ ﺍﻷﺳﺮ ﻳﻘﻞ ﺇﻧﻔﺎﻗﻬﺎ ﻋﻦ 5ﺁﻻﻑ ﺭﻳﺎﻝ .
ﺧﺼﺎﺋﺺ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ
F ( x) φ 0 -1
F ( a ) = 0 -2
F (b) = 1 -3
p( x φ x) = 1 − F ( x) -4
f ( x) = dF ( x) dx -5
6/8ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻌﺎﺕ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﺍﳌﺴﺘﻤﺮﺓ ﺍﳋﺎﺻﺔ
Continuous Probability Distributions
ﻫﻨﺎﻙ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻌﺎﺕ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﺍﳌﺴﺘﻤﺮﺓ ﺍﳋﺎﺻﺔ ،ﻭﳍﺎ ﺩﻭﺍﻝ ﻛﺜﺎﻓﺔ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﳏﺪﺩﺓ ،ﻭﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﺑﻌﺾ ﻫﺬﻩ
ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻌﺎﺕ :
1 /6 /8ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﳌﻨﺘﻈﻢ
Uniform distribution
ﺷﻜﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ
p.d.f
ﻫﻮ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﻟﻪ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺛﺎﺑﺘﺔ ،ﻭﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﻈﻮﺍﻫﺮ ﺍﻟﱵ ﳝﻜﻦ ﺃﻥ ﲢﺪﺙ ﺑﺸﻜﻞ ﻣﻨﺘﻈﻢ،
ﻓ ﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﳌﺘﻐﲑ xﻣﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮﺍﺋﻲ ﻟﻪ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﻣﻨﺘﻈﻢ ، Uniformﻣﺪﺍﻩ ﻫﻮ a < x < bﻓﺈﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ
ﺍﺣﺘﻤﺎﻟﻪ ﻫﻲ :
ﻭﳝﻜﻦ ﲤﺜﻴﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
123
ﻣﻌﺎﱂ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ
ﺗﻮﺟﺪ ﻣﻌﻠﻤﺘﺎﻥ ﳍﺬﺍ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﳘﺎ ) ، (b, aﻭﻟﺬﺍ ﻳﻜﺘﺐ ﺭﻣﺰ ﳍﺬﺍ ﺍﻟ ﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ )x ~ U (a , b
ﺧﺼﺎﺋﺺ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ
ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ، µﻭﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ σ 2ﳍﺬﺍ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﳘﺎ :
(b − a ) 2
a +b
= , σ2
12
2
= )µ = E ( x
ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺫﻟﻚ :
ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ
C.D.F
ﺗﺄﺧﺬ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ ) F ( xﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻵﰐ
ﻣﺜـﺎﻝ ) ( 6 -8
ﺍﺳﺘﻮﺭﺩ ﺃﺣﺪ ﺍﳌﺮﺍﻛﺰ ﺍﻟﺘﺠﺎﺭﻳﺔ 1500ﻃﻦ ﺑﻄﺎﻃﺲ ،ﻭﻭﺿﻌ ﻬﺎ ﰲ ﳐﺰﻥ ،ﻭﻗﺎﻡ ﺑﺒﻴﻌﻬﺎ ﺑﻜﻤﻴـﺎﺕ
ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺪﺍﺭ ﺷﻬﻮﺭ ﺍﻟﺴﻨﺔ .ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﺍﻟﺰﻣﻨﻴﺔ ﻟﻠﺒﻴﻊ ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﻣﻨﺘﻈﻢ ،ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺍﻵﰐ :
• ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﳌﻌﱪﺓ ﻋﻦ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﺍﻟﺰﻣﻨﻴﺔ ﻟﻠﺒﻴﻊ .
• ﺑﻌﺪ ﻣﺮﻭﺭ ﺳﺒﻌﺔ ﺃﺷﻬﺮ ﻣﻦ ﺑﺪﺍﻳﺔ ﺍﻟﺒﻴﻊ ،ﻣﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﳌﻮﺟﻮﺩﺓ ﺑﺎﳌﺨﺰﻥ؟
ﺍﳊـــﻞ
• ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﳌﻌﱪﺓ ﻋﻦ ﺍﻟﺰﻣﻦ :
ﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﺍﳌﺘﻐﲑ xﻳﻌﱪ ﻋﻦ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﺍﻟﺰﻣﻨﻴﺔ ﻟﻠﺒﻴﻊ ﻣﻘﺎﺳﺔ ﺑﺎﻟـﺸﻬﺮ ،ﺃﻱ ﺃﻥ ، 0 < x < 12
ﻭﻣﻦ ﰒ ﺗﺄﺧﺬ ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﳌﻌﱪﺓ ﻋﻦ ﺍﻟﺰﻣﻦ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
1
1
=
, 0 < x < 12
12 − 0 12
= )f ( x
• ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﳌﻮﺟ ﻮﺩﺓ ﺑﺎﳌﺨﺰﻥ ﺑﻌﺪ ﺳﺒﻌﺔ ﺃﺷﻬﺮ ﻣﻦ ﺑﺪﺍﻳﺔ ﺍﻟﺒﻴﻊ .
ﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ Qﻫﻲ ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻟﺒﻄﺎﻃﺲ ﺍﳌﺴﺘﻮﺭﺩﺓ ،ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﻜﻴﺔ ﺍﳌﺘﺒﻘﻴﺔ ﺑﺎﳌﺨﺰﻥ ﺑﻌﺪ ﻣـﺮﻭﺭ
ﺳﺒﻌﺔ ﺃﺷﻬﺮ ﻣﻦ ﺑﺪﺍﻳﺔ ﺍﻟﺒﻴﻊ ﻫﻲ :
7−0
) = 625 Ton
12 − 0
Q × p( x > 7) = Q × (1 − F (7)) = 1500(1 −
124
2 /6 /8ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻷﺳﻲ ﺍﻟﺴﺎﻟﺐ
ﺷﻜﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ
Negative Exponential distribution
p.d.f
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﳌﺘﻐﲑ xﻣﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮﺍﺋﻲ ﻟﻪ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺃﺳﻲ ﺳﺎﻟﺐ ،ﻣﺪﺍﻩ ﻫﻮ ∞ < 0 < xﻓﺈﻥ ﺩﺍﻟـﺔ
ﻛﺜﺎﻓﺔ ﺍﺣﺘﻤﺎﻟﻪ ﻫﻲ :
ﻭﳝﻜﻦ ﲤﺜﻴﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
ﻣﻌﺎﱂ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ
ﺗﻮﺟﺪ ﻣﻌﻠﻤﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﻫﻲ ) (θ
ﺧﺼﺎﺋﺺ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻷﺳﻰ ﺍﻟﺴﺎﻟﺐ
ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ، µﻭﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ σ 2ﳍﺬﺍ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﳘﺎ :
ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ
1
θ2
= µ = E ( x) = θ1 , σ 2
C.D.F
ﺗﺄﺧﺬ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ ) F ( xﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻵ ﰐ
)
(
x
F ( x) = p ( X ≤ x) = ∫ f ( x)dx = 1 − e−θx
0
ﻣﺜــﺎﻝ ) ( 7 -8
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﺍﻟﺰﻣﻨﻴﺔ ﻹﺎﺀ ﺧﺪﻣﺔ ﺍﻟﻌﻤﻴﻞ ﰲ ﺍﻟﺒﻨﻚ ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺃﺳﻲ ﲟﺘﻮﺳﻂ 2ﺩﻗﻴﻘﺔ ،ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻣﺎ
ﻳﻠﻲ .
• ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﳌﻌﱪﺓ ﻋﻦ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﺍﻟﺰﻣﻨﻴﺔ ﻹﺎﺀ ﺧﺪﻣﺔ ﺍﻟﻌﻤﻴﻞ .
• ﻣﺎ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺇﺎﺀ ﺧﺪﻣﺔ ﺍﻟﻌﻤﻴﻞ ﰲ ﺃﻗﻞ ﻣﻦ ﺩﻗﻴﻘﺔ .
ﺍ ﳊـــﻞ
• ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﳌﻌﱪﺓ ﻋﻦ ﺍﻟﺰﻣﻦ :
125
ﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﺍﳌﺘﻐﲑ xﻳﻌﱪ ﻋﻦ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﺍﻟﺰﻣ ﻨﻴﺔ ﻹـﺎﺀ ﺧﺪﻣـﺔ ﺍﻟﻌﻤﻴـﻞ ﺑﺎﻟﺪﻗﻴﻘـﺔ ،ﺃﻱ ﺃﻥ
∞ < ، 0 < xﻓﺈﻥ ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ ، 1 θ = 2ﻭﻣﻦ ﰒ ﺗﺼﺒﺢ ﻗﻴﻤﺔ ) (θﻫـﻲ ، (θ = 0.5) :
ﻭﺗﻜﺘﺐ ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﳌﻌﱪﺓ ﻋﻦ ﺍﻟﺰﻣﻦ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
∞ < e−0.5 x, 0 < x
f ( x) = 0.5
• ﺣﺴﺎﺏ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺇﺎﺀ ﺧﺪﻣﺔ ﺍﻟﻌﻤﻴﻞ ﰲ ﺃﻗﻞ ﻣﻦ ﺩﻗﻴﻘﺔ .
) = 0.3935
3 /6 /8ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻲ
)−0.5(1
p( x ≤ 1) = (1 − e− 0.5 x ) = (1 − e
The Normal Distribution
ﻳﻌﺘﱪ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﻣﻦ ﺃﻛﺜﺮ ﺍ ﻟﺘﻮﺯﻳﻌﺎﺕ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﺎ ﰲ ﺍﻟﻨﻮﺍﺣﻲ ﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻘﻴـﺔ ،ﻭﻣﻨـﻬﺎ
ﺍﻻﺳﺘﺪﻻﻝ ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻲ ﺷﺎﻣﻼ ﺍﻟﺘﻘﺪﻳﺮ ،ﻭﺍﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﻔﺮﻭﺽ ،ﻛﻤﺎ ﺃﻥ ﻣﻌﻈﻢ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻌﺎﺕ ﳝﻜﻦ ﺗﻘﺮﻳﺒـﻬﺎ ﺇﱃ
ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ،ﻭﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﻋﺮﺽ ﳍﺬﺍ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ .
ﺷﻜﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ
p.d.f
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﳌﺘﻐﲑ xﻣﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮﺍﺋﻲ ﻟﻪ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﻃﺒﻴﻌﻲ ،ﻣﺪﺍﻩ ﻫﻮ ∞ < − ∞ < xﻓﺈﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ
ﺍﺣﺘﻤﺎﻟﻪ ﻫﻲ :
ﻭﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﻟﻪ ﻣﻨﺤﲎ ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﻳﺄﺧﺬ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:
ﻓﻬﺬﺍ ﺍﳌﻨﺤﲎ ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﻋﻠﻰ ﺟﺎﻧﱯ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ . µ
ﻣﻌﺎﱂ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ
ﺗﻮ ﺟﺪ ﻣﻌﻠﻤﺘﲔ ﳍﺬﺍ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﳘﺎ :
ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ E (x) = µ :
ﻭﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ var( x) = σ 2 :
ﻭﻣﻦ ﰒ ﻳﻌﱪ ﻋﻦ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺍﳌﺘﻐﲑ xﺑﺎﻟﺮﻣﻮﺯ x ~ N (µ ,σ 2 ) :ﻭﻳﻌﲏ ﺫﻟﻚ ﺃﻥ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌـﺸﻮﺍﺋﻲ x
126
ﻳﺘﺒﻊ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﲟﺘﻮﺳﻂ ، µﻭﺗﺒﺎﻳﻦ . σ 2
ﺧﺼﺎﺋﺺ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻲ
ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﻣﻦ ﺃﻛﺜﺮ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻌﺎﺕ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﺎ ،ﺑﻞ ﻳﺸﺘﻖ ﻣﻨﻪ ﻛﻞ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻌﺎﺕ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴـﺔ
ﺍﻷﺧﺮﻯ ﺍﳌﺴﺘﺨﺪﻣﺔ ﰲ ﺍﻻﺳﺘﺪﻻﻝ ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻲ ،ﻭﻣﻦ ﺧﺼﺎﺋﺺ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘﻮ ﺯﻳﻊ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ :
-2ﻭﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ σ 2
-1ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ µ
-3ﻣﻨﺤﲏ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﻋﻠﻰ ﺟﺎﻧﱯ ﺍﻟﻮﺳﻂ µ
ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ
) p( x1 < x < x2
ﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﳌ ﻄﻠﻮﺏ ﺣﺴﺎﺑﻪ ﻫﻮ ) ، p( x1 < x < x2ﻭ ﻫﺬﺍ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﳛﺪﺩ ﺑﺎﳌـﺴﺎﺣﺔ
ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﻭﺣﻴﺚ ﺃﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻌﺎﺕ ﺍﳌﺴﺘﻤﺮﺓ ،ﻓﺈﻥ ﻫﺬﻩ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ) ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ( ﲢﺴﺐ ﺑﺈﳚﺎﺩ ﺍﻟﺘﻜﺎﻣـﻞ
ﺍﻟﺘﺎﱄ :
2
dx
− 1 x− µ
2 σ
x2
e
x2
1
∫ = p( x1 < x < x2 ) = ∫ f ( x)dx
x1
x1 σ 2π
ﻭﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻳﺼﻌﺐ ﺣﺴﺎﺑﻪ ،ﻭﻣﻦ ﰒ ﳉﺄ ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻴﲔ ﺇﱃ ﻋﻤ ﻞ ﲢﻮﻳﻠﺔ ﺭﻳﺎﺿـﻴﺔ ، Transformﳝﻜـﻦ
ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺗﻮﺯﻳﻌﻬﺎ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﱄ ﰲ ﺣﺴﺎﺏ ﻣﺜﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ ،ﻭﻫﺬﻩ ﺍﻟﺘﺤﻮﻳﻠﺔ ﻫﻲ :
x− µ
z=
σ
ﻭﻳﻌﺮﻑ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﳉﺪﻳﺪ zﺑﺎﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻲ ، Standard Normal Variableﻭﻫﺬﺍ
ﺍﳌﺘﻐﲑ ﻟﻪ ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ ﺍﺣ ﺘﻤﺎﻝ ﺗﺄﺧﺬ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﻭﻣﻦ ﺧﺼﺎﺋﺺ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ :
-1ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ ﻫﻮ E ( z) = 0 :
-2ﺗﺒﺎﻳﻨﻪ ﻫﻮ var( z) = 1 :
127
ﻭﻣﻦ ﰒ ﻳﻌﱪ ﻋﻦ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺍﳌﺘﻐﲑ zﺑﺎﻟﺮﻣﻮﺯ z ~ N (0,1) :ﻭﻳﻌﲏ ﺫﻟ ﻚ ﺃﻥ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻲ xﻳﺘﺒﻊ
ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻲ ﲟﺘﻮﺳﻂ ) ، ( 0ﻭﺗﺒﺎﻳﻦ ) . ( 1
-3ﻳﺄﺧﺬ ﺍﳌﻨﺤﲎ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻨﺎﻗﻮﺱ ﺍﳌﺘﻤﺎﺛﻞ ﻋﻠﻰ ﺟﺎﻧﱯ ﺍﻟﺼﻔﺮ :
ﻭﺻﻤﻢ ﺍﻹﺣﺼﺎﺋﻴﻴﻮﻥ ﺟﺪﺍﻭﻝ ﺇﺣﺼﺎﺋﻴﺔ ﳊﺴﺎﺏ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍ ﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ ، F ( z) = P ( Z < z) :ﻛﻤﺎ ﻫﻮ
ﻣﺒﲔ ﺑﺎﻟﺮﺳﻢ ﺍﻟﺘﺎﱄ :
ﻭﻧﻌﻮﺩ ﺍﻵﻥ ﺇﱃ ﺧﻄﻮﺍﺕ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ) p( x1 < x < x2ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺘﺤﻮﻳﻠﺔ : z = ( x − µ) σ
-1ﻳﺘﻢ ﲢﻮﻳﻞ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ ) ( x1, x2ﺇﱃ ﻗﻴﻢ ﻃﺒﻴﻌﻴﺔ ﻗﻴﺎﺳﻴﺔ :
. z1 = ( x1 − µ ) σ , z2 = ( x2 − µ ) σ
-2ﻭﻣﻦ ﰒ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ : p( x1 < x < x2 ) = p( z1 < z < z2 ) :
-3ﺗﺴﺘﺨﺪ ﻡ ﺟﺪﺍﻭﻝ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻲ ،ﻭﺍﻟـﺬﻱ ﻳﻌﻄـﻲ ﺍﳌـﺴﺎﺣﺔ ﺍﳋﺎﺻـﺔ ﺑﺎﻻﺣﺘﻤـﺎﻝ
)F ( z) = P ( Z < z
-4ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻲ ﰲ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ
ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
ﺃP ( z < 1.57) -
ﺏP ( z < −2.33) -
ﺝP ( z > 1.96) -
ﺩ-
128
)P (−2.01 < z < 1.28
ﺍﳊﻞ
ﺃ -ﲢﺪﺩ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻌﱪﺓ ﻋﻦ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ) P ( z < 1.57) = F (1.57ﺃﺳﻔﻞ ﺍﳌﻨﺤﲎ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ
ﻭﻳﺘﻢ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﺒﲔ :
ﻭﻳﻜﻮﻥ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﳌﻄﻠﻮ ﺏ ﻫﻮ P ( z < 1.57) = F (1.57) = 0.9418 :
ﺏ -ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺃﺳﻔﻞ ﺍﳌﻨﺤﲎ ﺍﳌﻌﱪﺓ ﻋﻦ ﺍﻻﺣﺘﻤـﺎﻝ ) P ( z < −2.33) = F (−2.33ﻣﻮﺿـﺤﺔ
ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ :
)P(z<-2.33
.08 .09
.07
.06
.05
.04
.03
.02
.01
.00
z
.
.
.
.
2.70
2.60
129
2.50
2.40
0.0099
2.30
.
.
.
ﻭﻣﻦ ﰒ ﻳﻜﻮﻥ P ( z < −2.33) = 0.0099 :
ﺝ -ﲢﺪﺩ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻌﱪﺓ ﻋﻦ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ) P ( z > 1.96ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ :
ﻭﻫﺬﺍ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﳛﺴﺐ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺧﺼﺎﺋﺺ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ ،ﺣﻴﺚ ﺃﻥ :
)P ( z > 1.96) = 1 − p( z < 1.96) = 1 − F (1.96
ﻭﺑﺎﻟﻜــﺸﻒ ﰲ ﺍﳉــﺪﻭﻝ ﺑــﻨﻔﺲ ﺍﻟﻄﺮﻳﻘــﺔ ﺍﻟــﺴﺎﺑﻘﺔ ﻋﻠــﻰ ﺍﻟﻘﻴﻤــﺔ 1.96ﳒــﺪ ﺃﻥ :
، p( z < 1.96) = 0.9750ﻭﻣـــﻦ ﰒ ﻳﻜـــﻮﻥ ﺍﻻﺣﺘﻤـــﺎﻝ ﺍﳌﻄﻠـــﻮﺏ ﻫـــﻮ :
P ( z > 1.96) = 1 − 0.9750 = 0.0250
ﺩ -ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺃﺳﻔﻞ ﺍﳌﻨﺤﲎ ﺍﳌﻌﱪﺓ ﻋﻦ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ) P (−2.01 < z < 1.28ﻫﻲ :
ﻭﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺃﻳﻀﺎ ﺧﺼﺎﺋﺺ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ ﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎﺏ ﻫﺬﺍ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ،ﺣﻴﺚ ﺃﻥ :
)P (−2.01 < z < 1.28) = F (1.28) − F (−2.01
ﻭﺑﺎﻟﻜﺸﻒ ﰲ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﻋﻦ ﻫﺎﺗﲔ ﺍﻟﻘﻴﻤﺘﲔ ،ﳒﺪ ﺃﻥ :
P (−2.01 < z < 1.28) = 0.8997 − 0.0222 = 0.8775
ﻣﺜـــﺎﻝ ) ( 8 -8
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﺪﺧﻞ ﺍﻟﺴﻨﻮﻱ ﻟﻸﺳﺮﺓ ﰲ ﺃﺣﺪ ﻣﻨﺎﻃﻖ ﺍﳌﻤﻠﻜﺔ ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ 80ﺃﻟـﻒ
ﺭﻳﺎﻝ ،ﻭﺗﺒﺎﻳﻨﻪ . 900ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ :
-1ﻛﺘﺎﺑﺔ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻌﺎﱂ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﱄ ﻟﻠﺪﺧﻞ ﺍﻟﺴﻨﻮﻱ .
130
-2ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺷﻜﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ .
-3ﻣﺎ ﻫﻲ ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻷﺳﺮ ﺍﻟﱵ ﻳﻘﻞ ﺩﺧﻠﻬﺎ ﻋﻦ 60ﺃﻟﻒ ﺭﻳﺎﻝ ؟
-4ﻣ ﺎ ﻫﻮ ﺍﻟﺪﺧﻞ ﺍﻟﺬﻱ ﺃﻗﻞ ﻣﻨﻪ 0.975ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺧﻮﻝ؟
ﺍﳊـــﻞ
-1ﻛﺘﺎﺑﺔ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻌﺎﱂ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﱄ ﻟﻠﺪﺧﻞ ﺍﻟﺴﻨﻮﻱ .
ﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ xﻣﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮﺍﺋﻲ ﻳﻌﱪ ﻋﻦ ﺍﻟﺪﺧﻞ ﺍﻟﺴﻨﻮﻱ ﺑﺎﻷﻟﻒ ﺭﻳﺎﻝ ،ﻭﻫﻮ ﻳﺘﺒﻊ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳـﻊ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌـﻲ،
ﻭﻣﻌﺎﳌﻪ ﻫﻲ :
ﺃ -ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ
ﺃﻱ ﺃﻥ :
E ( x) = µ = 80
ﺏ -ﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻫﻮ Var ( x) = σ 2 = 900 :
)x ~ N (80,900
-2ﺷﻜﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ
) (
2
− 1 x−80
2
30
e
, −∞ < x < ∞ , π = 22 / 7
1
= )f ( x
30 2π
-3ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻷﺳﺮ ﺍﻟﱵ ﻳﻘﻞ ﺩﺧﻠﻬﺎ ﻋﻦ 60ﺃﻟﻒ ﺭﻳﺎﻝ ﻫﻲ P ( x π 60) :
ﻭﻳﺘﺒﻊ ﺍﳋﻄﻮﺍﺕ ﺍﳌ ﺬﻛﻮﺭﺓ ﺳﺎﺑﻘﺎ ﰲ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻝ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
x− µ
< P ( x < 60) = p z
σ
60 − 80
< = P z
) = P ( z < −0.67 ) = F (−0.67
30
ﻭﺑﺎﻟﻜﺸﻒ ﻣﺒﺎﺷﺮﺓ ﻋﻦ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﰲ ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻲ ،ﳒﺪ ﺃﻥ
P ( x < 60) = P ( z < −0.67 ) = 0.2514
-4ﺍﻟﺪﺧﻞ ﺍﻟﺬﻱ ﺃﻗﻞ ﻣﻨﻪ 0.975ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺧﻮﻝ :ﰲ ﻫﺬﻩ ﺍﳊﺎﻟﺔ ﻳﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﳌﺘﻐﲑ ) (xﺍﻟﺬﻱ ﺃﻗﻞ ﻣﻨﻪ
، 0.975ﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﳌﺘﻐﲑ ﻫﻮ ) ، ( x1ﻓﺈﻥ :
131
x − 80
P ( x < x1 ) = p z < 1
= 0.975
30
ﺑﺎﻟﻜﺸﻒ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ ،ﺣﻴﺚ ﻧﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ 0.9750ﳒﺪﻫﺎ ﺗﻘﻊ ﻋﻨﺪ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟـﺼﻒ ، 1.9
ﻭﺍﻟﻌﻤﻮﺩ .06ﺃﻱ ﺃﻥ ﻗ ﻴﻤﺔ ، z = 1.96ﻭﻳﻜﻮﻥ :
x1 − 80
, Then x1 = 30(1.96) + 80 = 138.8
30
ﺇﺫﺍ ﺍﻟﺪﺧﻞ ﻫﻮ 138.8ﺃﻟﻒ ﺭﻳﺎﻝ ﰲ ﺍﻟﺴﻨﺔ .
= 1.96
132
ﳌﺰﻳﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﻜﺘﺐ ﺯﻭﺭﻭﺍ
ﻣﻮﻗﻌﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺷﺒﻜﺔ
ﺍﻻﻧﺘﺮﻧﻴﺖ
WWW.RR4EE.NET
© Copyright 2025